इसका जवाब है हाँ। मान लीजिए कि हमारे पास एक गुणनखंडन ।क्यू = एक ⋅ बीQ=A⋅B
एक आसान अवलोकन यह है कि और को असंतुष्ट होना चाहिए (क्योंकि लिए हमें )। विशेष रूप से, का केवल एक एक , बी शामिल कर सकते हैं ε । हम wlog मान सकते हैं (के बाद से अन्य मामले पूरी तरह से सममित है) कि ε ∈ बी । इसके बाद से ए और को गैर-रिक्त कारकों में विभाजित नहीं किया जा सकता है, हमारे पास होना चाहिए ।एक Aबी Bडब्ल्यू ∈ एक ∩ बी w∈A∩Bडब्ल्यू 2 ∈ क्यूw2∈QA,Bϵϵ∈Baबी bए , बी ∈ एa,b∈A
इसके बाद, हम ( प्राप्त करते हैं (और, पूरी तरह से, ) सभी द्वारा प्रेरण पर :एक मीटर ख n ∈ ए ambn∈Aख मीटर एक एन ∈ एक bman∈Aमीटर , n > 0 m,n>0मीटरm
के लिए , के बाद से , हम होना आवश्यक है के साथ । चूंकि , को कुछ लिए होना चाहिए । लेकिन यदि , तो बाद से हमें , विरोधाभास मिलता है। तो , और एक ख n ∈ ए । मीटर = 1 m=1एक ख n ∈ क्यू abn∈Qएक ख n = यू वी abn=uvयू ∈ ए , वी ∈ बी u∈A,v∈Bयू ≠ ε u≠ϵवी vबी कश्मीरbk कश्मीर ≤ n k≤nकश्मीर > 0 k>0ख ∈ ए b∈Aबी 1 + कश्मीर ∈ क्यू b1+k∈Qवी = εv=ϵabn∈A
आगमनात्मक चरण के लिए, के बाद से एक मीटर + 1 ख n ∈ क्यूam+1bn∈Q हमारे पास एक मीटर + 1 ख n = यू वीam+1bn=uv के साथ यू ∈ ए , वी ∈ बीu∈A,v∈B । फिर बाद से यू ≠ εu≠ϵ , हमारे पास या तो वी = एक कश्मीर ख nv=akbn कुछ के लिए 0 < कश्मीर < मीटर + 10<k<m+1 , या वी = ख कश्मीरv=bk कुछ के लिए कश्मीर <एनk<n । लेकिन पूर्व मामले में, वीv में पहले से ही है एकA प्रेरण परिकल्पना द्वारा, तो वी 2 ∈ क्यूv2∈Q , विरोधाभास। उत्तरार्द्ध मामले में, हम होना आवश्यक है कश्मीर = 0k=0 (यानी v = εv=ϵ ) के बाद से से ख ∈ एकb∈A पर हम पाते हैं ख 1 + कश्मीर ∈ क्यूb1+k∈Q । तो यू = एक मीटर + 1 ख n ∈ एu=am+1bn∈A ।
अब a और b के बीच rr प्रत्यावर्तन के साथ आदिम शब्दों के सामान्य मामले पर विचार करें , यानी w या तो एक m 1 b n 1 है ... एक m s b n s , b m 1 a n 1 ... b m s a n s ( r के लिए) = 2 रों - 1 ), एक मीटर 1 ख n 1 ... एक मीटर रोंabwam1bn1…amsbnsbm1an1…bmsansr=2s−1+ 1am1bn1…ams+1 , याबी एम 1 ए एन 1 …बी एम एस + 1bm1an1…bms+1 (आर=2एस के लिएr=2s); हम दिखा सकते हैं कि वेआरपर इंडक्शनमेंएAका उपयोगकर रहे हैं। हमने अभी तक आधार मामलों को कवर किया थाr=0औरr=1।rr=0r=1
के लिए आर > 1r>1 , हम पर एक और प्रेरण का उपयोग मीटर 1m1 , जिसके लिए एक के रूप में बहुत ज्यादा उसी तरह काम करता r = 1r=1 ऊपर:
यदि मीटर 1 = 1m1=1 , तो w = यू वीw=uv के साथ यू ∈ ए , वी ∈ बीu∈A,v∈B , और के बाद से यू ≠ εu≠ϵ , वीv की तुलना में कम है आरr alternations। तो vv (या मामले में इसकी जड़ vv ही आदिम नहीं है) AA में अंतर्विरोध के लिए rr पर उपकल्पना द्वारा A में है जब तक कि v = root नहींv=ϵ । तो w = यू ∈ एw=u∈A ।
If m1>1m1>1, in any factorization w=uvw=uv with u≠ϵu≠ϵ, vv either has fewer alternations (and its root is in AA unless v=ϵv=ϵ by the induction hypothesis on rr), or a shorter first block (and its root is in A unless v=ϵv=ϵ by the induction hypothesis on m1m1). In either case we get that we must have v=ϵv=ϵ, i.e. w=u∈A.
के मामले क्यू ' : = क्यू ∪ { ε } बल्कि अधिक जटिल है। टिप्पणी करने के लिए स्पष्ट चीजें हैं जो किसी भी अपघटन में हैं क्यू = एक ⋅ बी , दोनों एक और बी के सबसेट होना चाहिए क्यू ' के साथ एक ∩ बी = { ε } । इसके अलावा, एक , ख में शामिल किया जाना चाहिए एक ∪ बी ।
थोड़े अतिरिक्त काम के साथ, कोई यह दिखा सकता है कि ए और बी एक ही सबसेट में होना चाहिए। अन्यथा, कि wlog मान एक ∈ एक और ख ∈ बी । हमें का कहना है कि चलो डब्ल्यू ∈ क्यू ' एक है उचित गुणन अगर डब्ल्यू = यू वी के साथ यू ∈ एक ∖ { ε } और वी ∈ बी ∖ { ε } । हमारे पास दो (सममित) उपकेंद्र हैं जहां पर बी एक जाता है (यह होना चाहिए ) पर निर्भर करता हैA or B since it has no proper factorization).
- If ba∈A, then aba has no proper factorization since ba,a∉B. Since aba∈A would imply abab∈A⋅B, we get aba∈B. As a consequence, bab is neither in A (which would imply bababa∈A⋅B) nor in B (which would imply abab∈A⋅B). Now consider the word babab. It has no proper factorization since bab∉A∪B and abab,baba are not primitive. If babab∈A, then since aba∈B we get (ba)4∈A⋅B; if babab∈B, then since a∈A we get (ab)3∈A⋅B. So there is no way to have babab∈A⋅B, contradiction.
- The case ba∈B is completely symmetric. In a nutshell: bab has no proper factorization and cannot be in B, so it must be in A; therefore aba cannot be in A or B; therefore ababa has no proper factorization but also cannot be in either A or B, contradiction.
I am currently not sure how to proceed beyond this point; it would be interesting to see if the above argument can be systematically generalized.