लैम्ब्डा कैलकुलस में जटिलता सिद्धांत का समतुल्य सूत्रीकरण?

Question

जटिलता सिद्धांत में समय और स्थान की जटिलता की परिभाषा दोनों एक सार्वभौमिक ट्यूरिंग मशीन का संदर्भ देते हैं: सम्मान। रोकने से पहले चरणों की संख्या, और टेप पर कोशिकाओं की संख्या को छुआ।

चर्च-ट्यूरिंग थीसिस को देखते हुए, लैम्ब्डा कैलकुलस के रूप में भी जटिलता को परिभाषित करना संभव होना चाहिए।

मेरी सहज धारणा यह है कि समय की जटिलता को uctions-रिडक्शन की संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है (हम डी ब्रूजिन इंडेक्स का उपयोग करके α-रूपांतरण को परिभाषित कर सकते हैं, और) वैसे भी मुश्किल से एक कमी है), जबकि अंतरिक्ष जटिलता को संख्या के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। प्रतीकों (λ है, DB- अनुक्रमित, "लागू" -symbols) सबसे बड़ी कमी में।

क्या ये सही है? यदि हां, तो मुझे एक संदर्भ कहां मिल सकता है? यदि नहीं, तो मुझसे गलती कैसे हुई?

Comments

यह ध्वन्यात्मक कम्प्यूटेशनल जटिलता जैसा लगता है ?

— ता थान

Answer 1

जैसा कि आप बताते हैं, λ-पथरी में समय-जटिलता की एक सरल सा धारणा है: बस।-कमी के चरणों की संख्या की गणना करें। दुर्भाग्य से, चीजें सरल नहीं हैं। हमें पूछना चाहिए:

 Is counting β-reduction steps a good complexity measure?

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हमें स्पष्ट करना चाहिए कि पहली जगह में जटिलता माप से हमारा क्या मतलब है। एक अच्छा जवाब स्लॉट और वैन एम्ड बोस थीसिस द्वारा दिया गया है : किसी भी अच्छी जटिलता के माप में ट्यूरिंग मशीनों का उपयोग करके परिभाषित समय-जटिलता की विहित धारणा के लिए एक बहुपद संबंध होना चाहिए। दूसरे शब्दों में, λ-पथरी शब्दों से लेकर ट्यूरिंग मशीनों तक एक उचित एन्कोडिंग ट्र (?) होना चाहिए, जैसे कि प्रत्येक शब्द $M$ के लिए आकार $|M|$: $M$ , $poly(|M|)$ में एक मान को कम करता है, जब वास्तव में $tr(M)$$poly(|tr(M)|)$ में एक मान को कम करता है ।

एक लंबे समय के लिए, यह स्पष्ट नहीं था कि क्या इसे λ-पथरी में प्राप्त किया जा सकता है। मुख्य समस्याएं निम्नलिखित हैं।

• ऐसे शब्द हैं जो बहुपद संख्या में सामान्य रूप उत्पन्न करते हैं जो घातीय आकार के होते हैं। देखें (1)। यहां तक ​​कि सामान्य रूपों को लिखते समय घातीय समय लगता है।

• चुनी गई कटौती की रणनीति भी एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। उदाहरण के लिए ऐसे शब्दों का एक परिवार मौजूद है जो समानांतर exists-चरणों की एक बहुपद संख्या में घटता है (इष्टतम λ-कमी (2) के अर्थ में, लेकिन जिनकी जटिलता गैर-प्राथमिक है (3, 4))।

पेपर (1) एक उचित एन्कोडिंग दिखा कर समस्या को स्पष्ट करता है जो जटिलता वर्ग PTIME को सबसे बाहरी कॉल-बाय-नेम कटौती मानते हुए संरक्षित करता है । मुख्य अंतर्दृष्टि यह प्रतीत होता है कि घातीय झटका केवल निर्बाध कारणों से हो सकता है जिसे उप-शर्तों के उचित साझाकरण से हराया जा सकता है।

ध्यान दें कि (1) जैसे कागजात बताते हैं कि PTIME जैसे जटिल जटिलताएँ मेल खाती हैं, चाहे आप β-चरणों की गणना करें, या ट्यूरिंग-मशीन चरणों की। इसका मतलब यह नहीं है कि ओ (लॉग एन) जैसी कम जटिलता कक्षाएं भी मेल खाती हैं। बेशक ऐसी जटिलता वर्ग भी ट्यूरिंग मशीन मॉडल (जैसे 1-टेप बनाम मल्टी-टेप) के बदलाव के तहत स्थिर नहीं हैं।

डी। माज़ा का काम (5) कुकिंग-लेविन प्रमेय (सैट की's-पूर्णता) साबित करता है, ट्यूरिंग मशीनों के बजाय एक कार्यात्मक भाषा (λ-पथरी का एक प्रकार) का उपयोग करता है। प्रमुख अंतर्दृष्टि यह है:

$$\frac{\text{Boolean circuits}}{\text{Turing machines}}=\frac{\text{affine $\lambda$-terms}}{\text{$\lambda$-terms}}$$

मुझे नहीं पता कि अंतरिक्ष की जटिलता के बारे में स्थिति समझ में आती है या नहीं।

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1. बी। असाटोली, यू। दाल लागो, बीटा रिडक्शन है, वास्तव में ।

2. J.-J. लेवी, कटौती में सुधार करता है एट इष्टतम डेंस ले लंबा-गणना।

3. जेएल लॉल, एचजी मैरसन, Optimality and inefficiency: कैलकुलस की लागत मॉडल क्या नहीं है ?

4. ए। अस्परती, एच। मैरसन, समानांतर बीटा कमी प्राथमिक पुनरावर्ती नहीं है ।

5. डी। मज्जा, चर्च मीट्स कुक और लेविन ।

Answer 2

$\beta$$\lambda$

Answer 3

$\mathsf L$$\mathsf P$$M\to^\ast N$$M$

$\beta$