इस कथन का सामान्यीकरण कि एक मोनॉइड भाषा को पहचानता है iff सिंथैटिक मोनॉइड मोनॉइड को विभाजित करता है

Question

चलो $A$एक बारीक अक्षर हो। किसी दी हुई भाषा के लिए$L \subseteq A^{\ast}$वाक्यात्मक monoid $M(L)$औपचारिक भाषा सिद्धांत में एक प्रसिद्ध धारणा है। इसके अलावा, एक monoid$M$ एक भाषा को पहचानता है $L$ अगर वहाँ एक रूपवाद मौजूद है $\varphi : A^{\ast} \to M$ ऐसा है कि $L = \varphi^{-1}(\varphi(L)))$।

फिर हमारे पास अच्छा परिणाम है:

एक मोनॉइड $M$ पहचानता $L \subseteq A^{\ast}$ अगर $M(L)$ की उप-आकृति की एक समरूप छवि है $M$ (के रूप में रिटेन $M(L) \prec M$)।

उपरोक्त आमतौर पर नियमित भाषाओं के संदर्भ में है, और फिर ऊपर दिए गए monoids सभी परिमित हैं।

अब मान लीजिए कि हम स्थानापन्न हैं $A^{\ast}$ एक मनमाना के साथ $N$, और हम कहते हैं कि एक सबसेट $L \subseteq N$ द्वारा मान्यता प्राप्त है $M$ अगर वहाँ एक रूपवाद मौजूद है $\varphi : N \to M$ ऐसा है कि $L = \varphi^{-1}(\varphi(L))$। तब हम अभी भी है कि अगर$M$ पहचानता $L$, फिर $M(L) \prec M$ (एस। एलेनबर्ग, ऑटोमेटा, मशीनें और भाषाएं, वॉल्यूम बी देखें), लेकिन क्या कांसेप्ट पकड़ में है?

के लिए सबूत में $A^{\ast}$ इस संपत्ति के शोषण से साबित होता है कि यदि $N = \varphi(M)$ कुछ रूपवाद के लिए $\varphi : M \to N$ तथा $\psi : A^{\ast} \to N$ एक रूपवाद भी है, तो हम पा सकते हैं $\rho : A^{\ast} \to M$ ऐसा है कि $\varphi(\rho(u)) = \psi(u)$ धारण, बस कुछ चुनकर $\rho(x) \in \varphi^{-1}(\psi(x))$ प्रत्येक के लिए $x \in A$ और इसे एक आकारवाद तक विस्तारित किया जा रहा है $A^{\ast}$ सेवा $M$। लेकिन यह मनमाने मोनॉयड के लिए काम नहीं करता है$N$इसलिए मुझे उम्मीद है कि ऊपर दिए गए झूठ झूठे होंगे। और अगर यह झूठा है, तो किस तरह के मोनोड के पास$A^{\ast}$ क्या यह अभी भी सच है, और क्या उन साहित्यकारों ने अनुसंधान साहित्य में कोई ध्यान दिया है?

Comments

पहले पैराग्राफ का अंत: A के बजाय L ​​नहीं होगा?

— मेटुस डी ओलिवेरा ओलिवेरा

@MateusdeOliveiraOliveira हां, ध्यान देने योग्य है!

— स्टेफान

Answer 1

हां, इन साहित्यकारों ने अनुसंधान साहित्य में ध्यान आकर्षित किया है और वास्तव में कठिन सवालों को जन्म दिया है।

परिभाषा । एक मोनॉइड$N$कहा जाता है अगर निम्नलिखित संपत्ति रखती है: यदि$f:N \to R$ एक मोनॉफ मॉर्फिज़्म है और $h:T \to R$ एक विशेषण रूपवाद है, फिर एक रूपवाद मौजूद है $g:N \to T$ ऐसा है कि $f = h \circ g$।

आप 4.1.33 की परिभाषा के ठीक बाद [1] में प्रक्षेप्य मौनवृत्त पर एक लंबी चर्चा पा सकते हैं। यह विशेष रूप से दिखाया गया है कि प्रत्येक प्रक्षेप्य परिमित अर्धवृत्त एक बैंड है (एक अर्धवृत्त जिसमें प्रत्येक तत्व उदासीन है)। लेकिन विश्वास सही नहीं है और यह तय करना वास्तव में एक खुली समस्या है कि क्या परिमित सूक्ष्मतम् परियोजनात्मक है।

[१] जे। रोड्स और बी। स्टाइनबर्ग, द$q$परिमित अर्धवृत्तों का सिद्धांत । गणित में स्प्रिंगर मोनोग्राफ। स्प्रिंगर, न्यूयॉर्क, 2009. xxii + 666 पीपी। आईएसबीएन: 978-0-387-09780-0

Comments

आपके उत्तर के लिए धन्यवाद! लेकिन क्या यह संपत्ति वास्तव में आवश्यक है, मेरा मतलब है कि यह पर्याप्त है, लेकिन क्या वाक्यात्मक मुद्रा की "विभाजन संपत्ति" वास्तव में सामान्य रूप से विफल हो जाती है, और यदि ऐसा है तो आपके पास एक उदाहरण है (या काउंटर-उदाहरण है कि यदि वाक्यगत मोनॉइड किसी अन्य मोनोइड को विभाजित करता है , तो दूसरा मोनोड भी उस उपसमुच्चय को पहचानता है जिससे वाक्यगत मोनोड बनाया गया है)?

— स्टेफेन