बूटस्ट्रैपिंग परिणाम जो वास्तव में बूटस्ट्रैप है

Question

TCS में एक प्रकार के परिणाम होते हैं जिन्हें आमतौर पर बूटस्ट्रैपिंग परिणाम कहा जाता है । सामान्य तौर पर, यह प्रपत्र का है

यदि प्रस्ताव धारण करता है, तो प्रस्ताव धारण करता है।$A$$A'$

जहाँ और ऐसे प्रस्ताव हैं जो समान दिखते हैं, और प्रतीत होता है "कमजोर" तब , यही कारण है कि हम इस प्रकार के परिणामों का नाम देते हैं। मुझे कुछ ठोस उदाहरण दें:$A$$A'$$A$$A'$

प्रमेय। [चेन और बताओ, STOC'19] किसी भी समस्या । मान लें कि प्रत्येक असीम रूप से कई जैसे कि की गहराई से अधिक सर्किट की आवश्यकता होती है तारों को हल करने के लिए समस्या । फिर किसी भी , \ Pi को \ mathcal {TC} ^ 0 सर्किट की गहराई d_0 और n ^ k तारों से हल नहीं किया जा सकता है , और इसलिए \ mathcal {TC} ^ 0 \ subsentneq \ mathcal {एनसी} ^ १ ।$\Pi \in \{\mathsf{BFE,W_{S_5},W5STCONN}\}$$c>1$$d\in \mathbb{N}$$\mathcal{TC}^0$$d$$n^{1+c^{-d}}$$\Pi$$d_0,k \in \mathbb{N}$$\Pi$$\mathcal{TC}^0$$d_0$$n^k$$\mathcal{TC}^0 \subsetneq \mathcal{NC}^1$

प्रमेय। [गुप्ता एट अल।, FOCS'13] मान लीजिए कि स्थायी की गणना करने के लिए गहराई की आवश्यकता होती है- विशेषता 0 के क्षेत्र में n ^ {\ Omega (\ sqrt {n})} से अधिक आकार के $3$ अंकगणितीय सर्किट । फिर स्थायी की गणना करने के लिए सुपरपोलिनोमियल आकार के अंकगणित सर्किट की आवश्यकता होती है, और इसलिए वैलेंट का अनुमान है।$n^{\Omega(\sqrt{n})}$$0$

ठीक है, एक और अधिक प्रसिद्ध लेकिन नहीं-तो उपयुक्त उदाहरण ठीक से जटिल जटिलता से आता है:

प्रमेय। [Backurs और Indyk, STOC'15] यदि हम $O(n^{2-\epsilon})$ समय (RAM मॉडल पर) में EDIT DISTANCE की गणना कर सकते हैं , तो हमें वर्तमान में मौजूद किसी भी की तुलना में तेजी से SAT solver मिलेगा।

अपडेट करें। (10 जुलाई, 2019) संपादित दूरी का उदाहरण थोड़ा भ्रमित करने वाला हो सकता है। "मानक" उदाहरण के लिए रेयान के जवाब का संदर्भ लें।

जैसा कि आप कल्पना कर सकते हैं (मेरे सर्वश्रेष्ठ ज्ञान के लिए) इस प्रकार के सभी परिणाम गर्भनिरोधक (मैंने एडिट दूरी में गर्भनिरोधक लिया है ) साबित होते हैं। तो कुछ अर्थों में ये सभी एल्गोरिदम परिणाम हैं।

आमतौर पर बूटस्ट्रैपिंग परिणाम को समझने के दो तरीके हैं। 1. हमें केवल साबित करना है और फिर परिणाम लागू करना है, अगर हम को सिद्ध करना चाहते हैं ; 2. साबित मुश्किल हो सकता है क्योंकि एक प्रायोरी हम लगता है कि साबित मुश्किल।$A$$A'$$A$$A'$

समस्या यह है कि, एक (या अधिक बिल्कुल, मैं ) शायद ही आशावादी हो और पहली समझ ले, अगर बूटस्ट्रैप परिणामों का कोई सकारात्मक उपयोग नहीं होता है! तो मेरा सवाल है

क्या हमें कोई बूटस्ट्रैपिंग परिणाम पता है जिसमें सिद्ध है?$A$

Comments

बढ़ा-चढ़ाकर बोलना (शिथिल बोलना: "यदि आपके पास पीएसी-कमजोर सीखने वाला है, तो आपके पास पीएसी-शिक्षार्थी है") बिल को फिट करें?

