क्या हम तेजी से पूरी तरह से समान 3 मॉड उत्पन्न कर सकते हैं या एनपी समस्या को हल कर सकते हैं?

Question

ईमानदार होने के लिए, मुझे नहीं पता कि यादृच्छिक संख्या कैसे उत्पन्न होती है (टिप्पणियों का स्वागत है!) के बारे में बहुत कुछ है, लेकिन हम निम्नलिखित सैद्धांतिक मॉडल मानते हैं: हम पूर्णांक को यादृच्छिक रूप से से प्राप्त कर सकते हैं और हमारा लक्ष्य है [1,3] से एक पूर्णांक समान रूप से यादृच्छिक आउटपुट।$[1,2^n]$

एक सरल समाधान जिसका अपेक्षित समय चल रहा है वह है बहुपद। से (और संभवतः ) भी छोड़ दें ताकि शेष पूर्णांकों की संख्या से विभाज्य हो जाए ताकि हम उत्पन्न पूर्णांक के को ले । यदि हमें एक त्याग संख्या प्राप्त होती है, तो हम एक और संख्या उत्पन्न करते हैं, जब तक कि हम एक गैर-त्याग नहीं करते।$2^n$$2^n-1$$[1,2^n]$$3$$\bmod 3$

लेकिन क्या होगा अगर हम बहुपद समय में निश्चित रूप से समाप्त करना चाहते हैं? विभाज्यता के मुद्दों के कारण, समस्या अनसुलझी हो जाती है। हालांकि, मुझे आश्चर्य है कि अगर हम निम्नलिखित हल कर सकते हैं।

मान लीजिए कि हम पूर्ण रूप से [1,2 ^ n] से पूर्णांक यादृच्छिक उत्पन्न कर सकते हैं $[1,2^n]$और हमें कम्प्यूटेशनल रूप से कठिन समस्या दी जाती है। हमारा लक्ष्य पूर्णांक समान रूप से यादृच्छिक रूप से [1,3] का उत्पादन करना या कठिन समस्या को हल करना है।

यहाँ कठिन समस्या एक पूर्णांक फैक्टरिंग हो सकती है, एक सैट उदाहरण या इसी तरह के कुछ भी हल करना। उदाहरण के लिए, हम एक-तरफ़ा क्रमोन्नति $f$ को निम्न प्रकार से डिकोड कर सकते हैं, यदि हमें कुछ $f(x)$ (और $n$ को समान करना है): यदि हमारे यादृच्छिक स्ट्रिंग $f(r)<f(x)$ , तो f ले लें (r) \ bmod 3$f(r) \bmod 3$ , अगर $f(r)>f(x)$ , तो $f(r)-1\bmod 3$ । अंत में, यदि $f(r)=f(x)$ , तो हम r = x के रूप में किया जाता है $r=x$। (यदि $n$ विषम है, तो कुछ इसी तरह का काम करता है, बस हमें यह भी जांचना होगा कि क्या $f(r+1)=f(x)$ और घटाना $2$ अगर $f(r)>f(x)$ ।)

उत्तरों का सारांश। एमिल जेकाब ने दिखाया है कि जब तक हम पूरी तरह समान रूप से उत्पन्न नहीं कर सकते हैं, तब तक हम टीएफएनपी से किसी भी मूल्यवान खोज समस्या को हल कर सकते हैं, और पीपीए -3 से भी। दूसरी ओर, डैनियलो ने दिखाया है कि हम एनपी-पूर्ण समस्याओं को उपरोक्त तरीके से हल नहीं कर सकते, जब तक कि एनपी = सह-एनपी।

Comments

@Tayfun यदि सम है, तो हमें विभाज्य होने के लिए आवश्यकता होती है , यदि विषम है, तो जब हमें को विभाज्य होना चाहिए । मुझे खुशी होगी कि अगर आप अधिक विशिष्ट थे कि मैं किस हिस्से के बारे में अधिक विशिष्ट होना चाहिए। n 2 n - 1 3 n 2 n - 2 $n$$2^n-1$$3$$n$$2^n-2$$3$

— डोमोटर

(1) आप TFNP में एकल-मूल्यवान कार्यों को हल करने के लिए एक तरफ़ा क्रमपरिवर्तन के साथ उदाहरण को सामान्य कर सकते हैं। (2) आप मनमानी PPA-3 खोज समस्याओं को हल कर सकते हैं।

— एमिल जेकाबेक

@ ईमिल (1): कैसे? (२): मैंने भी सोचा है कि यह सही जटिलता वर्ग हो सकता है, लेकिन मैं यह नहीं देखता कि हम इस तरह की समस्याओं का समाधान क्यों कर सकते हैं।

— डोमोटर

मैं इसे बाद में उत्तर के रूप में लिखने का प्रयास करूँगा। Btw, सवाल दिलचस्प है, मुझे नहीं पता कि सभी डाउनवोट्स के साथ क्या सौदा है।

— एमिल जेकब

डाउनवोट्स विचित्र हैं। यह एक बहुत अच्छा सवाल है! और मुझे इसके बारे में कुछ भी स्पष्ट नहीं है।

