क्या हम जानते हैं कि BPP P / poly में होने के बाद BPP बनाम P एक वास्तविक समस्या है?

हम जानते हैं कि (, अब के बारे में 40 वर्षों के लिए Adleman, बेनेट और गिल धन्यवाद) है कि शामिल किए जाने के बीपीपी $\subseteq$ पी / पाली, और एक और भी मजबूत बीपीपी / पाली पी / पाली पकड़। "/ पॉली" का अर्थ है कि हम गैर-समान रूप से काम करते हैं (प्रत्येक इनपुट लंबाई लिए एक अलग सर्किट ), जबकि P इसके बिना "/ पाली" का अर्थ है कि हमारे पास सभी संभावित इनपुट लंबाई लिए एक ट्यूरिंग मशीन है , यहां तक कि इससे भी अधिक, कहते हैं। = अगले "बिग बैंग" के लिए सेकंड की संख्या। $\subseteq$ $n$ $n$ $n$

प्रश्न 1: बीपीपी = पी के नए सबूत (या अव्यवस्थित) क्या हमारे ज्ञान में योगदान जब हम बीपीपी / पी / पॉली जानते हैं ? $\subseteq$

"नए" के तहत मेरा मतलब है कि वास्तव में आश्चर्यजनक परिणाम, जैसे अन्य जटिलता वर्गों के पतन / अलगाव। इसके परिणामों की तुलना एनपी पी / पॉली के प्रूफ / करेंगे। $\subseteq$

[जोड़ा गया ० consequ.१०.२०१]]: BPP P का वास्तव में आश्चर्यजनक परिणाम होगा, जैसा कि इम्पैग्लियाज़ो और विगडरसन द्वारा दिखाया गया है , ई = DTIME में सभी (!) समस्याएँ होगी! आकार के सर्किट । इस परिणाम को याद करने के लिए रयान को धन्यवाद। $\not\subseteq$ $[2^{O(n)}]$ $2^{o(n)}$

प्रश्न 2: हम BPP / पाली P / पाली के प्रमाण के समान लाइनों के साथ BPP = P क्यों नहीं साबित कर सकते हैं ? $\subseteq$

एक "स्पष्ट" बाधा परिमित बनाम अनंत डोमेन समस्या है: बूलियन सर्किट परिमित डोमेन पर काम करते हैं, जबकि ट्यूरिंग मशीनें किसी भी लंबाई के - स्ट्रिंग्स के पूरे सेट $\{0,1\}^*$ पर काम करती हैं । इसलिए, संभाव्य बूलियन सर्किट को व्युत्पन्न करने के लिए, यह एक संभाव्य सर्किट की स्वतंत्र प्रतियों के बहुमत को लेने के लिए और यूनियन बाउंड के साथ चेरनॉफ की असमानता को लागू करने के लिए पर्याप्त है। बेशक, अनंत डोमेन पर, यह सरल बहुमत नियम काम नहीं करेगा। $0$ $1$

लेकिन क्या यह (अनंत डोमेन) एक वास्तविक "बाधा" है? सांख्यिकीय शिक्षण सिद्धांत (वीसी आयाम) के परिणामों का उपयोग करके, हम पहले से ही यह साबित कर सकते हैं कि BPP / poly $\subseteq$ P / poly भी अनंत डोमेन पर काम करने वाले सर्किटों के लिए है , जैसे अंकगणित सर्किट (सभी वास्तविक संख्याओं पर काम करना); उदाहरण के लिए , कुकर का यह पेपर देखें । एक समान दृष्टिकोण का उपयोग करते समय, हमें केवल यह दिखाना होगा कि पॉली-टाइम ट्यूरिंग मशीनों का वीसी आयाम बहुत बड़ा नहीं हो सकता है। क्या किसी ने इस बाद के कदम को बनाने का कोई प्रयास देखा है?

नोट [जोड़ा 2017/07/10]: derandomization के संदर्भ में, एक वर्ग के कुलपति आयाम कार्यों का अधिकतम संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है जिसके लिए कार्य करता है देखते हैं में इस तरह के कि हर के लिए

में

iff

साथ एक बिंदु

। यानी हम फ़ंक्शंस के ज़रिए पॉइंट्स के सेट को नहीं बल्कि पॉइंट्स के ज़रिए फ़ंक्शंस के सेट को तोड़ते हैं। (वीसी आयाम की दो परिणामी परिभाषाएं संबंधित हैं, लेकिन घातीय रूप से।)

