न्यूनतम जटिलता ओरेकल क्या है जो बहुपद पदानुक्रम से PSPACE को अलग करती है?

पृष्ठभूमि

यह ज्ञात है कि वहाँ एक ओरेकल मौजूद है जैसे कि, । $A$ $PSPACE^A \neq PH^A$

यह भी ज्ञात है कि पृथक्करण यादृच्छिक यादृच्छिक के सापेक्ष होता है। अनौपचारिक रूप से, इसका अर्थ यह हो सकता है कि कई ओरेकल हैं जिनके लिए और अलग हैं। $PSPACE$ $PH$

सवाल

कैसे जटिल इन देववाणी कि अलग हैं से । विशेष रूप से, वहाँ एक दैवज्ञ है ऐसी है कि $PSPACE$ $PH$ $A \in DTIME(2^{2^{n}})$ ? $PSPACE^A \neq PH^A$

हम किसी भी देववाणी है ऐसी है कि और एक ज्ञात जटिलता ऊपरी बाध्य है? $A$ $PSPACE^A \neq PH^A$ $A$

नोट: इस तरह के एक दैवज्ञ के अस्तित्व में संरचनात्मक जटिलता सिद्धांत के प्रभाव हो सकते हैं। अधिक जानकारी के लिए नीचे दिए गए अद्यतन को देखें।

कम बाउंड तकनीक पर विवरण के साथ अद्यतन करें

दावा: यदि , तो सभी ऑर्कल्स , $PSPACE = PH$ $A \in P/poly$ । $PSPACE^A = PH^A$

प्रमाण स्केच: मान लीजिए कि । $PSPACE = PH$

एक दैवज्ञ चलो दिया जाना चाहिए। हम एक बहुपद समय का निर्माण कर सकते ओरेकल ट्यूरिंग मशीन कि किसी दिए गए लंबाई के लिए , आकार का एक सर्किट अनुमान लगा लेता एक अस्तित्व मात्रा और पुष्टि करता है कि सर्किट का फैसला करता है का उपयोग कर सर्किट के मूल्यांकन की तुलना द्वारा और क्वेरी परिणाम एक सार्वभौमिक परिमाणीकरण का उपयोग करते हुए हर लंबाई स्ट्रिंग के लिए। $A \in P/poly$ $\Sigma_2$ $M$ $n$ $p(n)$ $A$ $n$

इसके अलावा, एक निर्णय समस्या पर विचार करें जिसे मैं मात्रात्मक बूलियन सर्किट (QBC) के रूप में संदर्भित कर रहा हूं, जहां आपको एक मात्राबद्ध बूलियन सर्किट दिया जाता है और जानना चाहते हैं कि क्या यह वैध है (QBF के समान)। यह समस्या PSPACE- पूर्ण है क्योंकि QBF PSPACE- पूर्ण है।

इस धारणा से, यह है कि QBC इस प्रकार । चलो का कहना है कि कुछ के लिए पर्याप्त रूप से बड़े। Let एक बहुपद समय निरूपित कि हल QBC ट्यूरिंग मशीन। $\in PH$ $QBC \in \Sigma_k$ $k$ $N$ $\Sigma_k$

हम एक बहुपद समय oracle ट्यूरिंग मशीन जो हल करती है, प्राप्त करने के लिए और (करप-लिप्टन प्रमेय के प्रमाण में जैसा किया जाता है) की गणना को आपस में जोड़ सकते हैं । $M$ $N$ $\Sigma_k$ $QBC^A$

अनौपचारिक रूप से, यह नई मशीन एक oracle QBC इनपुट के रूप में लेती है (जो कि oracle gates वाला QBC है)। फिर, यह एक सर्किट की गणना करता है जो लंबाई इनपुट पर गणना करता है (साथ ही पहले दो क्वांटिफायर को बंद करता है)। इसके बाद, यह लिए सर्किट के साथ oracle QBC में ओरेकल गेट को बदलता है । अंत में, यह बहुपद समय के शेष के लागू करने के लिए आगे बढ़ता है को सुलझाने के लिए एल्गोरिथ्म $A$ $n$ $A$ $\Sigma_k$ इस संशोधित उदाहरण पर। $QBC$

