ग्राफ समस्याओं की काल्पनिक जटिलता में आम अंतर्दृष्टि

Question

मैं कुछ ग्राफ समस्याओं की काल्पनिक कठोरता के दो उदाहरणों में आया था । हाइपोथेटिकल कठोरता का मतलब है कि कुछ अनुमानों का खंडन करने से संबंधित ग्राफ समस्या का एनपी-पूर्णता हो जाएगा। उदाहरण के लिए, बार्नेट के अनुमान में कहा गया है कि प्रत्येक 3-जुड़ा हुआ क्यूबिक प्लानर द्विदलीय ग्राफ हैमिल्टन है। फेडर और सुबी ने साबित किया कि अनुमान का खंडन करने से अनुमान के वर्ग में ग्राफ पर हैमिल्टनियन चक्र की समस्या का एनपी-पूर्णता होगा।

टुट्टे के 5-प्रवाह के अनुमान में कहा गया है कि प्रत्येक ब्रिज ग्राफ में कहीं भी शून्य-5 प्रवाह नहीं है। कोचोल ने दिखाया कि यदि अनुमान गलत है, तो यह निर्धारित करने की समस्या है कि क्या एक घन ग्राफ कहीं शून्य-प्रवाह 5-प्रवाह को स्वीकार करता है या नहीं ।

क्या उपरोक्त अनुमानों में सामान्य अंतर्दृष्टि हैं जो संबंधित ग्राफ समस्याओं की काल्पनिक एनपी-पूर्णता की व्याख्या करते हैं? क्या उपरोक्त अर्थ में काल्पनिक जटिलता के अन्य उदाहरण हैं?

PS यह उत्तर पाने के बिना MathoverFlow पर पोस्ट किया गया था ।

Answer 1

आपके प्रश्न के दूसरे भाग के लिए यहां दो संदर्भ दिए गए हैं।

कागज [1] दिए गए गेरथ साथ विरल रेखांकन के कुछ प्रकार के रंगरूप को संबोधित करता है । प्रत्येक निश्चित , वे बताते हैं कि संबंधित निर्णय समस्या या तो तुच्छ है (कक्षा में प्रत्येक ग्राफ में एक रंग है) या एनपी-पूर्ण। लेकिन यह निर्धारित करना कि का थ्रेशोल्ड मान एक कठिन खुली समस्या है! संपादित करें: माना समस्याओं में से एक, जैगर के अनुमान से संबंधित है, कि हर प्लानर ग्राफ को लिए एक समरूपता स्वीकार है।$g$$g$$g$
$4k$$C_{2k+1}$। [१] में दिखाया गया है कि कोई भी प्रतिघात सीधे कठोरता का प्रमाण देता है। (क्लोस्टरमेयर और झांग द्वारा एक समान अनुमान विषम-परिधि के लिए मौजूद है।) [1] में मानी जाने वाली अन्य समस्याओं के लिए, कोई आधिकारिक अनुमान नहीं है, लेकिन सही सीमा मूल्य बारे में किसी भी अनुमान के लिए, जो गलत साबित हो सकता है। एक प्रतिसाद द्वारा, उत्तरार्द्ध सीधे एक इसी कठोरता का प्रमाण देता है।$g$

उपरोक्त उद्धृत पेपर की शुरूआत में एसएटी [2] के बारे में निम्नलिखित दिलचस्प परिणाम का भी उल्लेख किया गया है। यह साबित होता है कि प्रत्येक , एक फ़ंक्शन मौजूद है जैसे कि -SAT (यानी -SAT जहां प्रत्येक चर बार होता है) तुच्छ है, लेकिन -सैट एनपी-पूर्ण है। ( का सटीक मान अज्ञात लगता है, हालांकि कुछ अनुमान दिया गया है।)$k$$f(k)$$(k,f(k))$$k$$f(k)$$(k,f(k)+1)$$f(k)$

[१] एल। ग्रेवेट, एम। मॉन्टासियर, पी। ओचेम और ए। पिन्लो। विरल रेखांकन के रंग के लिए एक जटिलता डाइकोटॉमी। ग्राफ थ्योरी के जर्नल 73: 85-102, 2012. एक लेखक की वेबसाइट पर लिंक + पीडीएफ

