बहुपद आकार के साथ एक जड़ वाले पेड़ में "लघु" पथों की संख्या पर कम बाध्य

Question

बता दें कि एक जड़ वाला बाइनरी ट्री है। टी की जड़ से पत्ती तक के प्रत्येक पथ की लंबाई n है । टी के प्रत्येक नोड में हमेशा एक बाएं और दाएं बच्चे का नोड होता है लेकिन यह संभव है कि वे एक ही हों (इसलिए हमेशा 2 एन मार्ग संभव हैं)। के आकार टी से घिरा है हे ( पी ओ एल y ( एन ) ) । अलग-अलग चाइल्ड नोड्स वाले नोड को ब्रांचिंग नोड कहा जाता है ।$T$$T$$n$$T$$2^n$$T$$O(poly(n))$

हम कहते हैं कि दो रास्ते अलग-अलग हैं, अगर एक साझा ब्रांचिंग नोड है और एक रास्ता बाएं बच्चे के नोड में जाता है और दूसरा रास्ता दाएं बच्चे के नोड में जाता है। यह स्पष्ट है कि साथ ओ ( लॉग एन ) शाखाओं वाले नोड्स में कम से कम एक पथ है । अन्यथा टी में बहुत अधिक नोड्स होंगे ।$T$$O(\log n)$$T$

वहाँ एक बेहतर साथ रास्ते की संख्या पर बाध्य कम है नोड्स शाखाओं में अगर मैं जानता हूँ कि देखते हैं ω ( लॉग एन ) पेड़ में नोड्स शाखाओं में?$O(\log n)$$\omega(\log n)$

Comments

@Marc: पत्र (5 वीं लाइन) "(7 वीं लाइन) में बहुत अधिक नोड्स` `से स्पष्ट रूप से है?$T$

— ऑलेक्ज़ेंडर बोंडारेंको

@Marc: क्या आप कृपया, अपने कथन को और अधिक सटीक बना सकते हैं "दो रास्ते अलग हैं यदि वे एक शाखा नोड में अलग-अलग बच्चे नोड्स का उपयोग करते हैं"। आप मतलब है कि वे अलग हैं अगर वहाँ एक ऐसी शाखाओं में बँटवारा है जहाँ वे अलग-अलग बच्चे नोड्स का उपयोग करते हैं?

— ऑलेक्ज़ेंडर बॉन्डारेंको

मैं प्रश्न को संपादित करता हूं और इसे अधिक सटीक बनाने का प्रयास करता हूं।

— मार्क बरी

उस पेड़ के बारे में क्या है जिसका सिर्फ एक ही रास्ता है (और नोड्स)? क्या इसकी अनुमति है? $n$

— पीटर शोर

यह अच्छा प्रश्न है। यह अनुमति दी है, लेकिन यह दिलचस्प मामला नहीं है :) तो हम एक कम पेड़ में शाखाओं में नोड्स की संख्या, जैसे पर बाध्य करना चाहिए नोड्स शाखाओं में। $\omega(\log n)$

— मार्क ब्यूरी

Answer 1

लोअर बाउंड है के साथ पथ हे ( लॉग एन ) नोड्स शाखाओं में, अगर आपके पास कम से कम Ω ( लॉग एन ) पेड़ में नोड्स शाखाओं में।$\Omega(\log n)$$O(\log n)$$\Omega(\log n)$

यह प्राप्त किया जा सकता है: एक पेड़ का उपयोग करें जिसमें एक लंबा रास्ता है (लंबाई ) जिसके सभी नोड्स शाखाएं हैं, पेड़ में कोई अन्य शाखाएं नहीं हैं।$n$

यहाँ नीचे की बाउंड स्केच है।

सबसे पहले, किसी भी आंतरिक नोड को अनुबंधित करके पेड़ को संकुचित करें जो एक शाखा नहीं है। यदि पेड़ का मूल आकार , तो नया पेड़ अभी भी < n c होना चाहिए , क्योंकि आपने केवल नोड्स की संख्या कम की है। अब, एक पत्ती की गहराई उस पत्ती के मूल पथ पर शाखाओं वाली नोड्स की संख्या है, और हमारे पास एक पूर्ण बाइनरी ट्री है (प्रत्येक नोड में या तो डिग्री 2 या 0 है)।$< n^c$$< n^c$

गहराई का कोई पत्ते नहीं हैं, तो , तो रास्तों की संख्या शाखाओं में नोड्स की संख्या है, जो है एक से अधिक है Ω ( लॉग एन ) , तो हम मान सकते हैं कि कम से कम एक पत्ती गहराई है Ω ( लॉग n ) ।$\Omega(\log n)$$\Omega(\log n)$$\Omega(\log n)$

अगला, क्राफ्ट की असमानता को याद करें। तो एक पूरा द्विआधारी पेड़ में एक पत्ता की गहराई है , तो Σ वी एल ई एक च 2 - डी ( v ) = 1 ।$d(v)$$\Sigma_{v \mathrm{\ leaf}} 2^{-d(v)} = 1$

अब, हमारे पास पत्तियों से कम है । हम यह दिखाना चाहते हैं कि हम उनमें से बहुत गहराई ओ ( लॉग एन ) पर हैं । मान लीजिए हम कम से कम 2 लॉग ( n c + 1 ) = ( c + 1 ) लॉग 2 n की गहराई वाले लोगों को ध्यान में रखते हैं । सबसे वजन में यह हटा देगा 1 / n क्राफ्ट की असमानता में राशि से है, तो उन पत्तियों के लिए v अधिक से अधिक गहराई पर घ ( v ) ≤ ( ग $n^c$$O(\log n)$$\log_2(n^{c+1}) = (c+1) \log_2 n$$1/n$$v$ , हम Σ वी एल ओ डब्ल्यू डी ई पी टी एच एल ई एक च 2 - डी ( v ) > 1 - $d(v)\leq (c+1) \log_2 n$ । हम यह भी हैΣवीएलओडब्ल्यूडीईपीटीएचएलईएकच2-डी(v)<1(के बाद से कम से कम एक पत्ती गहराई बहुत बड़ी इस योग में शामिल किया जाना है)।$\sum_{v\mathrm{\ low \ depth \ leaf}} 2^{-d(v)} > 1-\frac{1}{n}$$\sum_{v\mathrm{\ low\ depth\ leaf}} 2^{-d(v)} < 1$

ऐसा नहीं है कि संख्या की राशि प्राप्त करने के लिए दिखाने के लिए काफी आसान है सख्ती के बीच 1 और 1 - $2^{-k}$$1$ , हमउनमेंसे कम से कम2एनलॉग कीजरूरतहै। इससे पता चलता है किO(लॉगएन)शाखाओं वाले नोड्स केसाथΩ(लॉगएन)पथहैं।$1-\frac{1}{n}$$\log_2 n$$\Omega(\log n)$$O(\log n)$

Comments

यदि कोई सोच रहा है कि मैं एक समीकरण असमानता क्यों कह रहा हूं, तो क्राफ्ट की असमानता पूर्ण बाइनरी पेड़ों के लिए एक समान संकेत है ।

— पीटर शोर

इस अच्छे उत्तर के लिए धन्यवाद। मुझे अब तक क्राफ्ट की असमानता का पता नहीं था। बहुत उपयोगी असमानता।

— मार्क बरी