क्या 3-सैट के कोई कठिन उदाहरण हैं जब खंड केवल उन शाब्दिक का उपयोग कर सकते हैं जो एक दूसरे के "पास" हैं?

Question

चर होने दें । दो चरों के बीच की दूरी को रूप में परिभाषित किया गया है । दो शाब्दिक के बीच की दूरी संगत दो चर के बीच की दूरी है।$x_1 , x_2 , x_3 ... x_n$$d(x_a , x_b) = |a-b|$

मान लीजिए कि मेरे पास 3-सैट का उदाहरण है कि हर क्लॉज हमारे पास कुछ निश्चित मूल्य के लिए ।डी ( एक्स एक , एक्स ख ) ≤ एन ∧ घ ( एक्स एक , एक्स सी ) ≤ एन ∧ घ ( एक्स ख , एक्स सी ) ≤ एन $(x_a , x_b, x_c)$$d(x_a , x_b) \leq N \wedge d(x_a , x_c) \leq N \wedge d(x_b , x_c) \leq N$$N$

वैचारिक रूप से आप इसे एक रेखा पर शारीरिक रूप से होने वाले सभी शाब्दिक रूप में देख सकते हैं और सभी खंड भौतिक कारणों से एक निश्चित लंबाई से परे पहुंचने में असमर्थ हैं।

इस बाधा को देखते हुए 3-SAT के कोई कठिन उदाहरण हैं? मैं पड़ोस को कितना छोटा कर सकता हूं और अभी भी कठिन उदाहरण ढूंढ सकता हूं? क्या होगा अगर मैं कुछ बाधाओं को बाधा का उल्लंघन करने की अनुमति देता हूं?

मुश्किल से मेरा मतलब है कि एक वारिस सॉल्वर सबसे खराब स्थिति में वापस आ जाएगा।

Comments

"मुश्किल से मेरा मतलब है कि एक वारिस सॉल्वर सबसे खराब स्थिति में वापस आ जाएगा।" मुझे अच्छी तरह से परिभाषित नहीं करता है। क्या हम आपके प्रश्न की व्याख्या कर सकते हैं कि क्या एक बहुपद-कालिक एल्गोरिथ्म है जो ऐसे सभी 3-SAT उदाहरणों को हल करता है? या इस समस्या की जटिलता / कठोरता के बारे में पूछ रहे हैं?

— डीडब्ल्यू

"क्या हम आपके प्रश्न की व्याख्या कर सकते हैं कि क्या एक बहुपद-कालिक एल्गोरिथ्म है जो ऐसे सभी 3-SAT उदाहरणों को हल करता है?" मुझे लगता है कि मैं क्या देख रहा हूँ।

— IIAOPSW

आपके द्वारा उपयोग किए जा रहे स्थानीयता की आवश्यकता को 1D "ज्यामितीय रूप से स्थानीय" के रूप में भी जाना जाता है और भौतिकविदों के लिए "स्थानीयता" का प्रमुख अर्थ है। अब, यदि कोई आपके प्रश्न को क्वांटम मामले और बिट्स (2 राज्यों) से 8 राज्यों के कणों के साथ सामान्य करता है, तो आपकी समस्या का क्वांटम संस्करण वास्तव में 1D में QMA- पूर्ण ("क्वांटम-एनपी") है: देखें arxiv.org/ abs / 1312.1469 क्वैब के लिए समस्या 2 डी में QMA- पूर्ण है। arxiv.org/abs/quant-ph/0504050

— मार्टिन श्वार्ज

अतः इसके वास्तविक भौतिक विज्ञानी कंप्यूटर वैज्ञानिकों के बीच छिप नहीं सकते। तुमने मुझे पकड़ लिया। आपको 8 राज्यों की आवश्यकता क्यों है? बस क्वैबिट्स का उपयोग करें, पड़ोस के आकार को तिगुना करें, और 8 स्टेट के कण को ​​एनकोड करने के लिए हर 3 क्विट का उपयोग करें।

— IIAOPSW

ज़रूर, लेकिन फिर आपको काफी उच्च इलाका मिला है, यानी आपके स्थानीय संचालक कई क्वाइब खाते हैं। अनुसंधान की इस पंक्ति ने उच्च-डिमेंसोनियल कणों की लागत और इसमें शामिल व्यापार-नापसंद पर स्थानीयता (आदर्श रूप से 2-स्थानीय) को कम करने पर ध्यान केंद्रित किया है।

— मार्टिन श्वार्ज़

Answer 1

यदि 3-सैट के उदाहरण में क्लॉस है, तो आप ओ ( एम 2 एन ) समय में संतोषजनकता का परीक्षण कर सकते हैं । चूँकि N एक स्थिर स्थिरांक है, यह एक बहुपद-कालिक एल्गोरिथ्म है जो आपकी समस्या के सभी उदाहरणों को हल करता है।$m$$O(m 2^N)$$N$