[२] जे। क्रतोचविल, पी। सैविक और जेड। Tuza। चर की एक और घटना तुच्छता से एनपी-पूर्ण करने के लिए संतोषजनक छलांग लगाती है। SIAM जर्नल 22 पर कम्प्यूटिंग: 203-210, 1993. लिंक

Comments

मैं इन उदाहरणों में अनुमान नहीं देख सकता।

— मोहम्मद अल-तुर्किस्टानी

[१] के लिए, एक अनुमान १ (कागज़ का पृष्ठ १ है, यह जैगर का अनुमान है)। इसके अलावा, संबंधित अनुमान 19 देखें। वहाँ अध्ययन की गई अन्य समस्याएं शायद इतनी प्रसिद्ध नहीं हैं कि उनका आधिकारिक अनुमान हो! इसी तरह [2] के लिए, मुझे नहीं पता कि क्या f (k) के मूल्य के बारे में अनुमान है।

— फ्लोरेंट फौकॉड

Answer 2

क्या उपरोक्त अनुमानों में सामान्य अंतर्दृष्टि हैं जो संबंधित ग्राफ समस्याओं की काल्पनिक एनपी-पूर्णता की व्याख्या करते हैं?

मेरी राय में विपरीत दिशा में एक स्पष्ट सामान्य अंतर्दृष्टि है: यदि अनुमान सही हैं, तो संबंधित समस्याएं एनपी-पूर्ण नहीं हैं और दोनों मामलों में तुच्छ हो सकती हैं (वे एनपीसी से पर स्विच करते हैं )।$O(1)$

और आम अंतर्दृष्टि यह है कि प्राकृतिक समस्याएं, हैमिल्टनियन चक्र और कहीं भी सामान्य रेखांकन में शून्य प्रवाह, "स्ट्रेट और शक्तिशाली" पर्याप्त रूप से एक ट्यूरिंग मशीन (ए ला कुक-लेविन) के निशान को "अनुकरण" करने के लिए पर्याप्त हैं। तब तक आप अधिक से अधिक बाधाओं को जोड़ना शुरू करते हैं जब तक कि आपको कोई "कम्प्यूटेशनल शक्ति" नहीं मिलती।

मेरे लिए यह एक ट्यूरिंग मशीन के संक्रमण ग्राफ पर (और पढ़ने / लिखने के टेप डिवाइस पर) अधिक से अधिक बाधाओं को जोड़ने जैसा है, जब तक कि आपको कुछ तुच्छ नहीं मिलता है जैसे "संक्रमण ग्राफ में एक चक्र नहीं होता है"।

क्या उपरोक्त अर्थ में काल्पनिक जटिलता के अन्य उदाहरण हैं?

एक (शायद) "हल किया हुआ मामला" के रूप में मैं अपने अनुभव को एक लेबल वाले बोर्ड पर एक रोलिंग से मरने से संबंधित अनुभव ला सकता हूं ।

कुछ साल पहले यह अज्ञात था अगर पूरी तरह से लेबल किए गए बोर्डों में दो अलग - अलग हेमिल्टन चक्र हो सकते हैं ( विशिष्ट रूप से रोल-योग्य अनुमान को सभी बोर्डों के लिए 8 से अधिक लंबाई के साथ तय किया गया था)। डोमोटर पी। (यहां उपयोगकर्ता डोमोटर) और मैंने (स्वतंत्र रूप से) यह साबित किया कि इस तरह के बोर्ड मौजूद हैं और अनुमान गलत है (... ध्यान दें कि यूसुफ ओ'रूर्के ने अभी तक अपने पेज को अपडेट नहीं किया है :-)।

तब उस तथ्य का उपयोग करके मैं यह साबित करने में सक्षम था कि छेदों के साथ पूरी तरह से लेबल वाले बोर्ड पर एक डाई को रोल करना एनपी-पूर्ण है ( छेद के बिना मामला अभी भी खुला है); हालांकि यह एक अप्रकाशित परिणाम है।