लॉगरिदमिक विकल्प के साथ मात्राबद्ध बूलियन सूत्र

Question

मैं एक ऐसी समस्या का अध्ययन कर रहा हूं जो क्वांटिफ़ायर के विकल्प के लघुगणक संख्या के साथ मात्राबद्ध बूलियन फ़ार्मुलों के वर्ग के लिए कठिन है। इस वर्ग में एक समस्या दिखेगी:

$\forall (x_1, x_2, \ldots x_{a_1}) \exists (x_{{a_1}+1}, \ldots x_{a_2}), \ldots \exists(x_{a_{\log n - 1}}, \ldots x_{a_{\log n}})F$

जहां $a_{\log n} = n$ , और $F$ चर का बूलियन फार्मूला है $x_1 \ldots x_n$।

इस वर्ग में स्पष्ट रूप से $PH$ और में निहित होता है $AP = PSPACE$। क्या इस वर्ग का कोई नाम है? क्या इसके बारे में कुछ और जाना जाता है?

Comments

खैर, यह बहुपक्षीय रूप से कई विकल्पों के साथ बहुपद समय को पूरा करने के लिए पूरा है।

— एमिल जेकाबेक मोनिका

इस समस्या की जटिलता वर्ग के लिए एक सहमति अंकन एसटीए होगा )। यहाँ, STA (s) (n), t (n), (n) स्पेस बार-वैकल्पिक विकल्प है जो Berman द्वारा "तार्किक सिद्धांतों की जटिलता" में पेश किया गया था जो 1980 में TCS में दिखाई दिया था। इस वर्ग में सभी निर्णय शामिल हैं स्पेस टी (n) में स्पेस टी (n) का उपयोग करके और हर कम्प्यूटेशन ब्रांच पर ज्यादातर (n) बार बारी-बारी से ट्यूरिंग मशीन द्वारा डिसीजनेबल समस्या। जैसा कि एमिल ने कहा, आपकी समस्या इस वर्ग के लिए पूरी होनी चाहिए। $\ast,n^{O(1)}, O(\log n)$

— क्रिस्टोफ हासे

AltTime (एलजी एन, पाली (एन))

— कावेह

क्या यह Barrington, Kadau, McKenzie और Lange द्वारा शुरू की गई FOLL क्लास की बाइनरी एनालॉग नहीं है। FOLL को एफओ ब्लॉक को मूल रूप से n-इनपुट, एन-आउटपुट यूनिफॉर्म AC0 सर्किट लॉगलॉग एन टाइम द्वारा पुनरावृत्त करके परिभाषित किया गया है। यह समानता की गणना करने के लिए बहुत कमजोर है, लेकिन एसी ^ 1 की तुलना में छोटे वर्ग में निहित होने के लिए ज्ञात नहीं है। यह कई गुणात्मक सामान कर सकता है जिसमें गुणन समूह में पावरिंग शामिल है जिसे गुणन तालिका के रूप में प्रस्तुत किया गया है। मैं कक्षा को प्रश्न PHL में कॉल करना चाहूंगा क्योंकि यह PH ब्लॉक से मेल खाती है जो n बार लॉग होता है। मुझे लगता है कि यह अभी भी स्पष्ट नहीं है अगर यह PSPACE के बराबर है।

— सामी

इसके अलावा, अगर एक एबेलियन समूह एक सर्किट द्वारा दिया जाता है जो इनपुट दो n-बिट संख्या लेता है और एक n-बिट संख्या को आउटपुट करता है तो पावरिंग ऊपर के Barrington et al के समान प्रमाण द्वारा PHL में होता है।

— सामी

Answer 1

माइकल Wehar के जवाब पर बिल्डिंग, यह आप आसानी से दिखा सकते हैं कि ऐसा लगता है कि संगणना polysize ऐसे QBFs में इनकोडिंग जा सकता है: आप का उपयोग हे ( लॉग एन ) alternations, में से प्रत्येक के पी ओ एल y ( एन ) बिट्स, और एक तर्क Savitch की प्रमेय के समान है। हर दो विकल्प एक p o l y ( n) द्वारा गणना के चल रहे समय को विभाजित करेंगे$NTISP(n^{\log n},poly(n))$$O(\log n)$$poly(n)$ कारक।$poly(n)$

मैं कक्षा कहेंगे , Fortnow के दशक में अंकन निम्नलिखित "satisfiability के लिए समय-अंतरिक्ष समझौतों से" जो भी तर्क के लिए पिछले पैराग्राफ में खाका खींचा (लेकिन कृपया पुराने संदर्भों के लिए कागज देखें) में उद्धृत किया जा सकता है।$\Sigma_{O(\log n)} P$