— साशो निकोलोव

Answer 1

डोमोटरप के उत्तर के अनुसरण के रूप में, मेरा मानना ​​है कि हम एनपी खोज समस्याओं को हल कर सकते हैं, जो निम्नलिखित प्रतिबंधों को संतुष्ट करते हैं:

1. समाधानों की संख्या ज्ञात है, और विभाज्य नहीं है ; या,$3$

2. समाधानों की संख्या बहुपद रूप से बंधी हुई है (लेकिन पहले से ज्ञात नहीं है)।

1. के लिए, हम निम्नलिखित मामले को कम करने के लिए सरल पैडिंग का उपयोग कर सकते हैं:

• समाधान , जहाँ सम है।[ ० , २ मीटर - १ ) $[0,2^{m-1})$$m$

• समाधान की संख्या संतुष्ट ।s s ≡ $s$$s\equiv1\pmod3$

• किसी भी दो समाधान कम से कम दूरी अलग हैं। (कहो, वे सभी विभाज्य हैं ।)४ $4$$4$

ध्यान दें कि । इसलिए, हम एक रैंडम चुनकर समस्या का समाधान कर सकते हैं , और यदि समान समाधान के लिए मेरे उत्तर में एक समान प्रोटोकॉल का उपयोग कर रहे हैं यदि (वितरण के परिणामस्वरूप पर एक से कम में से प्रत्येक के प्रति समाधान), और outputting अगर ।$3\mid 2^m-s$$a\in[0,2^m)$$a\in[0,2^m-s)$$\{0,1,2\}$$0$$s$$0$$a\in[2^m-s,2^m)$

2. के लिए, पहले मान लेते हैं कि समाधान की संख्या है जाना जाता है । जैसा कि /cstheory//a/37546 में , को की सबसे बड़ी शक्ति है जो विभाजित करता है , ताकि । उस खोज समस्या पर विचार करें जिसके समाधान जैसे कि , और प्रत्येक मूल समस्या का समाधान है। एक ओर, मूल समस्या नए को कम करती है। दूसरी ओर, नई समस्या के समाधान की संख्या , अर्थात विभाज्य नहींरों ≤ पी ( एन ) 3 कश्मीर 3 रों 3 ∤ ($s\le p(n)$$3^k$$3$$s$3 कश्मीर )y0,...,y3कश्मीर-1y0<y1<⋯<y3कश्मीर-1yमैं($3\nmid\binom s{3^k}$$y_0,\dots,y_{3^k-1}$$y_0<y_1<\dots<y_{3^k-1}$$y_i$३ k )$\binom s{3^k}$$3$, और ज्ञात। इस प्रकार, हम 1 द्वारा किया जाता है।

अब, यदि समाधानों की संख्या से बंधी हुई है , लेकिन ज्ञात नहीं है, तो हम प्रोटोकॉल को बार ( ) से ऊपर प्रत्येक संभावित विकल्प के लिए चलाते हैं। , और:पी ( एन ) 2 ℓ 2 ℓ ≥ पी ( एन ) 1 ≤ रों ≤ 2 $p(n)$$2^\ell$$2^\ell\ge p(n)$$1\le s\le2^\ell$

• यदि थ्रेड्स में से कोई भी मूल समस्या का समाधान देता है, तो हम आउटपुट में एक पास करते हैं;

• यदि सभी थ्रेड्स तत्व , तो हम आउटपुट ।आर 1 , ... , आर 2 ℓ ∈ { 0 , 1 , 2 } ( आर 1 + r 2 + ⋯ + आर 2 ℓ ) आधुनिक $r_1,\dots,r_{2^\ell}\in\{0,1,2\}$$(r_1+r_2+\dots+r_{2^\ell})\bmod3$

दूसरी घटना पर वातानुकूलित, समान रूप में वितरित किया जाता है के लिए मूल समस्या का समाधान की सही संख्या में किया जा रहा है, जबकि अन्य से स्वतंत्र कर दिया , इसलिए पूरी राशि भी समान रूप से वितरित किया जाता है ।r s { 0 , 1 , 2 } s r r i r $r_s$$\{0,1,2\}$$s$$r_i$$r_s$

Comments

1 और 2 का सामान्य सामान्यीकरण यह है कि समाधानों की संख्या एक बहुपद-काल-गणना योग्य संख्या से आती है, जैसे कि किसी को विभाजित करने की सबसे बड़ी शक्ति बहुपद है। $3$

— एमिल जेकाबेक

Btw, क्या आप किसी भी गैर-समग्र समस्याओं को जानते हैं, जहां समाधानों की संख्या की कुछ सुपरपोलीनोमियल पावर द्वारा विभाज्य साबित हो सकती है ? समग्र से मेरा मतलब है कुछ समस्याओं का प्रत्यक्ष उत्पाद लेना जहां समाधानों की संख्या से विभाज्य है - समग्र समस्याओं को आसानी से उपरोक्त तरीके से हल किया जा सकता है। ३ $3$$3$

