यादृच्छिकता और छोटे सर्किट जटिलता कक्षाएं

चलो एक जटिलता वर्ग और हो हो की बेतरतीब समकक्ष के रूप में परिभाषित के संबंध में । अधिक औपचारिक रूप से हम बहुपद को कई यादृच्छिक बिट प्रदान करते हैं और हम एक इनपुट स्वीकार करते हैं यदि स्वीकार करने की संभावना खत्म हो गई है । $\mathcal{C}$ $\textrm{BP-}\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ $\textrm{BPP}$ $\textrm{P}$ $\frac{2}{3}$

यह ज्ञात है कि गैर-समान सर्किट वर्ग के लिए हमारे पास : $\textrm{BPAC}^0=\textrm{AC}^0$

मिकॉल्स अज़ताई, माइकल बेन-ओर: ए थ्योरीम ऑन प्रोबेबिलिस्टिक कॉन्स्टेंट डेप्थ कॉम्पिटेशन्स STOC 1984: 471-474

क्या इस प्रमेय के सामान्यीकरण ज्ञात हैं? उदाहरण के लिए, क्या हम जानते हैं कि (अभी भी गैर-समान सेटिंग में)? यह अंतिम प्रश्न मुझे किसी भी तरह से गैर-तुच्छ लगता है क्योंकि यह प्रशंसनीय लगता है कि उदाहरण के लिए in । $\mathrm{BPNC}^1=\mathrm{NC}^1$ $s,t\textrm{-Connectivity}$ $\textrm{BPNC}^1$

विषय पर एक प्रासंगिक पोस्ट: /mathpro/35184/use-of-randomness-in-constant-parallel-time

circuit-complexity randomized-algorithms

— सी.पी.
स्रोत

कनेक्टिविटी पर आपका कूबड़ क्या है?

— माइकल कैडिलैक

क्या आप वर्दी सर्किट कक्षाओं के बारे में पूछ रहे हैं ? यह काफी स्पष्ट है कि

जैसी गैर-समान कक्षाएं BP ऑपरेटर के तहत बंद हैं।

N C^{1}

$\mathrm{NC^1}$

— एमिल जेकाब

पी / पाली के लिए बस उसी तर्क का उपयोग करें। आप केवल बहुमत समारोह है, जिसमें definable है की जरूरत है

। (अज़ताई और बेन-या को अधिक काम करने की आवश्यकता है क्योंकि बहुमत

में उपलब्ध नहीं है ।)

T C^{0} \subseteq N C^{1}

$\mathrm{TC^0\subseteq NC^1}$

A C^{0}

$\mathrm{AC^0}$

— एमिल जेकाबेक

@ EmilJe Emábek आप पूरी तरह से सही हैं।

ऊपर हर गैर-यूनिफॉम सर्किट वर्ग के लिए हमारे पास

। आपका बहुत बहुत धन्यवाद।

{TC}^{0}

$\textrm{TC}^0$

BP - C = C

$\textrm{BP}-\mathcal{C}=\mathcal{C}$

— CP

@ EmilJe Emábek: आह, मैं देख रहा हूं। मुझे लगता है कि यह सीमा रेखा है; यह स्पष्ट रूप से एक शोध प्रश्न नहीं है , लेकिन यह स्पष्ट रूप से जटिलता में कुछ अनुसंधान अनुभव वाले किसी व्यक्ति द्वारा स्पष्ट रूप से पूछा गया था, जो केवल सीधे-सीधे दृष्टिकोण का उपयोग करने के बजाय अज़ताई-बेन-या का विस्तार करने की कोशिश करके गुमराह किया गया था।

— जोशुआ ग्रोको

अधिकांश असमान जटिलता वर्गों- शामिल-कर रहे हैं के तहत बंद ऑपरेटर एक ही तर्क के रूप में : का उपयोग कर Chernoff-Hoeffding बाध्य, त्रुटि की संभावना नीचे कम किया जा सकता , समानांतर में स्वतंत्र यादृच्छिक बिट्स के साथ सर्किट के इंस्टेंसेस को चलाकर और बहुसंख्यक वोट लेकर; तब संघ द्वारा बाध्य, यादृच्छिक बिट्स का एक क्रम लंबाई सभी इनपुट के लिए सही परिणाम देता है $\mathrm{NC^1}$ $\mathrm{BP}$ $\mathrm{BPP\subseteq P/poly}$ $2^{-n}$ $O(n)$ $2^n$ $n$ नॉनज़रो प्रायिकता के साथ, और विशेष रूप से, इस तरह के अनुक्रम मौजूद हैं। हम इसे सर्किट में हार्डवायर कर सकते हैं।

यह तर्क सर्किट के किसी भी वर्ग पर लागू होता है, जो सर्किट के समानांतर प्रतियों के बहुमत के तहत बंद हो जाता है , और इनपुट गेट्स को स्थिरांक को ठीक करता है। व्यवहार में, इस से ऊपर किसी भी सभ्य असमान वर्ग का मतलब है , के रूप में बहुमत में शुमार कर सका है । $O(n)$ $\mathrm{TC^0}$ $\mathrm{TC^0}$

लिए सबूत अधिक जटिल है , क्योंकि यह वर्ग बहुमत फ़ंक्शन की गणना नहीं करता है। (हालांकि मैंने अज़ताई और बेन-या पेपर नहीं देखा है, मुझे लगता है कि वे किसी प्रकार के अनुमानित बहुमत का उपयोग करते हैं।) $\mathrm{AC^0}$

— एमिल जेकाब
स्रोत