रेज़बोरोव की सन्निकटन की विधि का उच्च-स्तरीय अवलोकन

Question

रज़ोरोव की सन्निकटन की विधि क्या है? क्या कोई इसके पीछे एक उच्च-स्तरीय अवलोकन और अंतर्ज्ञान दे सकता है?

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यदि आप इस विषय पर एक व्याख्यान देखना चाहते हैं, तो टिम गोवर्स ने अपने जटिलता सिद्धांत व्याख्यान में इसे शामिल किया है: sms.cam.ac.uk/collection/545358

— रोबिन कोठारी

Answer 1

चलो $f$ पर एक बूलियन फ़ंक्शन हो $n$-bits। चलो$Z = f^{-1}(0) \subseteq 2^n$। चलो$C$ n बिट्स और आकार पर सर्किट होना $m$ और द्वार $g_1, \ldots, g_m$। $g_i$ फ़ंक्शन को भी निरूपित करता है $n$उप-वर्ग द्वारा गणना की गई श्रेणियां $g_i$आखिरी गेट के रूप में। सबसे पहला$n$ गेट इनपुट के लिए हैं $x_1, \ldots, x_n$। लक्ष्य यह दिखाना है कि$C$ आकार का $m$ गणना नहीं कर सकते $f$। की सभी संगणनाओं पर विचार करें$C$ से इनपुट्स पर $Z$। एक संगणना फाटकों के आउटपुट को मान प्रदान करती है। चलो$B$ बूलियन बीजगणित का हो $P(Z)$।

किसी भी फ़ंक्शन के लिए विचार करना है $g$ पर $n$-बिट्स कितनी अच्छी तरह इसका अनुमान लगाती है $f$ पर $Z$। चलो$||g|| = \{w \in Z \mid g(w) \neq 0 \}$।

एक अल्ट्राफिल्टर के लिए $F \subseteq B$ हम अल्ट्राप्रोडक्ट द्वारा एक नई गणना को परिभाषित कर सकते हैं: $c(g_i) = 0$ iff $||g_i|| \not\in F$। क्योंकि एक अल्ट्राफिल्टर अनिवार्य रूप से 0 मानों के लिए सुसंगत संगणना का एक परिणाम है$c$एक मान्य संगणना है। यह उस का पालन करेगा$f(c_1, \ldots, c_n) = 0$। हमने मौजूदा लोगों से एक नई गणना बनाई। चूंकि परिमित सेट पर सभी अल्ट्राफिल्टर प्रमुख हैं$c_1,\ldots,c_n \in Z$। यह किसी भी सर्किट के लिए काम करता है, हमने इस तथ्य का दोहन नहीं किया है कि सर्किट आकार का है$m$।

अगला विचार अब एक नए इनपुट के निर्माण के लिए सर्किट की सुंदरता का फायदा उठाना है जो बाहर है $Z$ तथा $f(w) \neq 0$ लेकिन सर्किट अपने सीमित आकार के कारण नोटिस नहीं करता है और इसलिए अभी भी 0. आउटपुट करता है। इसलिए यह गणना नहीं करता है $f$।

हमें अल्ट्राफिल्टर की परिभाषा को शिथिल करने की आवश्यकता है ताकि हम बाहर एक इनपुट प्राप्त कर सकें $Z$। अल्ट्राफिल्टर के स्थान पर हम ऊपर की ओर बंद उपसमूह का उपयोग करते हैं$B$ ($a \in F$ तथा $a \subseteq b$ का तात्पर्य $b \in F$) जो मिलते हैं उन्हें संरक्षित करते हैं ($a,b \in F$ का तात्पर्य $a \cap b \in F$)।

चलो $W_F = \{w \in 2^n \mid w_i = 0 \to ||\lnot x_i|| \in F, w_i \neq 0 \to ||x_i|| \in F\}$। $W_F$ के साथ संगत आदानों का सेट है $F$। अगर$F$ प्रधान है ($a \cup b \in F$ का तात्पर्य $a \in F$ या $b \in F$) और नॉनफुल ($\emptyset \not\in F$) तो प्रत्येक के लिए $i$, $F$ या तो होता है $||x_i||$ या $||\lnot x_i||$ तथा $W_F$ केवल एक इनपुट शामिल है।

हम मीट के संरक्षण में ढील देने जा रहे हैं। बूलियन बीजगणित में सभी मिलने के स्थान पर हम उनमें से एक छोटी संख्या को संरक्षित करेंगे। चलो$|f|$ सबसे छोटी संख्या हो $k$ मिलने का $M = (a_1 \cap b_1, \ldots, a_k \cap b_k)$ ऐसा है कि सभी के लिए ऊपर की ओर बंद, nonfull, $M$संरक्षण $F$, $W_F \subseteq Z$।

चलो $m$ सर्किट जटिलता हो $f$। रज़ोरोव ने यह साबित कर दिया$\frac{1}{2}|f| \leq m \leq O(|f|^3 + n^3)$।