— डोमोटर

मुझे लगता है कि यह साबित करना संभव है कि एक ऐसी घटना है जिसके तहत 3 समस्याओं की कुछ सुपरपोलीनोमियल शक्ति को उपरोक्त तरीके से हल नहीं किया जा सकता है।

— डोमटॉर्प

@domotorp यह दिलचस्प है, मैं इस संभावना का मनोरंजन कर रहा था कि कुछ प्रकार के Valiant-Vazirani तर्क का उपयोग मनमाने ढंग से TFNP समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है। वैसे भी, चरित्र चित्रण अभी भी अधूरा है। मैं इस जवाब में प्रतिबंध के बारे में विशेष रूप से नाखुश हूं कि समाधानों की संख्या ज्ञात है, या कम से कम एक बहुपद-समय रचनात्मक सूची से आती है। एक बात के लिए, इस तरह की समस्याओं का वर्ग जाहिरा तौर पर मेरे दूसरे जवाब से पीपीए -3 के साथ अतुलनीय है, इसलिए एक निर्माण करना अच्छा होगा जो दोनों को सामान्य करता है। AFAICS एकमात्र ऊपरी सीमा है कि कोई भी समस्या हल हो ...

— Emil Jebekábek

... ऊपर रास्ते में एक TFNP समस्या के समाधान के लिए जिनकी संख्या है करने के लिए कम करने योग्य है सापेक्ष (लेकिन नहीं जाना जाता है)। यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं है कि क्या यह उम्मीद करना है कि यह सही वर्ग है, या क्या सभी के बाद कुछ अतिरिक्त प्रतिबंध की आवश्यकता है। 1 $1$$3$

— एमिल जेकाबेक

Answer 2

मैं बजाय से शुरू होने वाली संख्याओं का उपयोग करूँगा , क्योंकि मुझे यह अधिक स्वाभाविक लगता है।० $0$$1$

हम समस्याओं के दो वर्ग इस प्रकार से हल कर सकते हैं:

1. TFNP में कार्य (यानी, एकल-मूल्यवान कुल NP खोज समस्याएं)

   (यह एक तरफ़ा क्रमपरिवर्तन के साथ उदाहरण को सामान्य करता है। इसमें से एक विशेष केस निर्णय समस्याएं शामिल हैं ।)$\mathrm{UP\cap coUP}$

   सेटअप है कि हम एक बहुपद समय विधेय है , और एक बहुपद इस तरह के हर के लिए है कि लंबाई की है, एक अनन्य मौजूद लंबाई के ऐसी है कि रखती है। कम्प्यूटेशनल कार्य है, दिया , ।R ( x , y ) p ( n ) x n y m = p ( n ) R ( x , y ) x $R(x,y)$$p(n)$$x$$n$$y$$m=p(n)$$R(x,y)$$x$$y$

   अब, मैं मान लूंगा कि सम है, इसलिए । एल्गोरिथ्म , और आउटपुट समान रूप से यादृच्छिक जनरेट करना हैm 2 m ≡ $m$( आधुनिक3 ) y ∈ [ 0 , 2 मीटर$2^m\equiv 1\pmod3$$y\in[0,2^m)$

   • y R ( x , y $y$ (खोज समस्या के समाधान के रूप में) यदि ;$R(x,y)$

   • y - y ' { 0 , 1 , 2 } y - y ' ∈ { 1 , 2 } आर ( एक्स , वाई '$y-y'$ ( एक यादृच्छिक तत्व के रूप में ) यदि , और ;$\{0,1,2\}$$y-y'\in\{1,2\}$$R(x,y')$

   • y आधुनिक 3 { 0 , 1 , 2 } y ' ∈ { y , y - 1 , y - 2 } आर ( एक्स , वाई '$y\bmod3$ ( एक यादृच्छिक तत्व के रूप में ) यदि कोई हल करता है ।$\{0,1,2\}$$y'\in\{y,y-1,y-2\}$$R(x,y')$

   यदि खोज समस्या का कोई हल नहीं था, तो यादृच्छिक विकल्प और बार, और गुना (एक बार देंगे । हालाँकि, यदि खोज समस्या को हल करता है, तो हम तत्वों (जो सभी तीन अवशेष वर्गों को मारते हैं) के साथ छेड़छाड़ करते हैं ताकि वे केवल अवशेष और उत्पादन करें , जो के लाभ को बाहर निकालता है । (मैं यहाँ मान रहा हूँ कि w wlog है ।)2 m 1 2 ( 2 m - 1 ) / 3 0 ( 2 m + 2 ) / 3 y y , y + 1 , y + 2 1 2 0 y < 2 m - $2^m$$1$$2$ $(2^m-1)/3$$0$ $(2^m+2)/3$$y$$y,y+1,y+2$$1$$2$$0$$y<2^m-2$