F

$F$

f : X \to Y

$f:X\to Y$

v

$v$

f_{1}, \dots, f_{v}

$f_1,\ldots,f_v$

F

$F$

S \subseteq {1, \dots, v}

$S\subseteq\{1,\ldots,v\}$

(x, y) \in X \times Y

$(x,y)\in X\times Y$

f_{i} (x) = y

$f_i(x)=y$

i \in S

$i\in S$

परिणाम ( प्रायिकता में एकरूप अभिसरण के रूप में जाना जाता है ) इसके बाद निम्न अर्थ देते हैं: यदि प्रत्येक इनपुट , कुछ बेतरतीब ढंग से उठाया गया कार्य ( पर कुछ प्रायिकता वितरण के अंतर्गत ) संतुष्ट करता है। एक निरंतर लिए , फिर को सभी इनपुट पर बहुमत के रूप गणना की जा सकती है । से कुछ (निश्चित) फ़ंक्शन । देखें, उदाहरण के लिए, हॉसलर के पेपर में कोरोलरी 2 । [इसे धारण करने के लिए, पर कुछ हल्की औसत दर्जे की स्थिति है ।] $x\in X$ $\mathbf{f}\in F$ $F$ $\mathrm{Prob}\{\mathbf{f}(x)=f(x)\}\geq 1/2+c$ $c>0$ $f(x)$ $x\in X$ $m=O(v)$ $F$ $F$

उदाहरण के लिए, यदि सभी बहुपद जो आकार अंकगणितीय परिपथों द्वारा गणना योग्य है , तो सभी बहुपद में अधिकांश पर डिग्री है। । बहुपद के शून्य-पैटर्न की संख्या पर ज्ञात ऊपरी सीमा का उपयोग करके (देखें, उदाहरण के लिए इस पेपर ), कोई दिखा सकता है कि का वीसी आयाम । इसका तात्पर्य अंकगणित सर्किट के लिए शामिल किए जाने वाले बीपीपी / पॉली पी / पॉली से है। $F$ $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ $\leq s$ $F$ $D=2^s$ $F$ $O(n\log D)=O(ns)$ $\subseteq$

— Stasys
स्रोत

Q1 के बारे में: एक डिस्प्रूफ 2 ^ (O (n)) समय में हल होने वाली हर समस्या के लिए आश्चर्यजनक रूप से छोटे सर्किट दिखाएगा, इम्पेग्लियाज़ो-विगडरसन (जैसा कि आप शायद जानते हैं?)

— रेयान विलियम्स

मैं Q2 से भ्रमित हूं। यह स्पष्ट प्रतीत होता है कि एक पॉली-टाइम टीएम का वीसी आयाम अनंत है। यानी किसी भी परिमित सेट के लिए

और किसी भी

वहाँ एक polytime टीएम के तत्वों को स्वीकार करता है मौजूद है

और के तत्वों को खारिज कर दिया

। मुख्य बात यह है कि

परिमित है, इसलिए बहुपत्नी प्रतिबंध मूल रूप से अप्रासंगिक है।

X \subseteq {0, 1}^{*}

$X \subseteq \{0,1\}^*$

S \subseteq X

$S \subseteq X$

S

$S$

X ∖ S

$X \setminus S$

X

$X$

— साशो निकोलोव

पुन: Q2, समावेशन वास्तव में जटिलता वर्ग और कम्प्यूटेशनल शक्ति के साथ बहुत कुछ नहीं करता है मुझे लगता है, यह यादृच्छिक बिट्स की मात्रा बनाम सलाह की मात्रा के बारे में है, इसलिए मुझे नहीं लगता कि यह हमें प्रकृति के बारे में कोई जानकारी देता है कुशल अभिकलन की।

— केव

@Kaveh: संकेत "यादृच्छिक बिट्स की मात्रा बनाम सलाह की मात्रा" पर सोचने लायक है! लेकिन मेरे (आम आदमी के) दिमाग में, पी बनाम एनपी जैसे सवालों में भी, हम वास्तव में एक (वर्दी) टीएम के "स्पष्ट" निर्माण के बारे में परवाह नहीं करते हैं। ऐसे प्रश्न केवल कुशल एल्गोरिदम के अस्तित्व के बारे में पूछते हैं । बेशक, एक निर्माण अस्तित्व का "कोई संदेह नहीं" प्रमाण है। लेकिन कुछ कम प्रत्यक्ष प्रमाण भी हो सकते हैं । तो, चीजें "प्रत्येक

लिए अस्तित्व" को कम करने के लिए "सभी

लिए अस्तित्व" दिखा रही हैं । यही कारण है,

को

।

n

$n$

n

$n$

\forall \exists

$\forall\exists$

\exists \forall

$\exists\forall$

— Stasys

यदि आप रनिंग टाइम को ठीक करते हैं, तो भी VC-dim अनंत होगा। आप जो करने की उम्मीद कर सकते हैं वह यह है कि वीसी-मंद समय को बाध्य करने के लिए

