कैसे छोटे के साथ सर्किट जटिलता एक समारोह के लिए एक स्तरित बूलियन सर्किट हो सकता है ?

आधार के आधार पर आकार के आकार के निविष्टियों के साथ एक बूलियन सर्किट द्वारा गणना की गई फ़ंक्शन पर विचार करें। ( 2 के लिए द्वार)। $f$ $C$ $n$ $s(n) = \mathsf{poly}(n)$ $\{\mathsf{XOR},\mathsf{AND},\mathsf{NOT}\}$ $\mathsf{XOR},\mathsf{AND}$

बूलियन सर्किट है स्तरित अगर यह में व्यवस्थित किया जा सकता (परतों सर्किट की गहराई जा रहा है) फाटक के इस तरह है कि दो फाटकों के बीच किसी भी बढ़त आसन्न परतों को जोड़ता है। $d$ $d$

यह देखते हुए कि आकार का एक बूलियन सर्किट है है, हम एक स्तरित सर्किट कंप्यूटिंग के आकार के बारे में क्या कह सकते हैं ? एक तुच्छ ऊपरी सीमा है: एक किनारे से पार की गई प्रत्येक परत पर में डमी नोड्स जोड़कर , हम सबसे अधिक पर आकार का एक स्तरित सर्किट प्राप्त करते हैं । लेकिन क्या हम सामान्य रूप से बेहतर कर सकते हैं (जैसे , या ), या सर्किट के दिलचस्प वर्ग के लिए? $f$ $s$ $f$ $C$ $O(s^2)$ $O(s\cdot \log s)$ $O(s)$

पृष्ठभूमि। यह सवाल क्रिप्टोग्राफी में हाल के परिणाम जो बताएंगे कि कैसे सुरक्षित रूप से गणना करने के लिए आकार की बूलियन सर्किट स्तरित की वजह से उपजी संचार के साथ (जैसे या ; मैं यह समझने की कोशिश कर रहा हूं कि स्तरित बूलियन सर्किटों के लिए यह प्रतिबंध कितना सामान्य है, या तो सामान्य सर्किट या "प्राकृतिक" सर्किट के लिए हो सकता है। हालाँकि, मैंने साहित्य में स्तरित सर्किटों के बारे में बहुत कुछ नहीं पाया है; उपयुक्त संकेतकर्ताओं का भी स्वागत किया जाएगा। $s$ $o(s)$ $s/\log s$ $s/\log\log s)$

circuit-complexity circuits

— जियोफ़रॉय कॉट्यू
स्रोत

यहां एक सर्किट का एक उदाहरण है जो आकार में एक महत्वपूर्ण ब्लोअप के बिना स्तरित सर्किट में परिवर्तित करना मुश्किल लगता है। परिभाषित करें कुछ फ़ंक्शन होने के लिए जिनका आकार में गणना की जा सकती है । परिभाषित , और हो की पुनरावृत्तियों । तब का आकार । ऐसा लगता है कि एक स्तरित सर्किट का निर्माण करना मुश्किल है जिसका आकार से कम है । इसलिए, यदि , तो शायद हमें एक स्तरित सर्किट के आकार बनाम सर्किट के बीच के अंतर की अपेक्षा करनी चाहिए। प्रमाण नहीं, अंतर्ज्ञान को प्रेरित करने के लिए सिर्फ एक विचारोत्तेजक उदाहरण।

f : {0, 1}^{n - 1} \to {0, 1}

$f:\{0,1\}^{n-1} \to \{0,1\}$

u

$u$

g (x_{1}, \dots, x_{n}) = (x_{2}, \dots, x_{n}, x_{1} \oplus f (x_{2}, \dots, x_{n}))

$g(x_1,\dots,x_n) = (x_2,\dots,x_n,x_1 \oplus f(x_2,\dots,x_n))$

C

$C$

t

$t$

g

$g$

C

$C$

O (t u)

$O(tu)$

Θ (n t)

$\Theta(nt)$

u = o (n)

