कक्षा की लेक्सोग्राफिक रूप से न्यूनतम तत्व कम्प्यूटिंग की जटिलता

Question

एक समूह के लिए मजबूत जनरेटर दिए $(G \leq S_n, *)$ लंबाई के बिटस्ट्रिंग्स पर अभिनय $n$ और एक तत्व $s \in \{0, 1\}^n$, कितना मुश्किल यह है कि lexicographically न्यूनतम तत्व की गणना करना $G.s$की कक्षा $s$ में $G$?

Comments

स्पष्ट रूप से बाबई के अर्थ में स्ट्रिंग समरूपता इस समस्या के लिए अतिरेक है, जैसा कि दिया गया है $x, y$ तार और समूह $G$हम बस उनके न्यूनतम कक्षा प्रतिनिधियों को ऊपर के रूप में पा सकते हैं और सीधे उनकी तुलना कर सकते हैं, लेकिन यह स्पष्ट नहीं है कि यदि स्ट्रिंग समरूपता आसान है तो यह आसान है। मैं यह देखने जा रहा हूं कि क्या बाबई का पेपर यह बताता है कि यह कैसे करना है।

— शमूएल श्लेसिंगर 20

बाबई के कागज इस प्रश्न को संबोधित नहीं करते हैं; पी पर। 11 उन्होंने स्पष्ट रूप से कहा कि वे सामान्य रूपों के प्रश्न से नहीं निपटते हैं। यह कहना नहीं है कि तकनीक सामान्य रूप खोजने के लिए उपयोगी नहीं हो सकती है, बस ऐसा करना एक गैर-तुच्छ योगदान होगा।

— जोशुआ ग्रोचो

धन्यवाद @JoshuaGrochow मुझे यकीन नहीं है कि अगर मेरे पास इन तकनीकों का उपयोग करने की पृष्ठभूमि है, लेकिन मैं देखूंगा कि मैं क्या कर सकता हूं। यह काफी कठिन है, भले ही यह क्वासिपोलिनोमियल है कि यह मेरे लिए उस तरह से उपयोगी नहीं है जिस तरह से मैं इसका उपयोग करना चाहता था।

— शमूएल श्लेसिंगर

यदि आप इस समस्या के ठोस समाधान में रुचि रखते हैं, तो मैं सुझाव देता हूं कि आप टी। जुनेटीला (जिन्हें मैं अपने उत्तर में उद्धृत करता हूं) के प्रकाशनों पर एक नज़र डालते हैं, विशेष रूप से उनकी पीएचडी थीसिस और ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म और सामान्य रूप से सहानुभूति पर उनका काम।

— बोसोन

Answer 1

यह समस्या है $FP^{NP}$- अपूर्ण, जैसा कि यहां दिखाया गया है ।

इसका अर्थ है कि कक्षा का लेक्सोग्राफिकल लीडर नियतात्मक बहुपद समय में ए के उपयोग के साथ बनाया गया है $NP$-आकाशवाणी।

Answer 2

यह समस्या एनपी-हार्ड है।

हालाँकि, यह संभवत: हमारे वर्तमान अनुमानों को परेशान किए बिना कि कैसे जटिलता दुनिया दिखती है, लेक्सिकोग्राफिक रूप से सबसे कम आइसोमोर्फिक स्ट्रिंग को खोजने के लिए, स्ट्रिंग आइसोमोर्फिज्म के लिए कुछ विहित रूप का पता लगाना संभव है । यह यहाँ ठीक 3.1 प्रस्ताव की सामग्री है । वास्तव में, वे दिखाते हैं कि यह एनपी-कठोर बना हुआ है$G$ एक प्राथमिक एबेलियन 2-समूह है (= हर nontrivial तत्व $G$ आदेश 2 है)।