संतुलित मैट्रिक्स को स्पष्ट करें

Question

यह एक स्पष्ट निर्माण करने के लिए संभव है 0 / 1 के साथ मैट्रिक्स एन 1.5 लोगों में इस तरह है कि हर एन 0.499 × एन 0.499 submatrix की तुलना में कम होता है एन 0.501 लोगों को?$N \times N$ $0/1$$N^{1.5}$$N^{0.499} \times N^{0.499}$$N^{0.501}$

या शायद ऐसी संपत्ति के लिए एक स्पष्ट हिटिंग सेट बनाना संभव है।

यह देखना आसान है कि रैंडम मैट्रिक्स में यह संपत्ति संभावना के साथ तेजी से करीब है । इसके अलावा, विस्तारक लेम्मा को मिलाना इस संपत्ति को प्राप्त करने के लिए पर्याप्त नहीं है।$1$

मुझे लगता है कि छद्म आयामी जनरेटर का अनुमान है कि मूर्ख दहनशील आयतें यहां मदद कर सकती हैं, लेकिन वे समान वितरण के लिए डिज़ाइन किए गए हैं और मुझे मूल रूप से यहां है।$B(N^2, N^{-0.5})$

Comments

यह एक दिलचस्प सवाल है: मैं प्रेरणा के बारे में उत्सुक हूं, हालांकि।

— सुरेश वेंकट

@ सुरेश यह आपसी जानकारी के मात्रात्मक गैर-निष्कर्षण से आता है। यदि आप रुचि रखते हैं, तो मैं विस्तार से बता सकता हूं।

— इलियाज

मैं वास्तव में हूँ। अगर आप इस तरह से आसान हैं तो आप मुझे ([e-mail]) ईमेल कर सकते हैं।

— सुरेश वेंकट

Answer 1

आप जो देख रहे हैं, वह दो स्वतंत्र स्रोतों के लिए एक-बिट एक्सट्रैक्टर है: एक फंक्शन , ऐसे, बशर्ते कि, X, Y मिन्ट-एन्ट्रापी 0.499 * के साथ यादृच्छिक चर हैं लॉग (एन), ई (एक्स, वाई) लगभग संतुलित है।$E:[N]\times [N]\to \{0,1\}$

यह एक कुख्यात कठिन समस्या है। आपके इच्छित मापदंडों के लिए, मेरा मानना ​​है कि यह Bourgain द्वारा हल किया गया था। यहां देखें: http://www.cs.washington.edu/homes/anuprao/pubs/bourgain.pdf

Comments

Bourgain कुछ α > 0 के लिए bias देता है । मैं कर रहा हूँ नहीं यकीन है कि विश्लेषण दे सकते हैं α = 1 / 2 । अगर मैं तुम होते तो मैं इसका अध्ययन करता और जाँच करता। आप अनूप राव, जीव डीवीर, एवी विगडरसन, या इस समस्या पर काम करने वाले किसी अन्य व्यक्ति से भी पूछ सकते हैं। $p=N^{-\alpha}$$\alpha>0$$\alpha = 1/2$

— दाना मोशकोवित्ज

@ अलीराज: जब आप (या कोई भी) यह पता लगाता है कि क्या बर्गरेन का निर्माण एक वांछित मैट्रिक्स देता है या नहीं, कृपया साझा करें (जब तक आपका मन न हो)!

— त्सुयोशी इतो

यह एक बहुत ही रोचक प्रश्नोत्तर रहा है। मैं त्सू जोशी के अनुरोध का दूसरा निवेदन करूंगा।

— सुरेश वेंकट

प्रश्न और उत्तर को फिर से पढ़ना (यह कुछ समय पहले हुआ है ..), मुझे लगता है कि मुझे ध्यान नहीं आया कि प्रश्नकर्ता केवल N ^ {1.5} चाहते थे, जो कि बिट को निकालने से मेल खाती है जो प्रायिकता N ^ के साथ 1 है। {-0.5} संतुलित बिट के बजाय। फिर भी, मुझे लगता है कि दो-स्रोत निकालने वालों का संदर्भ सहायक है। मैं कल्पना कर सकता हूं कि प्रश्न की सेटिंग के लिए समान तकनीक उपयोगी होगी।

— दाना मोशकोविट्ज़

1) यदि एक एक्सट्रैक्टर k लगभग एकसमान बिट्स का उत्पादन करता है, तो, विशेष रूप से, आप एक बिट प्राप्त कर सकते हैं जो कि प्रायिकता के साथ 1 है ~ 1/2 ^ k। 2) यह बहुत बेकार है, और यह मुझे लगता है कि इस तरह के बिट्स उत्पन्न करने के लिए और अधिक कुशल तरीका खोजने के लिए एक अच्छा शोध प्रश्न है।

