किसी भी दो गैर- आइसोमॉर्फिक ग्राफ़

Question

मैं बहुत विशिष्ट होना चाहता हूं। क्या किसी को डिसप्रिन का पता है या निम्नलिखित प्रस्ताव का प्रमाण है:

$\exists p \in \mathbb{Z}[x], n, k, C \in \mathbb{N},$

$\forall G, H \in STRUC[\Sigma_{graph}] (min(|G|, |H|) = n, G \not\simeq H),$

$\exists \varphi \in \mathcal{L}(\Sigma_{graph}),$

$|\varphi| \leq p(n) \wedge qd(\varphi) \leq Clog(n)^k \wedge G \vDash \varphi \wedge H \nvDash \varphi.$

वास्तव में, यह सच होना चाहिए अगर सभी गैर-आइसोमॉर्फिक ग्राफ़ को " स्थानीय" बयानों का उपयोग करके प्रतिष्ठित किया जा सकता है , और मुझे लगता है कि यह गलत है। निश्चित रूप से किसी भी ग्राफ को बहुपद मात्रात्मक गहराई का उपयोग करके प्रतिष्ठित किया जा सकता है, क्योंकि आप बस अपने ग्राफ को माप सकते हैं।$Clog(n)^k$

$\varphi = \exists x_1 \exists x_2 \exists x_3 ... \exists x_n (\forall x (\bigvee_{i \in V_G} x = x_i) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \in E_G} E(x_i, x_j))) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \notin E_G} \neg E(x_i, x_j))) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \in V_G^2 \mid i \neq j}x_i \neq x_j).$

संपादित करें: तो ऐसा लगता है कि मेरे पास जो स्थानीय अंतर्ज्ञान है वह झूठा है। क्वांटिफायर डेप्थ का एक फॉर्मूला Gaifman इलाके में घिरा है , जिसका मतलब है कि एक लॉग डेप्थ फॉर्मूला मूल रूप से वैश्विक है। इस कारण से, मेरे पास एक कूबड़ है कि प्रस्ताव सही हो जाएगा, जो मेरी राय में साबित करने के लिए बहुत कठिन होगा ।$k$$O(3^k)$

Comments

पथ और दो डिस्कनेक्ट किए गए पथों में से प्रत्येक के बारे में क्या है लंबाई$\frac{n}{2}$

— शमूएल श्लेसिंगर

पथ में केवल डिग्री दो नोड हैं , दो पथ में चार हैं। यानी, उन्हें एक स्थिर आकार के सूत्र द्वारा प्रतिष्ठित किया जा सकता है। आपके पास एक सर्कल बनाम दो सर्कल के साथ बेहतर भाग्य हो सकता है, लेकिन मुझे लगता है कि उन्हें क्वांटिफायर रैंक एक फार्मूले द्वारा प्रतिष्ठित किया जा सकता है । $1$$O(\log n)$

— एमिल जेकाबेक

यदि वे पत्तियों के करीब भिन्न होते हैं, तो टाल के पेड़ प्रतिनियुक्ति के लिए काम कर सकते हैं।

— एंड्रू सलामोन

@ EmilJe Emábek समानता के बिना सच है?

— शमूएल शेल्सिंगर

@StellaBiderman समानता के बिना सूत्रों का सत्य विशेषण को दर्शाते हुए संरक्षित है (यानी, दोनों तरीकों से संबंधों को संरक्षित करना) समरूपता। उदाहरण के लिए, रेखांकन के मामले में, बिना किसी किनारों वाले दो रेखांकन समान वाक्यों को संतुष्ट करते हैं। अधिक सामान्यतः, कोई भी ग्राफ ले सकता है, और किसी भी शीर्ष को एक स्वतंत्र सेट में उड़ा सकता है।

— एमिल जेकाबेक

Answer 1

इस उत्तर के सुझाव के लिए मेरे सहयोगी मैक्सिम ज़ुकोवस्की का धन्यवाद।

यह पता चला है कि उत्तर नकारात्मक है, और प्रतिसाद देना सरल है। बस ले और के लिए और और के लिए । (यहाँ है एक -clique और का एक सेट है पृथक कोने)। एह्रेनफुच गेम पर विचार करने से कोई यह दिखा सकता है कि पहले मामले में न्यूनतम संभव गहराई और दूसरे मामले में यह ।$G=K_m\sqcup \overline{K_m}$$H=K_{m+1}\sqcup \overline{K_{m-1}}$$n=2m$$G=K_m\sqcup \overline{K_{m+1}}$$H=K_{m+1}\sqcup \overline{K_m}$$n=2m+1$$K_s$$s$$\overline{K_s}$$s$$m$$m+1$

यह समाचार पत्र में दिखाया गया था : "ऊपरी परिमाणक गहराई के लिए सीमा रेखांकन के पहले के आदेश definability" ओलेग Pikhurko, हेल्मुट Veith और ओलेग Verbitsky द्वारा कि इस बाध्य लगभग तंग होते हैं और किसी भी दो -vertex रेखांकन गहराई का एक सूत्र से अलग पहचाना हैं ।$n$$\frac{n+3}{2}$