2. PPA- खोज समस्याएं$3$

   PPA- को परिभाषित करने का एक सुविधाजनक तरीका एनपी खोज समस्याओं के रूप में निम्न में से कई प्रकार की समस्याओं का निवारण है। हमारे पास एक निश्चित बहुपद-काल फ़ंक्शन और एक बहुपद , जैसे कि लंबाई किसी भी इनपुट के लिए , प्रेरित मैपिंग इनपुट के लिए प्रतिबंधित है की लंबाई एक फ़ंक्शन है संतोषजनक प्रत्येक । टास्क दिया गया है, , का एक : ।3 f ( x , y ) p ( n ) x n f x ( y ) = f ( x , y ) y m = p ( n ) f x : [ 0 , 2 m ) → [ 0 , 2 m ) f x ( f x ( f x ( y ) ) $3$$f(x,y)$$p(n)$$x$$n$$f_x(y)=f(x,y)$$y$$m=p(n)$$f_x\colon[0,2^m)\to[0,2^m)$= Y y एक्स y च x च एक्स ( y ) = $f_x(f_x(f_x(y)))=y$$y$$x$$y$$f_x$$f_x(y)=y$

   हम इस प्रकार प्रश्न में तरीके से इस का समाधान कर सकते हैं: दी लंबाई के , हम एक यादृच्छिक उत्पन्न लंबाई के , और उत्पादनx n y m = p ( n $x$$n$$y$$m=p(n)$

   • य च $y$ अगर यह का ;$f_x$

   • अन्यथा, , , और विशिष्ट तत्व हैं। हम उन्हें साथ , और आउटपुट । ऐसे कि ।y f x ( y ) f x ( f x ( y ) ) { y , f x ( y ) , f x ( f x ( y ) ) } = = { y ० , y १ , y २ } y ० < y १ < y 2 मैं ∈ { 0 , 1 , $y$$f_x(y)$$f_x(f_x(y))$$\{y,f_x(y),f_x(f_x(y))\}=\{y_0,y_1,y_2\}$$y_0<y_1<y_2$} y = y $i\in\{0,1,2\}$$y=y_i$

   यह परिभाषाओं से स्पष्ट है कि इस पर एक समान वितरण देता है , गैर fixpoint के रूप में की ट्रिपल में आते हैं।{ 0 , 1 , 2 } $\{0,1,2\}$$y$

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मुझे पीपा- लिए पापादिमित्रिउ की पूरी समस्या के साथ ऊपर की समस्या के रिकॉर्ड के लिए बताएं , क्योंकि यह वर्ग ज्यादातर साहित्य में उपेक्षित है। इस समस्या का उल्लेख बोस, जॉनसन में किया गया है: "प्रस्तावित सबूत और एनपी खोज समस्याओं के बीच कटौती", लेकिन वे तुल्यता नहीं बताते हैं। पीपीए के लिए, एक समान समस्या (LONELY) बीम, कुक, एडमंड्स, इम्पेग्लियाज़ो और पित्तासी में दी गई है: "एनपी खोज समस्याओं की सापेक्ष जटिलता"। बारे में कुछ खास नहीं है , नीचे दिया गया तर्क किसी भी विषम प्राइम के लिए उत्परिवर्ती म्यूटेंडिस काम करता है।३ $3$$3$

प्रस्ताव: निम्नलिखित एनपी खोज की समस्याएं बहु-समय के लिए एक-दूसरे के लिए एक-दूसरे को कम करने वाली हैं:

1. एक सर्किट को एक द्विदलीय अप्रत्यक्ष ग्राफ और एक वर्टिक्स _ का प्रतिनिधित्व करते हुए जिसकी डिग्री विभाज्य नहीं है , एक और ऐसा शीर्ष खोजें।( ए ∪ बी , ई ) यू ∈ एक ∪ बी $(A\cup B,E)$$u\in A\cup B$$3$

2. एक निर्देशित ग्राफ , और एक वर्टेक्स जिसकी डिग्री बैलेंस (यानी, आउट-डिग्री माइनस-डिग्री) का प्रतिनिधित्व करने वाले सर्किट को देखते हुए विभाज्य नहीं है , इस तरह का एक और शीर्ष खोजें।( वी , ई ) यू ∈ वी $(V,E)$$u\in V$$3$

3. एक फंक्शन की गणना करने वाले सर्किट को देखते हुए जैसे कि , का एक फ़िक्सपॉइंट खोजें ।f : [ 0 , 2 n ) → [ 0 , 2 n ) f 3 = i d$f\colon[0,2^n)\to[0,2^n)$$f^3=\mathrm{id}$$f$

सबूत:

$1\le_p2$ स्पष्ट है, क्योंकि यह किनारों को बाएं से दाएं निर्देशित करने के लिए पर्याप्त है।