— दाना मोशकोविट्ज़

Answer 2

यह उत्तर ऊपर दिए गए उसके उत्तर में दाना के विचार पर आधारित है।

मुझे लगता है कि आप दो-स्रोत हानिपूर्ण कंडेनसर का उपयोग करके इस तरह के मैट्रिक्स का निर्माण कर सकते हैं। फिक्स और कहते हैं एन = 2 एन । मान लीजिए आप एक स्पष्ट कार्य हो च ( एक्स , वाई ) है कि किसी भी दो स्वतंत्र यादृच्छिक स्रोतों लेता है ( एक्स , वाई ) , लंबाई में से प्रत्येक n कम से कम और होने मिनट एंट्रोपी कश्मीर = n ( 1 / 2 - δ ) और आउटपुट एक दृश्य के एन ' = n /$\delta = 0.001$$N=2^n$$f(x,y)$$(X, Y)$$n$$k = n(1/2 - \delta)$$n' = n/2$बिट्स है कि कम से कम न्यूनतम-एन्ट्रापी के साथ एक वितरण के लिए -close कश्मीर ' = n ( 1 / 2 - 3 δ ) । मुझे लगता है कि आप मानक संभाव्य तर्कों का उपयोग दिखाने के लिए कर सकते हैं कि एक यादृच्छिक समारोह को संतुष्ट करता है इन गुणों (भारी संभावना रखता है) करता है, तो 2 कश्मीर > कश्मीर ' + लॉग ( 1 / ε ) + हे ( 1 ) । संभाव्य तर्क के लिए दोषरहित कंडेनसर और अधिक सामान्य कंडक्टरों के लिए निम्नलिखित पेपर में क्या उपयोग किया जाना चाहिए:$\epsilon$$k'=n(1/2-3\delta)$$2k > k'+\log(1/\epsilon)+O(1)$

एम। कपाल्बो, ओ। रींगोल्ड, एस। वढान, ए। विगडरसन। रैंडमनेस कंडक्टर्स और कॉन्स्टेंट-डिग्री विस्तार डिग्री / 2 बैरियर से परे

हमारे मामले में, हम सेट है, तो हम समारोह है कि हम जरूरत के अस्तित्व के बारे में निश्चित नहीं है। अब, एक औसत तर्क से पता चलता है वहाँ एक है कि n ' -बिट स्ट्रिंग z ऐसा है कि की संख्या ( एक्स , वाई ) के साथ च ( एक्स , वाई ) = z कम से कम है 2 1.5 एन । मान लीजिए कि आप ऐसे z को जानते हैं और इसे ठीक करते हैं (आप किसी भी मनमाने z को चुन सकते हैं$\epsilon = 2^{-k'}$$n'$$z$$(x,y)$$f(x,y)=z$$2^{1.5 n}$$z$$z$यदि आप अतिरिक्त रूप से जानते हैं कि आपका फ़ंक्शन वितरण के लिए पूरी तरह से समान वितरण को मैप करता है जो -यूनिफ़ॉर्म से समान है)। अब ( x , y ) की संभावनाओं द्वारा अपने N × N मैट्रिक्स की प्रविष्टियों को पहचानें और 1 को स्थिति ( x , y ) iff f ( x , y ) = z पर रखें । Z की हमारी पसंद से , इस मैट्रिक्स में कम से कम 2 1.5 $O(2^{-n/2})$$N \times N$$(x,y)$$1$$(x,y)$$f(x,y)=z$$z$$2^{1.5n}$ लोगों को।

अब किसी भी सबमेट्रिक्स को लें और X , Y को क्रमशः चुनी हुई पंक्तियों और स्तंभों पर एक समान वितरण दें। के चुनाव तक च , हम जानते हैं कि च ( एक्स , वाई ) है ε मिनट एंट्रोपी होने के लिए -close कश्मीर ' । इसलिए, यदि हम submatrix का एक समान रूप से यादृच्छिक प्रविष्टि, एक होने की संभावना लेने 1 अधिक से अधिक है 2 - कश्मीर ' + ε ≤ 2 - कश्मीर ' + $2^k \times 2^k$$X, Y$$f$$f(X,Y)$$\epsilon$$k'$$1$$2^{-k'}+\epsilon\leq 2^{-k'+1}$। इसका मतलब है कि आप अधिक से अधिक है submatrix में लोगों को, के रूप में वांछित।$2^{2k-k'+1} = O(2^{n/2 + \delta})$

निश्चित रूप से वांछित मापदंडों (विशेष रूप से, लगभग इष्टतम आउटपुट लंबाई) के साथ एक स्पष्ट साथ आने वाला एक बहुत ही चुनौतीपूर्ण कार्य है और अब तक ज्ञात में ऐसा कोई कार्य नहीं है।$f$