$u=o(n)$

— DW

जहां तक मुझे याद है, लेयर्ड सर्किट के लिए सबसे अच्छा ज्ञात निचला बाउंड फॉर्म । -to- फ़ंक्शन के लिए साबित करना आसान है । उदाहरण के लिए, एक रेखीय मानचित्र जहां में है, मुख्य विकर्ण पर शून्य है। फिर इसमें हर लेयर पर कम से कम गेट्स होने चाहिए और लेयर्स की संख्या कम से कम । ध्यान दें कि इस फ़ंक्शन को आकार एक नियमित सर्किट द्वारा आसानी से गणना की जा सकती है । एकल-आउटपुट फ़ंक्शंस के लिए, यह उसी निचले बाउंड को साबित करना संभव है, लेकिन मुझे तर्क याद नहीं है।

Ω (n \log n)

$\Omega(n \log n)$

n

$n$

n

$n$

A x

$Ax$

A \in {0, 1}^{n \times n}

$A \in \{0,1\}^{n \times n}$

n

$n$

\log_{2} n

$\log_2 n$

O (n)

$O(n)$

— अलेक्जेंडर एस। कुलिकोव

टिप्पणी के लिए बहुत बहुत धन्यवाद। @ अलेक्जेंडरस्कूलिकोव, आपका तर्क लोककथा है, या क्या आपके पास स्तरित सर्किटों पर काम करने के लिए कुछ संकेतक हैं? The समझ में आता है - मुझे कुछ छोटे से बहुत आश्चर्य होता - लेकिन एकमात्र ज्ञात ऊपरी सीमा है?

Ω (n \log n)

$\Omega(n \log n)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

— जियोफ़ॉयर कॉट्यू

मुझे लगता है कि यह एक लोककथा है, हां। मुझे यकीन नहीं है कि मुझे ऊपरी बाउंड के बारे में सवाल मिला है । आप निम्नलिखित कागज पर एक नज़र रखना चाहते हैं: cs.utexas.edu/~panni/sizedepth.pdf

O (n^{2})

$O(n^2)$

— अलेक्जेंडर एस। कुलिकोव

मुझे लगता है कि हम सामान्य रूप से परिवर्तन से बेहतर नहीं जानते हैं । ध्यान दें कि आकार और गहराई सर्किट अधिकांश पर आकार के स्तरित सर्किट में परिवर्तित हो सकता है । (जो सबसे बुरी स्थिति में हमें आकार का एक सर्किट देता है ।) मैं सिर्फ यह बताना चाहता था कि यदि हम एक आकार के आकार में निचले हिस्से को साबित कर सकते हैं। स्तरित सर्किट, यह हमें इस फ़ंक्शन के लिए लॉग-डेप्थ सर्किट के आकार पर एक सुपर-रैखिक निचला बाउंड देगा। यह प्रश्न 40 से अधिक वर्षों तक खुला रहता है।

O (s^{2})

$O(s^2)$

s

$s$

d

$d$

d s

$ds$

O (s^{2})

$O(s^2)$

ω (n \log n)

$\omega(n\log{n})$

— एलेक्स गोलोवनेव

जहां तक मुझे पता है, स्तरित सर्किट के तीन वर्गों का अध्ययन किया गया है। इन सभी परिभाषाओं में आर्क केवल दो आसन्न परतों के बीच की अनुमति है।

एक सर्किट को सिंक्रोनस ( हार्पर 1977 ) कहा जाता है यदि सभी गेट परतों में व्यवस्थित होते हैं, और इनपुट परत 0. पर होना चाहिए (एक समतुल्य परिभाषा: किसी भी गेट , इनपुट से सभी पथों की लंबाई समान है।) $g$ $g$
एक सर्किट स्थानीय रूप से सिंक्रोनस ( बेलगा 1984 ) है यदि प्रत्येक इनपुट बिल्कुल एक बार होता है लेकिन एक मनमाना परत पर होता है।
एक सर्किट को स्तरित किया जाता है ( Gál, Jang 2010 ) यदि फाटकों और इनपुट को परतों में व्यवस्थित किया जाता है, तो विभिन्न परतों में कई बार इनपुट हो सकते हैं। (समतुल्य परिभाषा: किसी भी गेट और आउटपुट गेट , से तक के सभी निर्देशित पथ की लंबाई समान है।) $g$ $o$ $g$ $o$