अब, हम सशर्त को कम बाध्य दिखा सकते हैं।

परिणाम: अगर वहाँ एक दैवज्ञ मौजूद ऐसी है कि , तो । $A \in NEXP$ $PSPACE^A \neq PH^A$ $NEXP \nsubseteq P/poly$

सबूत स्केच: मान लीजिए मौजूद है ऐसी है कि । यदि , तो हमें एक विरोधाभास मिलेगा। $A \in NEXP$ $PSPACE^A \neq PH^A$ $NEXP \subseteq P/poly$

विशेष रूप से, अगर , तो दावे से ऊपर हमारे पास । हालांकि, यह ज्ञात है कि का तात्पर्य है कि । $NEXP \subseteq P/poly$ $PSPACE \neq PH$ $NEXP \subseteq P/poly$ $PSPACE = PH$

(देखें यहाँ पी / पाली के लिए जाना जाता परिणामों पर कुछ जानकारी के लिए)

— माइकल वेहर
स्रोत

यह शायद उल्लेख के लायक है कि यह है कि PSPACE अनुमान लगाया है

पीएच। यानी एक तुच्छ तांडव करना होगा, लेकिन हम इसे साबित नहीं कर सकते।

\neq

$\ne$

— थॉमस

कैसे, वास्तव में , क्या आप संबंधित PSPACE को परिभाषित करते हैं? साहित्य में एक से अधिक संभावनाएँ दिखाई देती हैं। विशेष रूप से, ओरेकल प्रश्नों को बहुपत्नी रूप से बाध्य माना जाता है?

— एमिल जेकाबेक

क्या आप PH में मूल सूत्र के सभी 2 ^ n qbfs तय करने वाले बड़े मोनोटोन बूलियन फॉर्मूले "क्यू फॉर्मूले का निर्माण" को शामिल करते हैं? Q के लिए परिचय देखें, 2002 संतुष्टिप्रद सम्मेलन, Q सूत्र पर अधिक के लिए QBFS पर अंतर्राष्ट्रीय कार्यशाला।

— daniel pehoushek

मेरा मानना है कि मैं, दिखा सकते हैं के रूप में एक, बाध्य कम है कि इस तरह के एक

में किया जा रहा SEH होगा "संरचनात्मक जटिलता सिद्धांत में असर है।" क्या मुझे वह बहुत जल्द पोस्ट करना चाहिए (जिसका अर्थ कल हो सकता है या 30 मिनट में हो सकता है), या इस अनुत्तरित को अधिक समय तक छोड़ दें ताकि आपको एक वर्ग के साथ उत्तर प्राप्त करने की अधिक संभावना हो जो कि पीड़ित हो?

A

$A$

यह देखते हुए कि यादृच्छिक oracles में उच्च Kolmogorov जटिलता है, मैं इस तरह के oracles पर किसी भी कम्प्यूटरीकृत ऊपरी सीमा को उल्लेखनीय परिणाम की उम्मीद करूंगा। मजबूत ऊपरी सीमाएं जैसे एकवचन-घातीय के मजबूत परिणाम होने चाहिए। (बेशक, यह तर्क विशुद्ध रूप से विधर्मी है और मुझे वर्तमान में यह पता नहीं है कि इसे कठोर कैसे बनाया जा सकता है।)

— एंड्रस सलामोन

मेरा मानना है कि यदि आप दिए गए तर्क के माध्यम से ट्रेस करते हैं, उदाहरण के लिए, के -आई को के सर्वेक्षण की धारा 4.1 में , आपको एक ऊपरी सीमा मिलती है । वास्तव में, हम यहां किसी भी फ़ंक्शन बदल सकते हैं, जहां as । यह वह नहीं है जो मांगा गया था, लेकिन यह करीब है। $\mathsf{DTIME}(2^{2^{O(n^2)}})$ $n^2$ $nf(n)$ $f(n) \to \infty$ $n \to \infty$

विशेष रूप से, ऑरेकल सेपरेशन और सर्किट लोअर बाउंड्स के बीच अनुवाद का उपयोग करते हुए, और Ko के अंकन के बाद, हमारे पास निम्नलिखित हैं:

