क्या {www} का पूरक है …} संदर्भ-मुक्त?

Question

यह सर्वविदित है कि of का पूरक संदर्भ-मुक्त है। लेकिन \ {www \ mid w \ in \ सिग्मा ^ * \} के पूरक के बारे में क्या ?$\{ ww \mid w\in \Sigma^*\}$$\{ www \mid w\in \Sigma^*\}$

Comments

मुझे पता चला है कि यह पी। डौमसी, एस। होर्वाथ, एम। इटो, एल। केज़ोनी, एम। कात्सुरा: औपचारिक भाषाओं से मिलकर बना है। link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-57163-9_15

— domotorp

Answer 1

फिर भी सीएफएल मुझे विश्वास है, शास्त्रीय प्रमाण के एक अनुकूलन के साथ। यहाँ एक स्केच है।

पर विचार करें , जो कि का पूरक है, जिसकी लंबाई मॉड है।$L = \{xyz : |x|=|y|=|z| \land (x \neq y \lor y \neq z)\}$$\{www\}$$0$$3$

चलो । स्पष्ट रूप से, सीएफएल है, क्योंकि आप स्थिति अनुमान लगा सकते हैं और उसके बाद एंड पर विचार कर सकते हैं । हम बताते हैं कि ।$L' = \{uv : |u| \equiv_3 |v| \equiv_3 0 \land u_{2|u|/3} \neq v_{|v|/3}\}$$L'$$p$$u$$p/2$$L = L'$

• $L \subseteq L'$ : । मान लें कि कोई ऐसा है जो । फिर के पहले अक्षर के लिए लिखें , और बाकी के लिए । स्वाभाविक रूप से, । अब क्या है? प्रथम: $w = xyz \in L$$p$$x_p \neq y_p$$u$$3p/2$$w$$v$$u_{2|u|/3} = x_p$$v_{|v|/3}$

$$|v|/3 = (|w| - 3p/2)/3 = |w|/3 - p/2.$$

इसलिए, में , इस स्थिति है: या दूसरे शब्दों में, स्थिति में । इससे पता चलता है कि ।$w$

$$|u|+|v|/3 = 3p/2 + |w|/3 - p/2 = |w|/3 + p,$$ $p$$y$$u_{2|u|/3} = x_p \neq y_p = v_{|v|/3}$

यदि , तो चलो पहले होना के पात्रों , ताकि है ; , का बाकी हिस्सा । तब: इसी तरह, |$y_p \neq z_p$$u$${3\over2}(|w|/3 + p)$$w$$u_{2|u|/3}$$y_p$$v$$w$

$$|u| + |v|/3 = 2|w|/3 + p$$ $v_{|v|/3} = z_p$

• $L' \subseteq L$डब्ल्यू = यू वी ∈ एल ' पी = 2 | यू | / 3 पी + | w | / ३ = २ | यू | / 3 + | यू वी | / 3 = | यू | + | वी | / 3. डब्ल्यू पी = यू 2 | यू | / 3 ≠ : हम पिछली प्रक्रिया को उल्टा करते हैं। चलो । लिखिए । फिर: इस प्रकार , और (क्योंकि अगर फॉर्म , तो) सभी लिए उस को पकड़ कर रखना चाहिए )।$w = uv \in L'$$p = 2|u|/3$ $$p+|w|/3 = 2|u|/3+|uv|/3 = |u| + |v|/3.$$ $w_p = u_{2|u|/3} \neq v_{|v|/3} = w_{p + |w|/3}$$w \in L$$w$$xxx$$w_p = w_{p+|w|/3}$$p$

Comments

वाह, अविश्वसनीय! मैं यह दावा नहीं करता कि मैंने आपके तर्क के प्रत्येक विवरण का पालन किया है, जैसे कि मैं यह नहीं देखता कि आप अंतिम पंक्ति ('अंतिम बिट' के लिए) से क्या मतलब है, या आप इस मामले को अलग क्यों नहीं करते हैं जब , लेकिन आपका समाधान अंततः काम करता है। मैं मुख्य चाल को रूप में संक्षेपित करूंगा । इसी तरह की चाल किसी भी के पूरक के लिए भी काम करती है । मुझे आश्चर्य है कि क्या संदर्भ-मुक्त है या नहीं। $|w|/3<p/2$$3a+3b=2a+(b-a)+2a+2b$$L_r=\{w^r\}$$L' = \{xyz : |x|=|y|=|z| \land (x \neq y)\}$

— डोमोटरप

@domotorp: चीयर्स! ठीक है, "आखिरी बिट" अनावश्यक था, धन्यवाद! जैसा कि "केस कब " के लिए, मुझे यकीन नहीं है कि आप कहाँ हैं। क्या मैं कुछ भुल गया? आपके , मुझे आश्चर्य है कि यह "सबूत" कर रहा है! अभी तक निश्चित नहीं है :)एल $|w|/3 < p/2$$L'$

— Michaël Cadilhac

ओह, मेरा बुरा, हमेशा रखती है! $p/2\le |w|/3$

— डोमोटरप

शायद यह कोई मुद्दा नहीं है, लेकिन अजीब हो सकता है, तो आप मामलों को संभाल चाहिए जब विषम हो। | यू | = 3 पी / 2 ( ? ) $p$$|u| = 3p/2 (?)$$p$