यह देखना आसान है कि तीन वर्गों को सबसे कमजोर से सबसे मजबूत (और अप्रतिबंधित सर्किट का वर्ग और भी मजबूत) से सूचीबद्ध किया गया है।

एक स्तरित सर्किट कंप्यूटिंग आकार का एक अप्रतिबंधित सर्किट के आकार के बारे में हम निम्नलिखित पता: $s$

आकार किसी भी सर्किट को आकार ( Wegener 1987, धारा 12.1 ) के एक समकालिक / स्थानीय रूप से तुल्यकालिक / स्तरित सर्किट द्वारा गणना की जा सकती है । $s$ $s^2$
एक स्पष्ट कार्य को खोजना कठिन होना चाहिए जिसमें आकार समकालिक / स्थानीय रूप से समकालिक / स्तरित सर्किट की आवश्यकता होती है । वास्तव में, आकार और गहराई प्रत्येक सर्किट का आकार ( वेगेनर 1987, धारा 12.1 ) के समकालिक सर्किट द्वारा गणना की जा सकती है । इस प्रकार, यहां तक कि अगर हमारे पास एक स्पष्ट फ़ंक्शन जिसके लिए आकार तुल्यकालिक सर्किट की आवश्यकता होती है (भले ही अप्रतिबंधित सर्किट के वर्ग में इसकी जटिलता की परवाह किए बिना), तो की गहराई सर्किट द्वारा गणना नहीं की जा सकती है और आकार , जो सर्किट जटिलता में एक लंबे समय से खुले प्रश्न का उत्तर देता है ( $\omega(s\log{s})$ $s$ $d$ $O(sd)$ $f$ $\omega(n\log{n})$ $f$ $O(\log{n})$ $O(n)$ बहादुर 1977 )।
स्पष्ट कार्य मौजूद हैं

3.1। साथ के लिए बाध्य निचले तुल्यकालिक सर्किट लेकिन ऊपरी के लिए बाध्य स्थानीय रूप से तुल्यकालिक सर्किट ( Turán 1989 )। $\Omega(n\log{n})$ $O(n)$

3.2। साथ के लिए बाध्य निचले स्थानीय रूप से तुल्यकालिक सर्किट लेकिन ऊपरी के लिए बाध्य स्तरित सर्किट ( Turán 1989 )। $\Omega(n\log{n})$ $O(n)$

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि तुरान द्वारा ये दो पृथक्करण परिणाम एक आउटपुट के साथ कार्यों के लिए सिद्ध होते हैं। आउटपुट के साथ एक फ़ंक्शन ढूंढना अक्सर बहुत आसान होता है जो दो ऐसे वर्गों को अलग करता है। $n$

उदाहरण के लिए, समारोह पर विचार जहां वें उत्पादन बिट को छोड़कर सभी आदानों की एक XOR है वें एक। इस समारोह आसानी से आकार का एक बहुस्तरीय सर्किट से गणना की जा सकती : सबसे पहले सभी आदानों की एक XOR में गणना कुल आकार की परतों , तो आकार की एक परत में सभी outputs गणना । दूसरी ओर, को आकार के समकालिक सर्किट की आवश्यकता होती है । वास्तव में, लंबाई की समता की गणना करने के लिए , सर्किट की गहराई कम से कम होनी चाहिए । दूसरी ओर, प्रत्येक परत को संचारित होना चाहिए $f\colon\{0,1\}^n\to\{0,1\}^n$ $i$ $i$ $O(n)$ $\log{n}$ $n$ $n$ $f$ $\Omega(n\log{n})$ $n-1$ $\Omega(\log{n})$ $n$ सूचना के बिट्स, इस प्रकार इसका आकार कम से कम होना चाहिए । $n$

— एलेक्स गोलोवनेव
स्रोत