क्या "सबसे भेदभावपूर्ण बिट्स" समस्या एनपी-पूर्ण है?

Question

यह एक नाम है जिसे मैंने इस समस्या के लिए बनाया है। मैंने पहले कहीं भी इसका वर्णन नहीं देखा है। मैं अभी तक इस समस्या के लिए न तो एनपी-पूर्णता और न ही एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म का प्रमाण नहीं पा सका हूं। यह एक होमवर्क समस्या नहीं है - यह एक समस्या से संबंधित है जो मैं अपने काम में आया हूं।

उच्चतम वितरण बिट्स

इंस्टेंस: एक सेट टी जिसमें बिट वैक्टर होते हैं, जहां प्रत्येक बिट वेक्टर बिल्कुल एन बिट्स लंबा होता है। टी का हर तत्व अद्वितीय है, क्योंकि कोई गणित में सेट से उम्मीद करेगा। एक पूर्णांक K <N।

प्रश्न: क्या अधिकांश K बिट पदों पर एक सेट B है (अर्थात [[०, N-१] रेंज में पूर्णांक), जब हम T के प्रत्येक वेक्टर से B के सिवाय उन सभी बिट्स को हटाते हैं, शेष छोटे वैक्टर सभी होते हैं अभी भी अद्वितीय है?

उदाहरण 1: उदाहरण के लिए N = 5, T = {00010, 11010, 01101, 00011}, K = 2, उत्तर हाँ है, क्योंकि हम बिट पदों का चयन कर सकते हैं B = {0,3}। इस कन्वेंशन का उपयोग करना कि बिट स्थिति 0 सबसे दाईं ओर है, और बिट स्थिति संख्या दाएं-बाएं बढ़ जाती है, टी में सभी को छोड़कर सभी बिट पोजिशन को हटाकर टी 'टी' = {00, 10, 11, 01} में छोड़ देता है। और वे सभी अद्वितीय हैं।

उदाहरण 2: एन = 5, टी = {00000, 00001, 00010, 00100}, के = 2। जवाब नहीं है, क्योंकि हम जो भी दो बिट पोजिशन चुनते हैं, उनमें से 2-बिट वैक्टर में से कोई भी 11 के बराबर नहीं होगा, इसलिए 2-बिट वैक्टर में से कम से कम दो एक-दूसरे के बराबर होंगे।

हम निश्चित रूप से इस समस्या को एन बिट पदों के आकार K के साथ सभी (N चुनें K) सबसेट की गणना करके निर्धारित कर सकते हैं, और यह निर्धारित करते हैं कि प्रश्न की स्थिति को संतुष्ट करें। हालाँकि, इनपुट आकार में यह घातीय है।

Comments

संबंधित: Bondy की प्रमेय ।

— आर्यभट्ट

Answer 1

यह समस्या एनपी-पूर्ण है। 3-SAT से कमी के आधार पर एक प्रमाण इस प्रकार है:

चर और क्लॉस के साथ 3-सैट की एक आवृत्ति पर विचार करें । हम बिट वैक्टर ("पंक्तियों") का निर्माण करेंगे , जैसे कि सबसे छोटी संख्या में विभेदकारी बिट्स मूल 3-सैट उदाहरण संतोषजनक है अगर ।$n$$m$$2n + 2m$$2n + \lceil \log_2(n + m) \rceil$$n + \lceil \log_2(n + m) \rceil$

पहले बिट्स शाब्दिक अनुरूप होंगे । इन बिट्स के संबंध में, पहली पंक्तियाँ जोड़े में आएंगी, जिनमें से पहली में संबंधित क्लॉज में शामिल प्रत्येक शाब्दिक के लिए होगा , और दूसरे में पूरी तरह से 's शामिल होगा। शेष पंक्तियाँ भी जोड़ियों में आएंगी, जिनमें से पहली में इसी शाब्दिक और इसके नकार के लिए का अंक होगा, और दूसरे में पूरी तरह से का समावेश होगा । अंत में, अंतिम$2n$$\left\{ x_1, \neg x_1, x_2, \neg x_2, ..., x_n, \neg x_n \right\}$$2m$$1$$0$$2n$$1$$0$$\lceil \log_2(n + m) \rceil$बिट्स का उपयोग बाइनरी में लिखे गए से , इसके सूचकांक के साथ पंक्तियों के प्रत्येक जोड़े को "साइन" करने के लिए किया जाएगा ।$0$$n+m-1$

प्रत्येक "शाब्दिक" पंक्ति को उसके उत्तराधिकारी से अलग करने के लिए, या तो उस शाब्दिक से संबंधित बिट या उसकी उपेक्षा के अनुरूप बिट को बरकरार रखा जाना चाहिए। इसके अलावा, "शून्य + इंडेक्स" पंक्तियों में भेदभाव करने के लिए , सभी इंडेक्स बिट्स को बनाए रखना होगा। भेदभाव करने वाले बिट्स की न्यूनतम संभव संख्या इसलिए । अंत में, अपने उत्तराधिकारी से प्रत्येक "खंड" पंक्ति को अलग करने के लिए, उस खंड में शामिल शाब्दिक के अनुरूप कम से कम तीन बिट्स में से एक को बरकरार रखा जाना चाहिए। यदि 3-SAT उदाहरण संतोषजनक है, तो इस अंतिम स्थिति में किसी भी अतिरिक्त बिट की आवश्यकता नहीं होगी (विशेष रूप से,)$n+m$$\lceil \log_2(n + m) \rceil$$n + \lceil \log_2(n + m) \rceil$$x_i$$\neg x_i$$i$$n + \lceil \log_2(n + m) \rceil$$2n+2m$$x_i$$\neg x_i$$i$$n$

Comments

धन्यवाद! चतुर, और सीधे तौर पर यह देखने के लिए हाँ जवाब सुरक्षित रखता है (ठीक है, मुझे इसके बारे में कहने से पहले कम से कम 20 मिनट के लिए सोचना पड़ता था।)

— andy_fingerhut

Answer 2

यद्यपि एनपी-पूर्णता का एक प्रमाण पहले से ही प्रदान किया गया है, यह इंगित करने योग्य हो सकता है कि यह समस्या एक ज्ञात एनपी-पूर्ण समस्या के बराबर है जिसे गैरी और जॉनसन में न्यूनतम परीक्षण सेट समस्या ([एसपी 6] भी कहा जाता है, जिसे न्यूनतम परीक्षण संग्रह भी कहा जाता है समस्या ): बस सेट की भूमिका और पदों की भूमिका का आदान-प्रदान करें।

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आह। उत्कृष्ट बिंदु।

— सुरेश वेंकट

@Tsuyoshi Ito: न्यूनतम परीक्षण संग्रह समस्या NP- पूर्ण है। मैं अधिकतम न्यूनतम परीक्षण सेट के बारे में उत्सुक हूं , जटिलता क्या है? मेरा मतलब है, किसी भी न्यूनतम परीक्षण संग्रह की सबसे बड़ी कार्डिनैलिटी क्या है।

— पेंग झांग