एल्गोरिथ्म चरणों में काम करता है । आज्ञा देना aus मैं सूत्र का खंड जो x 1 , … , x i से केवल चर का उपयोग करते हैं । चलो एस मैं ⊆ { 0 , 1 } n करने के लिए कार्य की सेट को निरूपित एक्स मैं - एन , x मैं - एन + 1 , ... , एक्स मैं उस के लिए एक संतोषजनक काम करने के लिए बढ़ाया जा सकता है φ मैं । ध्यान दें कि $m$$\varphi_i$$x_1,\dots,x_i$$S_i \subseteq \{0,1\}^n$$x_{i-N},x_{i-N+1},\dots,x_i$$\varphi_i$ , हम गणना कर सकता है एस मैं मेंहे( 2 एन )समय: के लिए प्रत्येक( एक्स मैं - एन - 1 ,..., x मैं - 1 )∈ एस मैं - 1 , हम दोनों के लिए संभावनाओं की कोशिश एक्स मैं और क्या जाँच यह संतुष्ट से सभी खंड φ मैं उस चर होते x मैं ; यदि हां, तो हम जोड़ते हैं( x i - N ,$S_{i-1}$$S_i$$O(2^N)$$(x_{i-N-1},\dots,x_{i-1}) \in S_{i-1}$$x_i$$\varphi_i$$x_i$ से S i । में मैं वें चरण, हम गणना एस मैं । एक बार जब हम सब समाप्त कर दिया है मीटर चरणों, 3-सैट उदाहरण तृप्तियोग्य यदि और केवल यदि है एस एम ≠ ∅ । प्रत्येक चरण ओ ( 2 एन ) समयलेता है, और एम चरण होते हैं, इसलिए कुल चलने का समय ओ ( एम 2 एन ) है । यह इनपुट के आकार में बहुपद है, और इस प्रकार एक बहुपद-समय एल्गोरिथ्म का गठन करता है।$(x_{i-N},\dots,x_{i})$$S_i$$i$$S_i$$m$$S_m \ne \emptyset$$O(2^N)$$m$$O(m 2^N)$

यहां तक ​​कि अगर आप अड़चन की एक निश्चित संख्या का उल्लंघन करने की अनुमति देते हैं, तो समस्या अभी भी बहुपद समय में हल हो सकती है। विशेष रूप से, यदि अवरोधों की संख्या को गिनाता है जो बाधा का उल्लंघन करते हैं, तो आप ओ ( एम 2 ( टी + 1 ) एन ) समय में समस्या को हल कर सकते हैं , पहले उन खंडों में चर के लिए सभी संभावित मूल्यों की गणना करके, फिर जारी रखें। ऊपर एल्गोरिथ्म। जब टी एक स्थिर स्थिरांक है, तो यह बहुपद है। अधिक कुशल एल्गोरिदम हो सकते हैं।$t$$O(m 2^{(t+1)N})$$t$

Answer 2

सैट फॉर्मूला का इंसिडेंट ग्राफ एक द्विपदी ग्राफ है जिसमें प्रत्येक क्लॉज और प्रत्येक वेरिएबल के लिए एक वर्टेक्स होता है। हम एक खंड और इसके सभी चर के बीच किनारों को जोड़ते हैं। अगर घटना के ग्राफ ने ट्रेविद को बाध्य कर दिया है, तो हम पी में एसएटी फॉर्मूला तय कर सकते हैं, वास्तव में हम बहुत कुछ कर सकते हैं। आपका घटना ग्राफ बहुत प्रतिबंधित है। उदाहरण के लिए, यह एक बंधे हुए पथ प्रदर्शक ग्राफ है, इसलिए यह बहुपद का समय है। : ऊपर अच्छी तरह से ज्ञात संरचनात्मक परिणाम उदाहरण के लिए पर एक नज़र डालें https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166218X07004106 ।

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वास्तव में, यहां तक ​​कि प्राइमल ग्राफ (दो खंडों के बीच एक किनारे यदि वे एक ही खंड में दिखाई देते हैं) ने इस मामले में पैथोलॉफ़ को बाध्य कर दिया है। यह भी देखें (1) जो अधिक सुलभ या @DW उत्तर हो सकता है जो इन एल्गोरिदम के लगभग समान विचार है। (1) प्रोपोजल मॉडल काउंटिंग के लिए एल्गोरिदम , मार्को समीर, स्टीफन स्जाइडर, जे। डिसक्रीट अल्गोरिथम, वॉल्यूम 8, नंबर 1, पेज 50-64, 2010।

— holf