डीएफए के लिए संक्रमण मोनॉयड सदस्यता

Question

एक पूर्ण DFA को देखते हुए , हम प्रत्येक लिए और साथ , कार्यों के संग्रह को परिभाषित कर सकते हैं । हम इस धारणा को शब्द और जहां फ़ंक्शन रचना को दर्शाता है। इसके अलावा हम निरूपित और monoid है।$A=(Q, \Gamma, \delta, F)$$f_a$$a\in \Gamma$$f_a:Q\rightarrow Q$$f_a(q)=\delta(q, a)$$w=a_1, \cdots, a_m$$f_w=f_{a_1}\circ \cdots \circ f_{a_m}$$\circ$$G=\{f_w\mid w\in \Gamma^*\}$$G$

[ को आमतौर पर मानक पाठ्यपुस्तक में संक्रमण मोनॉइड कहा जाता है , लेकिन यहां मैं स्पष्टता के लिए परिभाषा को पुन: पेश करता हूं।]$G$

सवाल यह है कि, एक फ़ंक्शन , क्या हम ( में बहुपद समय) फ़ैसला कर सकते हैं , और यदि यह मामला है (यानी, वहाँ एक मौजूद है जैसे कि ), क्या केवल बहुपद है, या घातीय लंबा हो सकता है? $f:Q\rightarrow Q$$f\in G$$w$$f=f_w$$w$

[मुझे लगता है कि वास्तव में ऐसा शब्द तेजी से लंबा हो सकता है, लेकिन मैं एक साधारण उदाहरण की तलाश में हूं।]

Answer 1

decidability

यह निर्णायक है। वहाँ केवल सीमित कई संभावित कार्य हैं है, तो आप समारोह प्रति एक शीर्ष और एक बढ़त के साथ एक ग्राफ गम्यता समस्या के रूप में इस मॉडल कर सकते हैं, करता है, तो वहां मौजूद ऐसी है कि । फिर, परीक्षण कि क्या एक फ़ंक्शन है परीक्षण के लिए कम करता है कि क्या से ग्राफ में उपलब्ध है । आप पहली बार इस तरह के सबसे छोटे शब्द का उपयोग कर सकते हैं। चल समय में घातीय हो सकता है , यद्यपि।$f:Q \to Q$$g \to h$$a \in \Gamma$$h = f_a \circ g$$g$$G$$g$$f_\epsilon$$Q$

शब्द की लंबाई

इस तरह का सबसे छोटा शब्द तेजी से लंबा हो सकता है। इस तरह के एक डीएफए का एक उदाहरण है। चलो पहले होना अभाज्य संख्या। फिर एक राज्य फॉर्म जहां और । Unary alphabet और संक्रमण फ़ंक्शन साथ DFA को परिभाषित करें । फ़ंक्शन दिया जाता है। द्वारा$p_1,\dots,p_k$$k$$(i,x)$$i \in \{1,\dots,k\}$$x_i \in \{0,1,\dots,p_i-1\}$$\Gamma=\{0\}$$\delta((i,x),0 = (i,x+1 \bmod p_i)$$f_0 :Q \to Q$

$$f_0(i,x) = (i,x+1 \bmod p_i).$$

अब फ़ंक्शन द्वारा दिए गए पर विचार करें$g:Q \to Q$

$$g(i,x) = (i,x-1 \bmod p_i).$$

चीनी शेष प्रमेय का उपयोग उस को दिखाने के लिए संभव है जहां , और यह कि सबसे छोटा ऐसा शब्द है। इसके अलावा, , इसलिए , में घातीय रूप से बड़ा है ।$g = f_{0^n}$$n=p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_k -1$$0^n$$|Q|= p_1 + \dots + p_k$$n$$Q$

नतीजतन, बहुपद-समय एल्गोरिथ्म के लिए कोई उम्मीद नहीं है जो इस तरह के शब्द का उत्पादन करता है। यह अभी भी पत्ते तय करने के लिए एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म की संभावना खोलने में है , हालांकि।$g$$G$