द्विआधारी संबंध को डिब्बे में इस तरह वितरित करना कि प्रत्येक तत्व कम संख्या में डिब्बे में हो

Question

हमें वस्तुओं के जोड़े दिए गए हैं (कहते हैं, संख्याएँ)। प्रत्येक वस्तु अधिकांश $q$ जोड़े में दिखाई देती है । हमारा लक्ष्य जोड़े को समान आकार के डिब्बे में वितरित करना है, जैसे कि प्रत्येक वस्तु अलग-अलग डिब्बे में संभव के रूप में होती है।

अधिक सटीक रूप से, हम संपत्ति के साथ एक फ़ंक्शन च में रुचि रखते $f$हैं जो कि प्रत्येक ऑब्जेक्ट पर अधिकांश क्यू जोड़े के साथ $m$ जोड़े के साथ प्रत्येक द्विआधारी संबंध के लिए, पी बिन को जोड़े का वितरण होता है , जैसे कि प्रत्येक बिन को मीटर / पी जोड़े मिलते हैं ( p को m से विभाजित करना चाहिए ), और f ( m , q , p ) डिब्बे से अधिक कोई वस्तु नहीं होती है ।$q$$p$$m/p$$p$$m$$f(m,q,p)$

समानांतर क्वेरी मूल्यांकन पर हमारे शोध में यह सवाल आया। एक उम्मीद करेगा कि p की तुलना में $m$ बड़ा है । Q का "सही" आकार कम स्पष्ट है। के लिए एक दिलचस्प आकार क्ष हो सकता है, जैसे, √$p$$q$$q$$\sqrt{\frac{m}{p}}$ । एक समारोह है कि पर निर्भर नहीं करता$q$, लेकिन केवल एक निश्चित सीमा के लिए काम करता$q$भी होगा उपयोगी (लेकिन$q=O(1)$)।

असल में, हम प्रपत्र की सीमा के बाद कर रहे हैं $p^{1-\epsilon}$ , साथ $\epsilon>0$ संभव के रूप में बड़े रूप में ...

Comments

ग्राफ शब्दावली में: एक पूर्णांक p और एक ग्राफ G = ( V , E ) को m किनारों के साथ दिया गया है, जिसमें प्रत्येक शीर्ष पर अधिकांश q की डिग्री है , p उपसमूह G 1 , G 2 , … , G p को खोजें जहां G i = ( V) i , E i ) , जैसे कि V = E i V i , और { E i } $p$$G=(V,E)$$m$$q$$p$$G_1, G_2, \ldots, G_p$$G_i=(V_i, E_i)$$V=\bigcup_i V_i$$\{E_i\}_i$के एक विभाजन है ई में पी भागों आकार के प्रत्येक मीटर / पी , और प्रत्येक शिखर वी ∈ वी ज्यादा से ज्यादा में होता है कश्मीर ग्राफ की ( अधिकतम v | { मैं : वी ∈ वी मैं } | ≤ कश्मीर ) । आपका लक्ष्य k को कम करना है । K पर सबसे अच्छी ऊपरी सीमा क्या है जिसे आप m , p और q दिखा सकते हैं ? $E$$p$$m/p$$v\in V$$k$$(\max_v |\{i : v\in V_i\}| \le k)$$k$$k$$m$$p$$q$

— नील यंग

ये सही है। रेखांकन के संदर्भ में। प्रश्न का उत्तर है: पी । दरअसल, जैसा कि ऊपर लिखा है, हम प्रपत्र की सीमा में रुचि रखने वाले कर रहे हैं पी 1 - ε और किसी भी तरह के लिए बाध्य नहीं है ε > 0 । $p$$p^{1-\epsilon}$$\epsilon>0$

— थॉमस एस

आरंभ करने के लिए एक विशेष मामला: चलो n ≥ 1 एक विषम पूर्णांक हो। एक विभाजन कर सकते हैं ($n \ge 1$2 ) पूरा ग्राफ के किनारोंकश्मीरnमेंnआकार के सबसेट(n-1)/2ऐसी है कि, प्रत्येक शिखर के लिए, कि शीर्ष करने के लिए किनारों घटना युक्त सबसेट की संख्या हैहे(एन1-ε), कुछ के लिएε>0? मैं किसी के लिए हाँ शर्तε<1/2--- लेnआकार के यादृच्छिक शिखर सबसेटएन1-εप्रत्येक। फिर उच्च संभावना के साथ प्रत्येक शीर्ष लगभग$n\choose 2$$K_n$$n$$(n-1)/2$$O(n^{1-\epsilon})$$\epsilon>0$$\epsilon<1/2$$n$$n^{1-\epsilon}$1 - ε शिखर सबसेट, और प्रत्येक जोड़ी(मैं,जे)के बारे में में है n 1 - 2 ε सबसेट की। अब जोड़े को सब्मिट करने के लिए असाइन करें ...$n^{1-\epsilon}$$(i,j)$$n^{1-2\epsilon}$

— नील यंग

इस मामले में, नोड्स पहले में वितरित किया जा सकता √आकार के n सेट$\sqrt{n}$n (अंतराल के बारे में सोचो)। फिर प्रत्येक बिनको दो ऐसे सेटों काउत्पादI×J मिलताहै (मैं पूर्ण निर्देशित ग्राफ पर विचार कर रहा हूं, जो कि राज्य के लिए आसान है और asymptotically ज्यादा अलग नहीं है)। इसलिए, प्रत्येक शीर्ष में होता है$\sqrt{n}$$I\times J$n डिब्बे, यह है कि,ε=$\sqrt{n}$इस मामले में २ । $\epsilon=\frac{1}{2}$