— मारजियो दे बियासी

@MarzioDeBiasi: हाँ, यह ठीक है कि यह स्केच क्यों है :-)

— माइकेल कैडिलैक

Answer 2

इस तरह से मैं इस समस्या को हल करने के बारे में सोच रहा हूं, एक पीडीए के साथ। मेरी राय में, यह सहज रूप से स्पष्ट है।

एक शब्द फॉर्म का नहीं है iff या तो (i) (mod 3), जो जांचना आसान है, या (ii) कुछ इनपुट सिंबल है कि संबंधित सिंबल से भिन्न होता हैबाद में स्थिति। $x$$www$$|x| \not\equiv 0$$a$$b$$|w|$

हम ढेर का उपयोग कर एक पूर्णांक बनाए रखने के लिए के सामान्य चाल का उपयोग एक नया "नीचे के- ढेर" प्रतीक होने से , निरपेक्ष मूल्य भंडारणस्टैक पर काउंटरों की संख्या के रूप में, और पीडीए के राज्य द्वारा sgn ( )। इस प्रकार हम उचित ऑपरेशन करके बढ़ा या घटा सकते हैं ।$t$$Z$$|t|$$t$$t$

लक्ष्य उन दो प्रतीकों की स्थिति का अनुमान लगाने के लिए nondeterminism का उपयोग करना है, और स्टैक का उपयोग रिकॉर्ड करने के लिए करें , जहां इन दो प्रतीकों के बीच की दूरी है। $t := |x|-3d$$d$

वेतन वृद्धि: हम यह पूरा इस प्रकार प्रत्येक प्रतीक जब तक पहले अनुमान लगाया प्रतीक देखा के लिए चुना जाता है, और रिकॉर्ड राज्य में। प्रत्येक अनुवर्ती इनपुट प्रतीक के लिए, जब तक आप तय करते हैं कि आप देखा है , घटती द्वारा ( इनपुट लंबाई के लिए और दूरी के लिए)। दूसरे प्रतीक की स्थिति का अनुमान लगाएं और रिकॉर्ड करें कि । बाद के इनपुट प्रतीकों के लिए इंक्रीमेंटिंग जारी रखें । स्वीकार अगर ( शीर्ष पर द्वारा पता लगाने योग्य ) और ।$t$$a$$a$$b$$t$$2$$1$$-3$$b$$a \not= b$$t$$t = 0$$Z$$a \not= b$

इसके बारे में अच्छी बात यह है कि यह पूरी तरह से स्पष्ट होना चाहिए कि इसे मनमानी शक्तियों तक कैसे बढ़ाया जाए।

Comments

वास्तव में, बहुत साफ!

— डोमोटर

आह, वास्तव में बहुत अच्छा है :-)

— माइकल कैडिलैक

Answer 3

बस एक अलग ("व्याकरण उन्मुख") परिप्रेक्ष्य को साबित करने के लिए कि बंद गुण का उपयोग करके किसी निश्चित लिए का पूरक सीएफ है ।$\{ w^k \}$$k$

सबसे पहले ध्यान दें कि के पूरक में वहाँ हमेशा है ऐसा है कि । हम पर ध्यान केंद्रित करते हैं और एक साधारण सीएफ व्याकरण के साथ शुरू करते हैं जो उत्पन्न करता है:$\{ w^k \}$$i$$w_i \neq w_{i+1}$$w_1 \neq w_2$

$L = \{\underbrace{a00...0}_{w_1} \; \underbrace{b00...0}_{w_2} ... \underbrace{000...0}_{w_k} \mid |w_i|=n \} = \{ a 0^{n-1} \, b 0^{n(k-1)-1} \}$

उदाहरण के लिए , हमारे पास ,$k = 3$$L = \{ a\,b\,0, a0\,b0\,00, a00\,b00\,000, ...\}$$G_L = \{ S \to ab0 | aX00, X \to 0X00 | 0b0 \}$

फिर व्युत्क्रम समरूपतावाद और संघ के तहत बंद लागू करें :

प्रथम समरूपता:$\varphi(1) \to a, \varphi(0) \to b, \varphi(1)\to 0, \varphi(0) \to 0$

दूसरा समरूपतावाद:$\varphi'(0) \to a, \varphi'(1) \to b, \varphi'(1)\to 0, \varphi'(0) \to 0$

$L' = \varphi^{-1}(L) \cup \varphi'^{-1}(L)$ अभी भी संदर्भ मुक्त है

लंबाई के के तार के सेट को प्राप्त करने के लिए लिए चक्रीय शिफ्ट के तहत क्लोजर लागू करें का नहीं :$L'$$kn$$w^k$

$L'' = Shift(L') = \{ u \mid u \neq w^k \land |u| = kn \}$ ।

अंत में स्ट्रिंग्स के नियमित सेट को जोड़ें जिसकी लंबाई द्वारा विभाज्य नहीं है ताकि वास्तव में का पूरक प्राप्त हो सके :$k$$\{w^k\}$

$L'' \cup \{\{0,1\}^n\mid n \bmod k \neq 0\} = \{ u \mid u \neq w^k\}$