क्या वहाँ x मौजूद है जैसे कि K (xx) <K (x), जहाँ K Kolmogorov complextity है।

Question

चलो निरूपित की एक स्ट्रिंग Kolmogorov जटिलता एक्स । क्या कोई स्ट्रिंग मौजूद है जैसे कि K ( x x ) < K ( x ) । (यहाँ एक्स एक्स के संयोजन है एक्स के साथ ही)। ऐसा ही एक लेकिन अलग प्रश्न पूछा गया था यहाँ है, लेकिन counterexample उस प्रश्न का उत्तर में दिए गए इस एक के लिए काम नहीं करता।$K(x)$$x$$K(xx)<K(x)$$xx$$x$

Answer 1

मैं कोलमोगोरोव जटिलता पर कोई विशेषज्ञ नहीं हूं, लेकिन मुझे लगता है कि इस तरह के एक्स का निर्माण हर जटिलता फ़ंक्शन K के लिए निम्नानुसार किया जा सकता है। चूँकि 1, 11, 1111, 11111111,…, 1 ^{2 n} ,… एक प्राकृतिक संख्या n की एन्कोडिंग है , K (1 ^{2 n} ) o (log n ) नहीं हो सकता है । हालाँकि, जब n = 2 ^m , जाहिर है K (1 ^{2 n} ) = K (1 ^{2 2 m} ) = O (लॉग एम ) = O (लॉग लॉग n )। इसलिए अनुक्रम K (1), K (11), K (1111), K (11111111), ..., K (1 ^{2 n} ), ... कमजोर रूप से एकाकी वृद्धि नहीं कर सकता है, जिसका अर्थ है कि एक स्ट्रिंग मौजूद हैx फॉर्म 2 ^{2 n में} ऐसा है कि K ( xx ) <K ( x )।

Comments

@ त्सुयोशी, क्या एक अचूक स्ट्रिंग जैसे कि K ( x x ) < K ( x ) ? $x$$K(xx)\lt K(x)$

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

मुझे लगता है कि और के (1 ^ {2 ^ एन}) =) (लॉग एन) एक दूसरे के विपरीत हैं। क्या वह मतलब है: यदि च ( एन ) = ओ ( लॉग एन ) तो कश्मीर ( 1 2 n ) ≠ हे ( च ( $K(1^{2^{2^m}})=O(\log m)$$f(n)=o(\log n)$ । अन्यथा प्रमाण ठीक लगता है। $K(1^{2^n})\neq O(f(n))$

— सुनी जाकबसेन

यह काम करने लगता है। वास्तव में, मुझे लगता है कि यह आपको इस तरह के तार का अनंत क्रम देता है। हालाँकि, या तो मैं कुछ गलत समझ रहा हूं, या wikipedia ( en.wikipedia.org/wiki/Chain_rule_for_Kolmogorov-complexity ) में दिखाई देने वाली Kolmogorov Complexity के लिए चेन नियम का बयान गलत है। शुरू में मैंने सोचा था कि विकिपीडिया की परिभाषा यहाँ लागू नहीं हो सकती है, क्योंकि वहाँ आपको यह पता करने में सक्षम होना है कि X कहाँ समाप्त होता है और Y शुरू होता है, जबकि यहाँ यह आवश्यक नहीं लगता है, लेकिन जब Y = X आप इसमें वर्णन में जोड़ सकते हैं "बीच में विभाजित" कहकर ओ (1)।

— हाबेल मोलिना

@Sune: अंकन Ω (une) की कई अलग-अलग परिभाषाएं हैं। मेरे उत्तर में "K (1 ^ 2 ^ n) = ((लॉग एन)" का अर्थ है "limsup K (1 ^ 2 ^ n) / लॉग एन> 0," और यह विरोध नहीं करता है "K (1 ^ 2 ^ 2) ^ m) = O (लॉग एम)। ”मैंने इस बिंदु को स्पष्ट करने के लिए उत्तर को संपादित किया। हमें यह भी देखना चाहिए कि हमें किस प्रकार की विषम विकास दर की परिभाषा सिखानी चाहिए?

— त्सुयोशी इतो

@turkistany और सभी: ध्यान दें कि यह हमेशा सही है कि K (xx)> K (x) -c कुछ स्थिरांक के लिए, मैंने सोचा कि इसे इंगित किया जाना चाहिए। इसका मतलब यह भी है कि अगर हमें इस प्रश्न का अध्ययन करना है तो हमें अचूक की बहुत सटीक परिभाषा की आवश्यकता है। मुझे लगता है कि उत्तर फिर से हाँ है, लेकिन मेरे पास कोई सबूत नहीं है।

— डोमोटर

Answer 2

हाँ। व्यवहार में Kolomogorov जटिलता आपके मॉडल पर निर्भर करती है। ट्यूरिंग मशीन, जावा प्रोग्राम, सी ++ प्रोग्राम, ... अगर आपके मॉडल में एक आइडिओसिंक्रसे है जो इनपुट के सीमित सेट पर ऐसा करने की अनुमति देता है तो यह कोई समस्या नहीं है।

बेहतर सवाल यह है कि आप इस व्यवहार से कितना दूर हो सकते हैं और अभी भी मॉडल को एक सार्वभौमिक होना चाहिए।

Comments

मुझे लगता है कि एक बेहतर प्रश्न है: क्या सभी मॉडलों के लिए इस तरह के एक्स मौजूद हैं? मुझे नहीं पता कि एक "मॉडल" औपचारिक रूप से क्या है, लेकिन ऐसा लगता है कि त्सूओशिस जवाब सभी उचित प्रोग्रामिंग भाषाओं के लिए काम करता है।

— सून जेकबसेन

आप प्रदान कर सकते हैं करने के लिए एक्स एक्स और कुछ के लिए बड़ा एक्स और अभी भी एक सार्वभौमिक मॉडल है। $0$$xx$$x$

— केवह

Answer 3

@Tsuyoshi:

मुझे आपका प्रमाण अच्छी तरह समझ में नहीं आया।

मान लें कि हम एक मानक ट्यूरिंग मशीन को "विवरण भाषा" के रूप में चुनते हैं, जो कि को परिभाषित करता है, जो कि सबसे छोटे टीएम के राज्यों की संख्या है जो एक खाली टेप से शुरू होती है और स्ट्रिंग को प्रिंट करने के बाद रुक जाती है$K(s)$ कोहै।$s$

आप को साबित कर दिया है कि हम निर्माण कर सकते हैं क्या एक कि "प्रिंट" स्ट्रिंग रों रों = 1111 ... 1 = 1 2 n + 1 टेप पर और साथ बनाया गया है कम से राज्यों टी एम एस कि "प्रिंट" string s = 1 2 n ?$TM_{ss}$$ss = 1111...1 = 1^{2^{n+1}}$$TM_{s}$$s = 1^{2^n}$

क्या आपके प्रमाण को टीएम पर कोलमोगोरोव जटिलता पर लागू किया जा सकता है?

ठीक! मुझे मिल गया आईटी ... जब टी एम एस एस "संचालित" एक नया "भीतरी पाश" के साथ (हम कुछ राज्यों को जोड़ने, लेकिन हम कई राज्यों में निकाल सकते हैं हो सकता है टी एम एस के लिए आवश्यक हैं " गिनती " एन ) ... धन्यवाद!$n+1 = 2^{m}$$TM_{ss}$$TM_{s}$$n$

(क्षमा करें, लेकिन मुझे नहीं पता कि इसे टिप्पणी के रूप में कैसे पोस्ट किया जाए)

Comments

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— Tsuyoshi Ito