2 ≤ पी 1 ए बी वी ए = { x एक : एक्स ∈ वी } बी = { x बी : एक्स ∈ वी } एक्स → y { x एक , y बी } 1 { x बी , y एक } - 1 डिग्री ( एक्स A ) = - deg ( x B ) x $2\le_p1$ : सबसे पहले, आइए हम एक भारित द्विदलीय ग्राफ का निर्माण करें। चलो और की प्रतियां हो : , । प्रत्येक मूल बढ़त के लिए , हम एक किनारे में डाल वजन के , और एक बढ़त वजन का । यह मूल ग्राफ में के डिग्री संतुलन के बराबर बनाता है । अगर बैलेंस के दिए गए शीर्ष पर है , हम एक अतिरिक्त बढ़त जोड़ते हैं वजन$A$$B$$V$$A=\{x^A:x\in V\}$$B=\{x^B:x\in V\}$$x\to y$$\{x^A,y^B\}$$1$$\{x^B,y^A\}$$-1$$\deg(x^A)=-\deg(x^B)$$x$$u$बी ≢ ०( आधुनिक3 ) { यू ए , यू बी } ख डिग्री ( यू ए ) = 2 ख ≢ $b\not\equiv0\pmod3$$\{u^A,u^B\}$$b$, ताकि , और । हमारा चुना हुआ शीर्ष होगा।( आधुनिक3 ) डीए ( यू बी ) = 0 यू $\deg(u^A)=2b\not\equiv0\pmod3$$\deg(u^B)=0$$u^A$

ग्राफ को एक सादा अनिर्धारित अप्रत्यक्ष ग्राफ बनाने के लिए, हम पहले सभी वेट मोडुलो कम करते हैं , और वजन सभी किनारों को गिराते हैं । यह केवल और वजन के किनारों को छोड़ देता है । बाद वाले को उपयुक्त गैजेट्स से बदला जा सकता है। उदाहरण के लिए, वजन के बजाय- किनारे , हम नए कोने , लिए , किनारों , , , , : यह3 0 1 2 2 { x A , y B } w A i z B i i = 0 , … , 3 { x A , y B } { x A , z B i } { w A i , y B } { w A i , z B i } { w A $3$$0$$1$$2$$2$$\{x^A,y^B\}$$w_i^A$$z_i^B$$i=0,\dots,3$$\{x^A,y^B\}$$\{x^A,z^B_i\}$$\{w^A_i,y^B\}$$\{w^A_i,z^B_i\}$, z B ( i + 1 ) mod 4 } deg ( w A i ) = deg ( z B i ) = $\{w^A_i,z^B_{(i+1)\bmod4}\}$$\deg(w_i^A)=\deg(z_i^B)=3$, और और लिए योगदान देता है ।५ ≡ २( आधुनिक3 ) एक्स ए वाई $5\equiv2\pmod3$$x^A$$y^B$

$3\le_p2$ : मुझे लगता है कि सादगी के लिए मान इतना भी है कि । हम पर एक निर्देशित ग्राफ का निर्माण करते हैं:n 2 n ≡ $n$( आधुनिक3 ) वी = [ 0 , 2 एन$2^n\equiv1\pmod3$$V=[0,2^n)$

• हम प्रत्येक लिए किनारों को और शामिल करते हैं ।3 x + 1 → 3 x 3 x + 2 → 3 x x < 2 n / 3 - $3x+1\to3x$$3x+2\to3x$$x<2^n/3-1$

• यदि की एक गैर fixpoint कक्षा है , हम किनारों शामिल और ।x 0 < x 1 < x 2 f x 0 → x 1 x 0 → x $x_0<x_1<x_2$$f$$x_0\to x_1$$x_0\to x_2$

चुना हुआ शीर्ष । पहला खंड प्रत्येक शीर्ष संतुलन या का योगदान देता है । इसी तरह, दूसरा क्लॉज उन लिए संतुलन या का देता है जो नहीं हैं। इस प्रकार, यह मानते हुए कि पहले से ही एक तय बिंदु नहीं है, यह वास्तव में असंतुलित मोडुलो , और कोई भी अन्य शीर्ष असंतुलित मोडुलो का एक बिंदु है ।यू = 2 n - 1 1 - 2 ≡ $u=2^n-1$$1$( आधुनिक3 ) ≠ यू - 1 2 ≡ - $-2\equiv1\pmod3$$\ne u$$-1$( आधुनिक3 ) यू 3 3 $2\equiv-1\pmod3$$u$$3$$3$$f$

$1\le_p3$ : हम मान सकते हैं कि साथ भी, और दिए गए शीर्ष की डिग्री ।एक = बी = [ 0 , 2 एन ) एन यू ∈ एक ≡ $A=B=[0,2^n)$$n$$u\in A$$\equiv2\pmod3$

हम कुशलता से किनारों की घटना को रूप एक शीर्ष यक्ष के साथ लेबल कर सकते हैं , जहां । इस तरह, , का एक सबसेट बन जाता है , जिसे हम पहचानते हैं । हम एक समारोह को परिभाषित पर इस प्रकार है।$y\in B$$(y,j)$$j<\deg(y)$$E$$[0,2^n)\times[0,2^n)$$[0,2^{2n})$$f$$[0,2^n)\times[0,2^n)$