ध्यान दें कि यह असमानता सभी कार्यों के लिए है। एक सर्किट आकार कम बाध्य साबित करने के लिए$m$ सब दिखाओ $m$-meets $M$, वहां एक है $F$ यह शर्तों को संतुष्ट करता है लेकिन इसके $W_F$ में समाहित नहीं है $Z$। इसके अलावा किसी भी मजबूत सर्किट कम बाध्य दूसरी असमानता के कारण इस पद्धति से साबित हो सकता है।

एक सर्किट लोअर बाउंड प्रूफ का वास्तविक हिस्सा यह दिखाना है कि दिया गया है $m$, किसी के लिए $m$-ऐसा कुछ नहीं है $F$। मोनोटोन सर्किट के मामले में स्थिति के बारे में$W_F$ को सरल करता है $w_i \neq 0 \to ||x_i|| \in F$ इतना साथ आ रहा है $F$ से आसान है।

अलेक्जेंडर रेज़बोरोव, दृष्टिकोण की विधि पर, 1989. पीडीएफ

मॉरीशियो कार्मर, सर्किट साइज़ के लिए प्रोविंग लोअर बाउंड्स, 1995 पर।

टिम गोवर्स, रज़ोरोव की सन्निकटन की विधि, 2009. पीडीएफ

Comments

क्या है $|f|$? क्या यह$k$?

— एमिल जेकाबेक

Answer 2

डिस्क्लेमर : यह केवल एक उच्च-स्तरीय अवलोकन है जिसका उद्देश्य ब्लम के हालिया पेपर में इस्तेमाल किए गए तरीकों को कुछ अंतर्ज्ञान देना है।

मैं उस नोटेशन का उपयोग करने का प्रयास करूंगा जो उपरोक्त पेपर में उपयोग किया गया है।

चलो $f$ पर एक बूलियन फ़ंक्शन हो $n$ चर $x_1,\dots,x_n$। मान लीजिए कि हम यह साबित करना चाहते हैं कि कोई भी बूलियन नेटवर्क कंप्यूटिंग$f$ बड़ा आकार है।

कुछ बूलियन नेटवर्क को देखते हुए $\beta$ कंप्यूटिंग $f$ इसके आउटपुट नोड पर, निम्नलिखित प्रक्रिया पर विचार करें।

1. में गेट्स ऑर्डर करें $\beta$ कुछ सामयिक आदेश के अनुसार $g_1,g_2,\dots,g_m$ जहां अंतिम नोड आउटपुट नोड है।
2. हर बार कदम के लिए $t=1,\dots,m$हम गेट पर गणना किए गए फ़ंक्शन को अनुमानित करेंगे$g_t$ एक "सरल" फ़ंक्शन द्वारा $f_{g_t}$। यह सन्निकटन नोड्स के नीचे की ओर गणना किए गए कार्यों को बदल सकता है$g_t$ (विशेष रूप से, आउटपुट नोड पर फ़ंक्शन $g_m$ बदल गया होगा)।

इस प्रक्रिया के अंत में, हमने गणना किए गए फ़ंक्शन का अनुमान लगाया होगा $g_m$ एक साधारण कार्य द्वारा $f_{g_m}$।

अगला परीक्षण इनपुटों के एक समूह का निर्माण करें $T\subseteq \{0,1\}^n$।

मान लें कि हम निम्नलिखित कथनों को सिद्ध कर सकते हैं:

• प्रत्येक अलग-अलग नोड का सन्निकटन अच्छा होता है (अर्थात, अधिक से अधिक $e$से इनपुट्स पर गलतियाँ पेश की जाती हैं $T$ प्रत्येक सन्निकटन कदम पर)।
• कोई सरल कार्य सन्निकट नहीं है $f$ अच्छी तरह से (यानी, किसी भी सरल कार्य के लिए $f_{g_m}$, हमारे पास है $f_{g_m}\neq f$ एक से अधिक पर $d$-का अंश $T$)।

फिर बस त्रुटियों की संख्या की गणना करके हम प्राप्त करते हैं $\beta$ कम से कम होना चाहिए $\tfrac{d\lvert T\rvert}{e}$-मनी फाटक।

यदि इस सन्निकटन योजना को किसी भी नेटवर्क के लिए काम करने के लिए दिखाया जा सकता है $\beta$ फ़ंक्शन की गणना करना $f$, तो हम सर्किट जटिलता के लिए एक कम बाध्य पर पहुंचते हैं $f$।

Comments

मुझे नहीं लगता कि यह सवाल का जवाब देता है, सवाल उस मसौदे के बारे में कुछ नहीं पूछता है।

— केवह

@ केवह मेला है। मैंने प्रश्न के समय के कारण गलत तरीके से माना हो सकता है, कि यह कागज के संबंध में इस तकनीक के बारे में पूछ रहा था।

— alw