बाध्य टीएम इनपुट आकार

पर चल रहे हैं । लेकिन अगर आप तर्क के बारे में सोचते हैं, तो आपको हर

: nonuniformity के लिए संभावित विभिन्न TM का बहुमत लेना होगा ।

T

$T$

n

$n$

n

$n$

— साशो निकोलोव

यह सुनिश्चित नहीं है कि यह कितना जवाब है, मैं बस कुछ अफवाह में लिप्त हूं।

प्रश्न 1 को समान रूप से पी एनपी के बारे में पूछा जा सकता है और एक समान उत्तर के साथ - परिणाम साबित करने के लिए उपयोग की जाने वाली तकनीक / विचार स्वयं निष्कर्ष के मुकाबले अधिक बड़ी सफलता होगी। $\neq$

प्रश्न 2 के लिए मैं कुछ पृष्ठभूमि और एक विचार साझा करना चाहता हूं। BPP = P के लिए हमारे पास बहुत सारी तकनीकें और विचार हैं, जहां तक मुझे पता है, "derandomization" के माध्यम से जाना: किसी भी संभावित पॉलीटाइम ट्यूरिंग मशीन को देखते हुए, इसे यादृच्छिक के बजाय नियत रूप से चुने गए एक गुच्छा को खिलाने के लिए PRG का निर्माण करें। लोगों, जैसे कि इसका व्यवहार वास्तव में यादृच्छिक बिट्स पर इसके व्यवहार के समान है। इसलिए अच्छे पर्याप्त छद्म आयामी जनरेटर के साथ, हमें बीपीपी = पी मिलता है। (गोदरेज की "BPP = P की दुनिया" इस बात का प्रमाण देती है कि BPP = P का कोई भी प्रमाण इसके बराबर होना चाहिए।)

यह काफी बीपीपी की तर्ज पर है पी / पाली, वहाँ छोड़कर, पीआरजी सलाह स्ट्रिंग जो जादू से उत्पादन किया जाता है। शायद आपके प्रश्न 2 का सबसे अच्छा उत्तर यह है कि पी में हमारे पास कोई जादू नहीं है और खुद को सलाह स्ट्रिंग के साथ आना चाहिए। विस्तारक रेखांकन जैसे उपकरणों का उपयोग करते हुए 2004 के परिणाम SL = L के पीछे भी व्युत्पन्न विचार है। $\subseteq$

अब इस बात पर विचार करें कि ऐसा प्रमाण केवल एक विशेष एल्गोरिथ्म, मिलर-राबिन परिमाण परीक्षण के लिए क्या होगा। यह कुछ नियतात्मक जनरेटर के अस्तित्व को दिखाएगा जो मिलर-राबिन प्राचीता परीक्षण को खिलाने के लिए पूर्णांकों के एक क्रम को चुनता है जैसे कि, यदि और केवल यदि सभी पूर्णांक पारित हो गए, तो मूल संख्या प्रमुख थी।

जैसा कि मैं इसे समझता हूं (हालांकि मैं कोई विशेषज्ञ नहीं हूं), इस तरह की सूची मौजूद है या इसमें कितनी छोटी संख्या का सवाल है (विशेष रूप से अगर यह कुछ बाउंड से नीचे के सभी नंबरों की जांच करने के लिए पर्याप्त है) का सवाल काफी गहरा सवाल है संख्या सिद्धांत और बारीकी से सामान्यीकृत रीमैन हाइपोथीसिस के रूपों को साबित करने से संबंधित है। इस प्रश्न को देखें । मुझे नहीं लगता कि यहां कोई औपचारिक निहितार्थ है, लेकिन ऐसा नहीं लगता है कि हम अगले सप्ताह बहुत अधिक सामान्य पीआरजी निर्माण के आकस्मिक लघु कोरोलरी के रूप में प्राप्त करने की उम्मीद करते हैं।

— usul
स्रोत

दिलचस्प विचार! ओड के पेपर से पता चलता है कि Q2 वास्तव में PRG के "अस्तित्व बनाम निर्माण" को कम करता है। वीसी आयाम के माध्यम से व्युत्पन्नकरण में, एल्गोरिथम पहलुओं को पूरी तरह से अनदेखा किया जाता है।

— Stasys

सभी के लिए धन्यवाद (Kaveh, रिकी, रयान, साशो और "usul"): मैंने आपकी टिप्पणियों से बहुत कुछ सीखा है। "एकरूपता" मेरे जीवन में कभी कोई मुद्दा नहीं था , इसलिए मेरे सवालों की भोलीता थी। मैं "usul" के उत्तर को स्वीकार कर रहा हूं। Kaveh, Ricky, Ryan और Sasho की बहुत ही रोचक टिप्पणियों द्वारा कार्यान्वित, यह मेरे दोनों सवालों का जवाब देता है।

— Stasys