• के पूरक पर : प्रत्येक लिए , और ऐसा कि , हम , बनाते हैं , । इसके अलावा, , , लिए । इससे बिंदु , और अंक प्रत्येक लिए जिनकी डिग्री विभाज्य नहीं है ।$E$$y\in B$$j$$\deg(y)\le 3j<2^n-1$$f(y,3j)=(y,3j+1)$$f(y,3j+1)=(y,3j+2)$$f(y,3j+2)=(y,3j)$$f(3i,2^n-1)=(3i+1,2^n-1)$$f(3i+1,2^n-1)=(3i+2,2^n-1)$$f(3i+2,2^n-1)=(3i,2^n-1)$$3i<2^n-1$$(2^n-1,2^n-1)$$3-(\deg(y)\bmod 3)$$(y,i)$$y\in B$$3$

• पर : प्रत्येक के लिए , हम अपने घटना किनारों का एक कुशल गणन को ठीक , जहां । हमने , , के लिए । यह प्रत्येक शीर्ष लिए अंक जिसकी डिग्री विभाज्य नहीं है ।$E$$x\in A$$(y_0,j_0),\dots,(y_{d-1},j_{d-1})$$d=\deg(x)$$f(y_{3i},j_{3i})=(y_{3i+1},j_{3i+1})$$f(y_{3i+1},j_{3i+1})=(y_{3i+2},j_{3i+2})$$f(y_{3i+2},j_{3i+2})=(y_{3i},j_{3i})$$i<\lfloor d/3\rfloor$$\deg(x)\bmod3$$x\in A$$3$

चूंकि , इसके दो घटना किनारों को छोड़ दिया गया था; हम उन्हें तीसरे बिंदु के रूप में का उपयोग करके अभी तक एक और चक्र में बनाते हैं । शेष बिंदुओं को फिक्स पॉइंट के रूप में छोड़ दिया जाता है । निर्माण से, उनमें से कोई भी (1) के समाधान को जन्म देगा।deg ( u ) ≡ 2( आधुनिक3 ) एफ ( 2 एन - 1 , 2 एन - 1 ) $\deg(u)\equiv2\pmod3$$f$$(2^n-1,2^n-1)$$f$

Comments

दोनों समाधान सही हैं, लेकिन मुझे कक्षाओं की परिभाषा के साथ एक समस्या है। TFNP की परिभाषा में, आम तौर पर कम से कम एक समाधान मौजूद होना आवश्यक है, जबकि आप वास्तव में एक चाहते हैं, जो TFUP होगा, मुझे लगता है। PPA-3 को मूल रूप से इनपुट के साथ परिभाषित किया गया है एक द्विदलीय ग्राफ और एक दिया गया शीर्ष जिसकी डिग्री 3 नहीं है, और हमें इस तरह का एक और शीर्ष खोजने की आवश्यकता है। इस वर्ग में साथ आपका उदाहरण स्पष्ट है, लेकिन यह इसके लिए पूर्ण क्यों है? (यह अच्छी तरह से जाना जा सकता है, लेकिन यह मेरे लिए नया है।)$f$

— डोमोटर

(1) मैंने बहुत स्पष्ट रूप से जोर दिया कि परिणाम मनमानी TFNP खोज समस्याओं पर लागू नहीं होता है, लेकिन केवल कार्यों के लिए। मैं वास्तव में नहीं जानता कि इसे और अधिक स्पष्ट कैसे बनाया जाए। (२) हाँ, यह PPA-३ की सामान्य परिभाषा के बराबर है। यह दिखाना मुश्किल नहीं होना चाहिए।

— एमिल जेकाब

(१) क्षमा करें, यहाँ मेरा भ्रम केवल भाषाई था; अपनी मूल टिप्पणी में आपने वास्तव में एकल मूल्य पर जोर दिया है, लेकिन आपके जवाब में आपने सिर्फ TFNP फ़ंक्शन लिखा है, और फिर कोष्ठक में जोड़ा गया है "यानी" जो मुझे पता है कि जहां तक ​​समान है। मुझे लगता है कि यह समझना आसान होगा कि क्या आपने अपने जवाब में "एकल-मूल्यवान TFNP फ़ंक्शन" लिखा है।

— डोमटॉर्प

(२) यह समानता बहुत आश्चर्यजनक होगी। इसी तरह की चाल के साथ, जिसमें आपने (1) का उपयोग किया है, इसका अर्थ यह होगा कि USAT PPA-3 में है, नहीं? मुझे यह अधिक संभावना है कि मेरी समस्या कुछ TFNP से संबंधित है जिनके समाधान की संख्या प्रत्येक n के लिए 1 या 2 mod 3 है (और हमें यह जानना होगा कि कौन सा)। Btw, (1) के लिए आपका समाधान पहले से ही है कि FullFactoring हल किया जा सकता है, जो मेरी मूल प्रेरणा थी। $n$

— डोमोटर

कार्य कर रहे हैं एकल मूल्यवान। यही फ़ंक्शन का मतलब है। मैं PPA-3 पर सामान देखने की कोशिश करूंगा। हालाँकि, मैं यह नहीं देखता कि इसमें USAT कैसे शामिल होगा। (1) में निर्माण f 3 = i d के साथ पॉली-टाइम f का उत्पादन नहीं करता है , या कम से कम मैं इसे नहीं देखता: स्पष्ट पसंद के लिए, कोई भी खोज को हल किए बिना f ( 2 m - 1 ) की गणना नहीं कर सकता है। पहले समस्या। $f$$f^3=\mathrm{id}$$f(2^m-1)$

