गैर-एकरूपता कैसे उपयोगी हो सकती है, इसके उदाहरण क्या हैं?

Question

मैं उन तरीकों के बारे में उत्सुक हूं, जिनमें आपने गैर-एकरूपता को गणना में उपयोगी देखा है। एक तरीका यादृच्छिकता है, जैसा कि , और दूसरा लुक-अप टेबल है जिसका उपयोग यह दिखाने के लिए किया जाता है कि सभी भाषाओं में गैर-समान सर्किट हैं।$BPP \subseteq P/poly$

विशेष रूप से, मैं उन तरीकों में दिलचस्पी रखता हूं, जिन्हें संभवतावादी विधि और अन्य गैर-रचनात्मक (या नहीं-रचनात्मक-पर्याप्त) सबूत विधियों के माध्यम से मौजूद होने के लिए जाना जाता है, गैर-एकरूपता का उपयोग करके लीवरेज किया जा सकता है। मैं उदाहरणों को पसंद करता हूँ, प्राकृतिक होना, न कि आकस्मिक। स्पष्ट होने के लिए, एक विवादित समस्या के लिए एक सर्किट कुछ इस तरह हो सकता है: कुछ भाषा _ दिए गए , मैं अपनी सलाह का उपयोग करके कुछ वास्तव में हार्ड फ़ंक्शन गणना करके एक बहुपद आकार का सर्किट बनाता हूं और पूछ रहा हूं कि क्या ।$L \in P$$f(|x|)$$f(|x|)^{n/|f(|x|)|} \oplus x \in L$

Comments

तो "उपयोगी" से मुझे लगता है कि आप समस्या को हल करने के लिए आवश्यक संसाधनों को काफी कम कर रहे हैं? जैसे कि गैर-समान सर्किट जो कि वर्दी वाले की तुलना में काफी छोटे हैं, या सलाह के साथ ट्यूरिंग मशीनें जो बिना किसी सलाह के बहुत तेजी से चलती हैं?

— usul

ये बराबर हैं, नहीं? मैं वास्तव में उपयोगी के रूप में "कुछ दिलचस्प साबित करने के लिए इस्तेमाल किया" के रूप में मतलब था, हालांकि

— शमूएल श्लेसिंगर

मुझे लगता है कि मुझे लगता है कि सभी दिलचस्प चीजें आप गैर-एकरूपता का उपयोग करके साबित करेंगे कि मूल रूप से आप जो कहते हैं, उसमें गिर जाएंगे, सिवाय इसके कि सर्किट ज्ञात वर्दी वाले से बेहतर होंगे, लेकिन संभव से बेहतर नहीं

— सैम्युल स्लेसिंगर

Answer 1

एक उदाहरण मुझे पसंद है कि तर्क है कि भाषा में तार गिनती करके (देखें उदाहरण https://blog.computationalcomplexity.org/2004/01/little-theyem.html )।$\mathrm{NE\subseteq coNE}/(n+1)$

Comments

यह बहुत अच्छा है, क्योंकि यह संभाव्य पद्धति या लुक-अप तालिकाओं पर निर्भर नहीं करता है। इसके लिए धन्यवाद।

— शमूएल श्लेसिंगर

(ध्यान दें कि यदि सलाह-स्ट्रिंग की लंबाई हूबहू होना चाहिए, तो नहीं काफी स्पष्ट रूप से काम करता है (और मैं किसी भी तरह से है कि यह, काम करता है स्पष्ट-और न ही-नहीं) को दिखाने के लिए नहीं दिख रहा है।)$n$

मुझे लगता है कि सलाह देने वाली कक्षाएं आमतौर पर सटीक सलाह की लंबाई के लिए परिभाषित नहीं होती हैं @RickyDemer

— सैमुअल

इसके अलावा, मैं अब तक अपने प्रयासों में इसे नहीं देख सकता हूं, इसलिए यदि कोई संदर्भ दे सकता है या उसका उल्लेख कैसे कर सकता है, तो मैं इसकी सराहना करता हूं

— सैमुअल स्लेसिंगर

@SamuelSchlesinger: जबकि पी / पाली या सी / लॉग (किसी भी वर्ग सी के लिए) आमतौर पर बड़े-ओह तक की सलाह की लंबाई के साथ परिभाषित किए जाते हैं, यह हमेशा सच नहीं होता है। कुछ परिणाम सलाह बिट्स की सटीक संख्या का उपयोग करते हैं (कभी-कभी 1 जितना छोटा होता है!)।

— जोशुआ ग्रोको

Answer 2

एक उदाहरण । इस प्रमेय को उनके पेपर "मेकिंग नॉनडेटर्मिनिज़म अनबिगिउस" में रेनहार्ड्ट और अल्लेंडर ने साबित किया था । विवरण में जाने के बिना, उनके एल्गोरिथ्म में सलाह में धार-भार असाइनमेंट का एक क्रम होता है ताकि किसी भी डिग्राफ के लिए$\mathbf{NL} \subseteq \mathbf{UL}/\text{poly}$$G$ एनकोडेड द्वारा $n$-बिट स्ट्रिंग, अनुक्रम में कुछ असाइनमेंट बनाता है $G$"न्यूनतम-अद्वितीय"। इस तरह के अनुक्रम को संभाव्य विधि द्वारा अस्तित्व में दिखाया जा सकता है। Reinhardt और Allender का मुख्य योगदान अस्पष्ट लॉग-स्पेस एल्गोरिदम को यह बताने के लिए देना था कि किसी विशेष दिए गए डिग्राफ के अनुक्रम में कौन सा असाइनमेंट काम करता है$G$ और निर्णय लेने के लिए $s$-$t$ मिन-यूनिक डिग्राफ पर कनेक्टिविटी।

साथ ही $\mathbf{BPP} \subseteq \mathbf{P}/\text{poly}$, यह अनुमान लगाया जाता है कि वास्तव में गैर-समानता यहाँ आवश्यक नहीं है, अर्थात, यह अनुमान है कि $\mathbf{NL} = \mathbf{UL}$।

Answer 3

मुझे यकीन नहीं है कि अगर आप जो खोज रहे हैं वह फिट बैठता है, लेकिन कुछ जटिलताओं के साथ सिमेंटिक जटिलता वर्गों के लिए पदानुक्रम प्रमेयों को साबित करने वाले कुछ परिणाम हैं, जहां कोई पदानुक्रम प्रमेय बिना सलाह के नहीं जाना जाता है। सबसे अच्छा ज्ञात उदाहरण बीपीपी है, जिसके लिए हम एक पदानुक्रम प्रमेय नहीं जानते हैं, लेकिन फोर्ट्वेन और संथानम ने दिखाया कि एक सलाह के साथ मौजूद है (बराक के परिणामस्वरूप निर्माण जो अधिक सलाह का उपयोग करता है)। मेलकेबेक और पेरिशेव का यह लेख संदर्भ और इतिहास देता है, और एक प्रमेय जो पिछले वाले को कम करने के लिए लगता है।

Comments

अगर यह केवल एक बिट है तो हम इसके माध्यम से इसे पसंद नहीं कर सकते हैं $P/log$?

— टी ....

@ टर्बो आपका दावा है कि BPP / 1 BPP के समान है। एक सबूत लिखने की कोशिश करें और आप आसानी से अपने लिए देख सकते हैं कि यह कहाँ गलत है

— साशो निकोलेव