— थॉमस एस

स्टार ग्राफ के लिए ( n - 1 किनारों की घटना एक वर्टिकल आर के लिए ) वर्टेक्स आर को प्रत्येक पी सबग्राफ में होना चाहिए , इसलिए उस स्थिति में पी से कम बाउंड संभव नहीं है। मुझे लगता है कि आप अधिकतम डिग्री क्यू को प्रतिबंधित क्यों कर रहे हैं ? हो सकता है कि आप इसके बारे में कुछ और निश्चित कह सकें, क्योंकि यह एक महत्वपूर्ण धारणा है। इस बीच, मैंने नीचे दिए गए उत्तर के रूप में एक अवलोकन (एक उत्तर नहीं, लेकिन एक टिप्पणी के रूप में फिट होने के लिए बहुत बड़ा!) छोड़ दिया। $n-1$$r$$r$$p$$p$$q$

— नील यंग

Answer 1

यह कोई उत्तर नहीं है। यह सिर्फ कुछ हद तक तुच्छ अवलोकन है कि wlog आप आवश्यकता आराम कर सकते हैं वास्तव में वहाँ हो कि है पी बढ़त सबसेट { ई मैं } मैं वास्तव में एक ही आकार के, और बदले सिर्फ आकार के के किनारे सबसेट के किसी भी संख्या के लिए देखो हे ( इच्छित आकार ) का है । शायद यह समस्या के बारे में सोचने में मदद करता है।$p$$\{E_i\}_i$$O(\textsf{the desired size})$

किसी भी ग्राफ फिक्स जी = ( वी , ई ) और पूर्णांक पी ≥ 1 । Let रों = ⌈ | ई | / पी $G=(V,E)$$p\ge 1$$s=\lceil |E|/p\rceil$

लेम्मा। मान लीजिए subgraphs हैं { जी ' j = ( वी ' जे , ई ' ञ ) } जे ऐसी है कि { ई ' j } जे विभाजन ई (के किसी भी संख्या) आकार के कुछ हिस्सों में हे ( रों ) । चलो एम = अधिकतम वी ∈ वी | { J : वी ∈ वी ' j } $\{G'_j=(V'_j,E'_j)\}_j$$\{E'_j\}_j$$E$$O(s)$

$$M = \max_{v\in V} |\{j : v\in V'_j\}|$$ किसी भी शीर्ष पर है कि भागों की अधिकतम संख्या हो।

उसके बाद p उपसमूह हैं { G i = ( V i , E i ) } मैं ऐसा हूं कि { E i } i विभाजन E से वास्तव में p भागों में प्रत्येक आकार में अधिकांश s = g | ई | / पी ⌉ , और अधिकतम वी ∈ वी | { मैं : वी ∈ वी मैं } | = हे $p$$\{G_i=(V_i,E_i)\}_i$$\{E_i\}_i$$E$$p$$s=\lceil |E|/p\rceil$

$$\max_{v\in V} |\{i : v\in V_i\}| = O(M).$$

सबूत। अनुक्रम के साथ शुरू ई ' 1 , ई ' 2 , ... , ई ' पी ' , प्रत्येक भाग की जगह ई ' जे अनुक्रम में किनारों उस भाग में निहित के किसी भी आदेश दिया अनुक्रम द्वारा। चलो ई 1 , ई 2 , ... , ई मीटर जिसके परिणामस्वरूप अनुक्रम (का क्रमपरिवर्तन हो ई इस तरह के प्रत्येक भाग कि ई ' जे कुछ "अंतराल" है { ई एक , ई एक $E'_1, E'_2, \ldots, E'_{p'}$$E'_j$$e_1, e_2, \ldots, e_m$$E$$E'_j$ 1 ,..., ई ख }अनुक्रम में किनारों की)। अब इस क्रम कोpमें विभाजित करें$\{e_a, e_{a+1}, \ldots, e_b\}$$p$ इस तरह के सन्निहित बाद के प्रत्येक को छोड़कर आकार है रों , और ई मैं में किनारों को शामिल मैं वें सन्निहित परिणाम को। (अतः E i = { e $s$$E_i$$i$s + 1 , ई ii<p। केलिए s + 1 ,…, e ( i + 1 ) s$E_i = \{e_{i\,s+1}, e_{i\,s+1}, \ldots, e_{(i+1)s}\}$$i<p$

इस धारणा से प्रत्येक भाग ई ' जे आकार की है हे ( रों ) , और डिजाइन द्वारा प्रत्येक भाग ई जे अंतिम भाग को छोड़कर ई पी है आकार रों है, तो (क्योंकि रास्ते से $E'_j$$O(s)$$E_j$$E_p$$s$ ई मैं } मैं परिभाषित किया गया है) किसी में किनारों दिया भाग ई ' जे भर में विभाजित कर रहे हैं हे ( 1 ) में भागों { ई मैं } मैं । यह, और यह धारणा कि प्रत्येक शीर्ष { E में भागों केअधिकांश M पर होता है$\{E_i\}_i$$E'_j$$O(1)$$\{E_i\}_i$$M$′ J }j, इसका अर्थ है कि प्रत्येक शीर्षभाग{Ei}iमें अधिकांशO(M)भागों में होता है। QED$\{E'_j\}_j$$O(M)$$\{E_i\}_i$