— क्लेमेंट सी।

@ClementC। ज़रूर। आपकी टिप्पणी मुझे क्रिप्टोग्राफी में कुछ मूलभूत परिणामों की याद दिलाती है, जैसे, "वन-वे फ़ंक्शंस छद्म

— आयामी

Answer 1

बूटस्ट्रैपिंग (और वास्तविक निचले सीमा को साबित करने के लिए लागू) द्वारा सिद्ध एक क्लासिक परिणाम यह है कि किसी भी कम्प्यूटेशनल मॉडल में हमारे पास कुछ निरंतर लिए , हम वास्तव में , हर ।$TIME(n) \neq TIME(n^c)$$c > 1$$TIME(n) \neq TIME(n^{1+\epsilon})$$\epsilon > 0$

विचार यह है कि अगर , हम एक गद्दी तर्क बार-बार प्राप्त करने के लिए आवेदन कर सकते हैं के लिए हर निरंतर । आप इस तरह के तर्क का उपयोग विभिन्न मामलों में ज्ञात समय पदानुक्रम प्रमेयों को थोड़ा सुधारने के लिए भी कर सकते हैं।$TIME(n) = TIME(n^{1+\epsilon})$$TIME(n) = TIME(n^c)$$c$

Comments

यह एक सुंदर उदाहरण है! IIRC nondeterministic समय पदानुक्रम प्रमेय बहुत शुरुआत में (कुक द्वारा) इस तरह से साबित होता है।

— लविंस

यह अधिक या कम सच है। उपरोक्त तर्क के एक विशिष्ट अनुप्रयोग में हम इसे केवल "निरंतर" संख्या में लागू कर सकते हैं; कुक दिखाता है कि इसे "अनबाउंड" संख्या कितनी बार लागू करना है

— रयान विलियम्स

Answer 2

मुझे यकीन नहीं है कि यह मायने रखता है क्योंकि यह एक ही कागज से है, लेकिन क्रेग जेंट्री में आदर्श अक्षांशों के आधार पर पूरी तरह से होमोमोर्फिक एन्क्रिप्शन पर पहला पास है , वह पहली बार दिखाता है कि एफएचई योजना के निर्माण के लिए, यह "कुछ हद तक" का निर्माण करने के लिए पर्याप्त है एक निश्चित संपत्ति के साथ होमोमोर्फिक "एन्क्रिप्शन स्कीम (इसका डिक्रिप्शन सर्किट उस गहराई से अधिक है जो सर्किट एन्क्रिप्ट कर सकता है)। फिर, वह बहुत काम के साथ दिखाता है कि इस तरह की होमोमोर्फिक एन्क्रिप्शन योजना का निर्माण कैसे किया जाए।

Answer 3

हुआंग का हालिया प्रमाण , सेंसिटिविटी कॉन्टेक्ट, इसमें शामिल होने के लिए ज्ञात साबित होता है। देखें आरोनसन का ब्लॉग:$A'$$A$

1992 में Gotsman और Linial द्वारा काम अग्रणी से, यह ज्ञात था कि संवेदनशीलता अनुमान साबित करने के लिए है, यह और भी आसान मिश्रित अनुमान निम्नलिखित साबित करने के लिए पर्याप्त होता है :$A$

S, n-आयामी बूलियन हाइपरक्यूब, कोई सबसेट हो , जिसका आकार । तब एस में कम से कम ~ एनसी पड़ोसियों के साथ एस में एक बिंदु होना चाहिए।$\{0,1\}^n$$2^{n-1}+1$

Answer 4

कम्प्यूटेशनल लर्निंग थ्योरी में एक चीज जो दिमाग में आती है, वह है बूस्टिंग । अनिवार्य रूप से:

PAC सेटिंग में, यदि आपके पास class लिए एक कमजोर शिक्षार्थी है (यानी, यादृच्छिक अनुमान लगाने की तुलना में "केवल बेहतर" कुछ कर रहा है), तो आप class लिए एक (मजबूत) शिक्षार्थी प्राप्त करते हैं ।$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$

आमतौर पर, यह वास्तव में एक कमजोर शिक्षार्थी प्राप्त करके उपयोग किया जाता है।