— एमिल जेकाब

Answer 3

यदि आप पूरी तरह से मॉड 3 उत्पन्न कर सकते हैं या SAT (या किसी अन्य एनपी-पूर्ण समस्या को हल कर सकते हैं), तो एन पी = सी ओ एन पी । विशेष रूप से, सही जनरेटर / solver जब एक सैट सूत्र दिया पर विचार φ ।$3$$NP = coNP$$\phi$

चलो ℓ ( एन ) आकार के इनपुट पर जनरेटर द्वारा तैयार यादृच्छिक बिट्स की अधिकतम संख्या हो n । के बाद से जनरेटर बहुपद समय में चलता है, ℓ ( एन ) बहुपद है। के बाद से 2 ℓ ( एन ) से विभाज्य नहीं है 3 वहाँ ज्यादा से ज्यादा के कुछ अनुक्रम होना चाहिए ℓ ( एन ) सिक्का उछालों कि जनरेटर उत्पादन एक (सही) के लिए इस सवाल का जवाब कर देगा φ । इस प्रकार, यदि isf असंतोषजनक है, तो सिक्के का एक सेट है जो जनरेटर को यह कहता है कि ϕ असंतोषजनक है। यदि $\ell(n)$$n$$\ell(n)$$2^{\ell(n)}$$3$$\ell(n)$$\phi$$\phi$$\phi$$\phi$संतोषजनक है तो जनरेटर कभी भी यह दावा नहीं करेगा कि iable असंतोषजनक है, चाहे सिक्के कोई भी हो। इस प्रकार, हम पता चला है कि भाषा यू एन एस ए टी unsatisfiable सूत्रों के में है एन पी , जिसका अर्थ एन पी = ग ओ एन पी । $\phi$$UNSAT$$NP$$NP = coNP$

Comments

दूसरे शब्दों में: जो कुछ भी हम इस तरह से हल कर सकते हैं वह एक TFNP समस्या के लिए reducible है। इसलिए, एनपी के बजाय, हमने TFNP के उपवर्गों के लिए शूट किया।

— एमिल जेकाबेक

हां, हालांकि मैं निश्चित नहीं हूं कि विशिष्टता जरूरी है, या कोई बहुत कमजोर चीज से दूर हो सकता है।

— डेनियलो

क्या की विशिष्टता?

— एमिल जेकाब

"सेटअप है कि हम एक बहुपद समय विधेय है आर ( एक्स , वाई ) , और एक बहुपद पी ( एन ) इस तरह के हर के लिए है कि एक्स लंबाई के एन , वहाँ एक से मौजूद है अद्वितीय y लंबाई के मीटर = पी ( एन ) ऐसा है कि R ( x , y ) धारण करता है। कम्प्यूटेशनल कार्य है, x दिया , y ज्ञात कीजिए । " मुझे लग रहा है कि y की संख्या 3 से विभाज्य नहीं है$R(x,y)$$p(n)$$x$$n$ $y$$m=p(n)$$R(x,y)$$x$$y$$y$$3$पर्याप्त हो सकता है। [सिर्फ डोमोटर के नए जवाब पर गौर किया]

— daniello

खैर, मेरे जवाब का पहला हिस्सा एक अद्वितीय समाधान के साथ खोज समस्याओं के बारे में है, लेकिन यह आवश्यक नहीं है। पहले से ही मेरे उत्तर का दूसरा भाग संभावित कई समाधानों के साथ खोज समस्याओं के बारे में है। मुझे अपने टिप्पणी का मतलब साधारण अवलोकन है कि अगर है ऊपर एक ( एक्स ) एक यादृच्छिक पाली समय एल्गोरिथ्म है कि या तो की एक समान रूप से यादृच्छिक तत्व उत्पन्न करता है { 0 , 1 , 2 } , या हल करती है एक समस्या एस , फिर "दी x , यादृच्छिक बिट्स के एक स्ट्रिंग है कि गणना एक हल एस "एक TFNP समस्या है, और एस यह करने के लिए कम करने योग्य है। कोई विशिष्टता शामिल नहीं है।$A(x)$$\{0,1,2\}$$S$$x$$A$$S$$S$

— एमिल जेकाबेक

Answer 4

तो यहाँ एमिल के तर्क का एक विस्तार है जो दिखाता है कि खोज समस्याएं जहां समाधानों की संख्या 1, 2 या 4 है (हमें यह जानने की आवश्यकता नहीं है कि) उपरोक्त तरीके से हल किया जा सकता है। मैं इसे एक उत्तर के रूप में पोस्ट कर रहा हूं क्योंकि यह एक टिप्पणी के लिए बहुत लंबा है और मुझे उम्मीद है कि कोई मुझसे ज्यादा चालाक साबित हो सकता है कि वास्तव में समाधानों की संख्या 3 से विभाज्य नहीं है।

