कोई भी गणना योग्य पारलौकिक संख्या जो P समय में गणना योग्य है लेकिन नहीं

Question

क्या कोई ज्ञात संगणक पारगमन संख्या ऐसी है कि इसकी $n$वें अंक बहुपद समय में गणना योग्य है, लेकिन अंदर नहीं $O(n)$?

Comments

यह अभी भी समझ में नहीं आता है। क्या आपका मतलब है “… लेकिन समय में नहीं$O(n)$", और क्या?

— एमिल जेकाबेक

मेरा मतलब पी टाइम में है और अंदर नहीं $O(n)$। मुझे यकीन नहीं है कि मेरी अंग्रेजी गलत है या आपकी, वैसे भी आपकी टिप्पणी के लिए धन्यवाद।

— XL _At_Here_There

यदि लेखक इस प्रश्न को पठनीय अंग्रेजी में तैयार करने का प्रबंधन करता है, तो यह हर्टमैनिस-स्टर्न्स अनुमान से संबंधित हो सकता है: एक वास्तविक समय मल्टीटैप ट्यूरिंग मशीन द्वारा गणना की गई प्रत्येक वास्तविक संख्या या तो पारलौकिक या तर्कसंगत है।

— गामो

@Gamow सही ， लेकिन यह हार्टमैनिस-स्टर्न्स अनुमान के मामले को बाहर करता है।

— XL _At_Here_There

मैंने इसे समझने की कोशिश की, लेकिन यह अभी भी बहुत स्पष्ट नहीं है। क्या आपका मतलब है कि आप में गणना करने योग्य नहीं है$O(n)$, या साबित नहीं में कम्प्यूटेशनल $O(n)$? गणना का मॉडल क्या है: एकल या मल्टीटैप ट्यूरिंग मशीन, या कुछ और?

— साशो निकोलेव

Answer 1

यहाँ इस तरह की संख्या का निर्माण किया गया है। आप यह तर्क दे सकते हैं कि क्या इसका मतलब ऐसी संख्या "ज्ञात" है।

कोई भी फंक्शन लें $f$ से $\mathbb{N}$ सेवा $\{ 1, 2, \ldots, 8 \}$ जहां $n$'वें अंक में गणना योग्य नहीं है $O(n)$समय। इस तरह के एक फ़ंक्शन मौजूद है, उदाहरण के लिए, सामान्य विकर्ण तकनीक द्वारा। व्याख्या$f(n)$ के रूप में $n$'कुछ वास्तविक संख्या के दशमलव अंक $\alpha$। अब, प्रत्येक के लिए$n$ फार्म का $2^{2^k}$, $k \geq 1$, के अंकों को बदलें $\alpha$ पदों में $n, n+1, \ldots, 3n$ सेवा $0$'है। परिणामी संख्या$\beta$ जाहिर है संपत्ति है कि बरकरार रखती है $n$'वें अंक में गणना योग्य नहीं है $O(n)$ समय, लेकिन तर्कसंगत रूप से कई बहुत अच्छे अनुमान हैं, ऑर्डर करने के लिए कहें $O(q^{-3})$रूप में $p/q$। फिर रोथ के प्रमेय द्वारा$\beta$बीजीय नहीं हो सकता। (यह तर्कसंगत नहीं है क्योंकि इसमें मनमाने ढंग से लंबे ब्लॉक हैं$0$दोनों तरफ नॉनज़रोज़ द्वारा सेट किया गया।)

Answer 2

अधिक आम तौर पर, किसी भी निरंतर के लिए $k\ge1$वहाँ बहुपद समय में पारगम्य संख्याएं होती हैं, लेकिन समय में नहीं $O(n^k)$।

सबसे पहले, पदानुक्रम प्रमेय तक, एक भाषा मौजूद है $L_0\in\mathrm E$ समय में गणना करने योग्य नहीं $O(2^{kn})$। हम मान सकते हैं$L\subseteq\{0,1\}^*$, और हम यह भी मान सकते हैं कि सभी तार $w\in L$ लंबाई से विभाज्य है $3$।

दूसरा, चलो $L_1$ का एकात्मक संस्करण हो $L_0$। निश्चितता के लिए, किसी के लिए भी$w\in\{0,1\}^*$, चलो $N(w)$ उस पूर्णांक को निरूपित करें जिसका बाइनरी प्रतिनिधित्व है $1w$, और रखें $L_1=\{a^{N(w)}:w\in L_0\}$। फिर$L_1\in\mathrm P$, परंतु $L_1$ समय में गणना योग्य नहीं है $O(n^k)$। इसके अलावा,$L_1$ निम्नलिखित संपत्ति है: किसी के लिए $m$, $L_1$ कोई भी शामिल नहीं है $a^n$ ऐसा है कि $2^{3m+1}\le n<2^{3m+3}$।

तीसरा, चलो

$$\alpha=\sum\{2^{-n}:a^n\in L_1\}.$$ (मैं यहाँ मान रहा हूँ कि प्रश्न बाइनरी में संख्याओं के बारे में है। यदि नहीं, तो $2$ ऊपर किसी भी वांछित आधार के साथ प्रतिस्थापित किया जा सकता है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता।)

फिर $\alpha$ बहुपद समय में कम्प्यूटेशनल है, क्योंकि हम इसकी पहली गणना कर सकते हैं $n$ जाँच करके बिट्स $a,a^2,\dots,a^n$ में हैं $L_1$। उसी कारण से, यह समय में गणना योग्य नहीं है$O(n^k)$, के रूप में $n$-तो यह निर्धारित करता है कि क्या $a^n\in L_1$।

किसी के लिए $m$, चलो

$$p=\sum\{2^{2^{3m+1}-n}:n\in L_1,n<2^{3m+1}\}=\lfloor\alpha2^{2^{3m+1}}\rfloor,$$ तथा $q=2^{2^{3m+1}}$। फिर $$\left|\alpha-\frac pq\right|\le2^{-2^{3m+3}}=q^{-4}.$$ इस प्रकार, $\alpha$ कम से कम तर्कहीनता उपाय है $4$, इसलिए यह रोथ के प्रमेय द्वारा पारलौकिक है ।

Comments

हम्म, मैं देख रहा हूं कि मुझे स्कूप किया गया था। मैं वैसे भी जवाब छोड़ दूंगा, क्योंकि यह किसी के लिए उपयोगी हो सकता है।

— एमिल जेकाबेक

मैंने जेफरी की पोस्ट को प्रश्न के उत्तर के रूप में चुना है, क्योंकि उनका उत्तर पहले पोस्ट किया गया है।

— XL _At_Here_There

हाँ। मैं अपने आप को अगली बार याद दिलाऊंगा कि सभी तकनीकी विवरणों के साथ पूरी तरह से उत्तर लिखने में समय और प्रयास बर्बाद करने से परेशान न हों, क्योंकि इसके बजाय कुछ मिनट पहले पोस्ट करना स्पष्ट रूप से अधिक मूल्यवान है।

— एमिल जेकाबेक

: डी, ​​महान! आशा है कि हम अधिक विषयों का आनंद ले सकते हैं।

— XL _At_Here_There