हम लंबाई जहाँ है, को " -th बहुपद (पॉली-टाइम पोर के कुछ एन्यूमरेशन में)" और नीचे निर्दिष्ट किया जाएगा। $t(n) = p_n(m(n))$ $p_n(x) = x^n + n$ $n$ $m(n)$
सर्किट कम सीमा में अनुवाद, इसका मतलब है कि हम पर बाउंड-डेप्थ सर्किट पर विचार कर रहे हैं $2^{t(n)}$ इनपुट ।
आवश्यकता (देखें को। 15 की को) हमें को संतुष्ट करने के लिए आवश्यकता है $m(n)$ सभी। यहाँसर्किट हम के खिलाफ diagonalize, या समतुल्य स्तर करना चाहते हैं की गहराई है केहम के खिलाफ diagonalize करना चाहते हैं। के सभी के खिलाफ diagonalize करने के लिए, बस चुनेंके एक समारोह होने के लिएहै कि; हम ऐसाचुन सकते हैं $\frac{1}{10} 2^{m/(d-1)} > d p_n(m(n))$ $n$ $d$ $\mathsf{\Sigma_d^p}$ $\mathsf{PH}$ $\mathsf{PH}$ $d$ $n$ $\omega(1)$ $d$ कि मनमाने ढंग से धीरे-धीरे बढ़ता है, हालांकि (शायद के बारे में कुछ कम्प्यूटेबिलिटी धारणा के अधीन $d(n)$ , but that should be no obstacle). If we make the guess that $d(n)$ is constant (even though it's not, but it will grow arbitrarily slowly), then we see that $m(n)$ around $2^n$ should work.
This means that $t(n) \sim 2^{n^2}$ , so we are looking for a lower bound against circuits with $\sim 2^{2^{n^2}}$ inputs.
Trevisan and Xue (CCC '13) showed that one can find an assignment on which a given bounded-depth circuit on $N$ inputs doesn't compute PARITY with a seed of $polylog(N)$ length.
For us $N=2^{2^{n^2}}$ , so $polylog(N) = 2^{O(n^2)}$ . We can brute force over such seeds in $2^{2^{O(n^2)}}$ time and use the first one that works.

To replace the $n^2$ with $nf(n)$ , just let $p_n(x) = x^{f(n)} + f(n)$ instead.

Interestingly, if I'm understanding correctly, I believe this implies that if one could improve the Trevisan-Xue...

$\mathsf{BPEXP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$ ; or
$polylog(N)$ $poly(N)$ time, and such that on any accepting path it makes the same output (cf. $\mathsf{NPSV}$ ), it would imply $\mathsf{NEXP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$ ; or
... to a deterministic algorithm, one would get $\mathsf{EXP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$ .

On the one hand, this suggests why derandomizing the switching lemma further should be hard - an argument which I'm not sure was known before! On the other hand, this strikes me as a kind of interesting take on hardness versus randomness (or is this actually a new thing, oracles versus randomness?).

— Joshua Grochow
स्रोत

One challenge that's glossed over here is that the oracle that's constructed has to be a single, fixed oracle, so that deciding it is in BPEXP or whatever. If you just pick a random seed of a good generator, then, while you do get some oracle that works, you don't necessarily get a decision procedure for that oracle, since different seeds give (in general) different oracles. You'd have to do something more, like finding a canonical seed, in order to make the construction actually "constructive".

— Andrew Morgan

Even though the argument doesn’t give BPEXP, can you get the complexity down to a finite level of EXPH?

— Emil Jeřábek supports Monica

@EmilJeřábek: Without checking the details, I think

Σ_{3} E X P

$\mathsf{\Sigma_3 EXP}$ should work. Guess a seed using

\exists

$\exists$ , verify it works using

\forall

$\forall$ , and then verify that it is the lexicographically least seed using

\neg \exists \forall = \forall \exists \neg

$\neg\exists\forall = \forall \exists \neg$ , for a total of

\exists \forall \exists

$\exists\forall\exists$ .

— Joshua Grochow

@EmilJerabek: Of course, if we could at least get this down to

M A_{E X P}

$\mathsf{MA_{EXP}}$ that would be even better (not improvable without proving new circuit lower bounds), but I don't yet see how to do that...

— Joshua Grochow

@JoshuaGrochow Yeah, your original post seems fine. I was objecting to your reply to Emil that hypothesized the oracle can be made in EXPH, where the running time is singly-exponential. In retrospect I should have been more clear about that.

— Andrew Morgan