कहते हैं एक यादृच्छिक स्ट्रिंग है जो आर है करीब एक समाधान करने के लिए (यानी, एक करने के लिए y जिसके लिए आर ( एक्स , वाई ) रखती है) यदि में से एक आर ( एक्स , आर ) , आर ( एक्स , आर + 1 ) , या आर ( एक्स , r + 2 ) रखती है। (सादगी के लिए, मान लीजिए कि y = 0 और y = $r$$y$$R(x,y)$$R(x,r)$$R(x,r+1)$$R(x,r+2)$$y=0$$y=1$समाधान नहीं हैं।) एमिल के समाधान में, यह एक यादृच्छिक स्ट्रिंग आर और आउटपुट आर मॉड 3 उत्पन्न करने के लिए पर्याप्त था, सिवाय इसके कि हम समाधानों के आसपास स्थानीय रूप से फ़ेल्ड हैं; मैं विवरणों में नहीं जाता हूं, उसका उत्तर देखें। यह हमारे लिए पर्याप्त है कि यदि r किसी समाधान के करीब है, तो हम संभवतः समाधान का आउटपुट देकर एक मनमानी संख्या mod 3 को मार सकते हैं ताकि r के बाकी के लिए r mod 3 फ़ंक्शन पूरी तरह से समान संख्या mod 3 दे सके ।$r$$r\bmod 3$$r$$\bmod 3$$r$$r\bmod 3$$\bmod 3$

अब, मान लें कि किसी भी x के लिए समाधानों की संख्या 1 या 2 है । हम लंबाई n : r 1 और r 2 के दो यादृच्छिक तार उत्पन्न करते हैं । यदि उनमें से कम से कम एक समाधान के करीब नहीं है, तो हम आर 1 + आर 2 मॉड 3 का उत्पादन करते हैं । सादगी के लिए, मान लीजिए कि n इतना ही है कि हमारे पास एक अतिरिक्त 0 है यदि हमने अभी ऐसा किया है, और यह भी मान लें कि यदि दो समाधान हैं, तो वे बहुत दूर हैं। यदि r 1 और r 2 दोनों एक ही समाधान के करीब हैं, तो हम चारों ओर फील करते हैं ताकि हम एक 0. if r 1 और r को मार सकें$x$$n$$r_1$$r_2$$r_1+r_2\bmod 3$$n$$r_1$$r_2$$r_1$2 अलग-अलग समाधानों के करीब हैं, तो यदि r 1 < r 2 , हम चारों ओर फ़ेल्ड करते हैं ताकि हम 1 को मारें, और यदि r 1 > r 2 , हम चारों ओर फ़ेल्ड करते हैं ताकि हम एक 2 को मार सकें। इस तरह से अगर केवल एक है समाधान, हम ठीक एक 0 को मारते हैं, जबकि यदि दो समाधान हैं, तो हम दो 0 को मारते हैं, और एक 1 और 2 को।$r_2$$r_1<r_2$$r_1>r_2$

इस तर्क को 3 समाधानों तक नहीं बढ़ाया जा सकता है, लेकिन यह 4 के लिए हो सकता है, और यहाँ से मैं बहुत अधिक स्केच करूँगा। चार यादृच्छिक तार, आर 1 , आर 2 , आर 3 , आर 4 और आउटपुट आर 1 + आर 2 + आर 3 + आर 4 मॉड 3 उत्पन्न करें जब तक कि वे सभी एक समाधान के करीब न हों। फिर मान लीजिए कि एक अतिरिक्त 0 है और समाधान हमेशा दूर हैं। सब तो आर मैं के ही समाधान के करीब हैं, हम को मारने के लिए एक 0. के तीन तो बेला के आसपास आर $r_1,r_2,r_3,r_4$$r_1+r_2+r_3+r_4 \bmod 3$$r_i$$r_i$की एक ही समाधान है कि समाधान की तुलना में छोटा होता है जो चौथे के करीब हैं आर मैं करीब है, हम बेला के आसपास एक 1. को मारने के लिए तो के तीन आर मैं के एक ही समाधान से भी बड़ा है कि के करीब हैं जिस समाधान के लिए चौथा आर मैं करीब है, हम चारों ओर मारने के लिए एक एफ। एक 2. यदि सभी आर मैं एक अलग समाधान के करीब हैं, तो हम तीन 0 को मारते हैं। एक और दो समाधान के लिए शुद्धता पिछले मामले के समान है। चार समाधानों के लिए, ध्यान दें कि हम चार + तीन ०, छह १ और छः २ को मारते हैं।$r_i$$r_i$$r_i$$r_i$

मुझे लगता है कि अंतिम पैराग्राफ के तर्क को किसी भी बंधी संख्या में समाधानों तक बढ़ाया जा सकता है जो कि किसी भी बीजगणित के साथ 3 से विभाज्य नहीं है। एक और दिलचस्प सवाल यह है कि क्या कोई प्रोटोकॉल है जो किसी भी समाधान के लिए काम करता है।