Comments

टिप्पणी और अनुवर्ती जवाब के लिए बहुत बहुत धन्यवाद। मैंने अपना उत्तर संपादित किया और तर्क को सामान्य बनाने पर विवरण जोड़ा। वास्तव में एक समय, स्थान और प्रत्यावर्तन व्यापार-प्रकार है, जो गणना के प्रकारों के लिए एन्कोड किया जा सकता है।

— माइकल वेहर

अतिरिक्त संदर्भ के लिए धन्यवाद! इसके अलावा, मैंने उम्मीद के मुताबिक स्पष्ट करने के लिए एक अधिक संक्षिप्त जवाब जोड़ा। एक बार फिर धन्यवाद। :)

— माइकल वीहर

Answer 2

(१) जो हम पहले से जानते हैं:

जैसा कि आप पहले ही बता चुके हैं, क्वांटिफ़ायर के विकल्पों के साथ QBF बहुपद पदानुक्रम के हर स्तर के लिए कठिन है।$\log(n)$

(२) मुझे लगता है कि हम निम्नलिखित भी साबित कर सकते हैं:

समस्या -हार्ड है।$NSPACE(log^2(n))$

(3) यहाँ पूर्ववर्ती दावे के लिए मेरा अनौपचारिक औचित्य है:

एक स्पेस बाउंड NTM और एक इनपुट स्ट्रिंग को देखते हुए , हमें यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि क्या दिए गए इनपुट स्ट्रिंग पर एक स्वीकार कम्प्यूट मौजूद है।$log^2(n)$

गणना में प्रत्येक कॉन्फ़िगरेशन को अनिवार्य रूप से बिट्स द्वारा दर्शाया जा सकता है । दूसरे शब्दों में, हम लॉग 2 ( एन ) चर के समूह द्वारा कॉन्फ़िगरेशन का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं ।$\log^2(n)$$\log^2(n)$

विचार यह है कि हमारे पास एक प्रारंभ कॉन्फ़िगरेशन और एक अंतिम कॉन्फ़िगरेशन है और हमें उस गणना का अनुमान लगाने की आवश्यकता है जो बीच में होती है। हम "क्वांटिफायर" का उपयोग करके "मध्य" कॉन्फ़िगरेशन का अनुमान लगाते हैं और पुष्टि करते हैं कि "लेफ्ट" कॉन्फ़िगरेशन "मध्य" में जाता है और "मिडिल" कॉन्फ़िगरेशन सभी क्वांटिफायर का उपयोग करके "दाएं" पर जाता है।

अब यह काम करने के लिए, एक "मध्य" कॉन्फ़िगरेशन को चुनने के बजाय, हमें "बाएं" और "दाएं" कॉन्फ़िगरेशन के बीच समान रूप से स्थानिक "मध्यवर्ती" कॉन्फ़िगरेशन के एक समूह को चुनने की आवश्यकता है। विशेष रूप से, हम अनुमान लगा सकता है समान रूप से स्थान दिया गया है के साथ मौजूद हैं परिमाणकों का उपयोग कर "मध्यवर्ती" विन्यास$\sqrt{n}$चर और फिर recurse मोटे तौर पर के साथ सभी परिमाणकों के लिए उपयोग कर विन्यास के बीच हर अंतराल परलॉग ऑन करें(n)चर।$\sqrt{n} * log^2(n)$$\log(n)$

प्रत्यावर्तन केवल गहराई तक पर जारी रखने की जरूरत लंबाई की एक गणना कवर करने के लिए सक्षम होने के लिए $2 * \log(n)$$\sqrt{n} ^ {2 * \log(n)} = n^{\log(n)} = 2^{\log^2(n)}$ where each configuration has at most $\log^2(n)$ many bits.

चूंकि पुनरावृत्ति गहराई , हमारे पास केवल O ( लॉग ( n ) $O(\log(n))$$O(\log(n))$ groups of variables i.e. alternations. Since each group of quantifiers only has चर, कुल में हमारे पासहे($\sqrt{n} * log^2(n)$चर।$O(\sqrt{n} * log^3(n))$

किसी भी प्रतिक्रिया या सुधार की पेशकश करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें। बहुत-बहुत धन्यवाद और मुझे उम्मीद है कि इससे थोड़ी मदद मिलेगी।

(४) रयान के सुझाव के अनुसार एक और सामान्य कथन:

आपको पूर्ववर्ती निर्माण को अधिक सामान्य तरीके से करने में सक्षम होना चाहिए। निम्नलिखित को धयान मे रखते हुए:

प्रत्यावर्तन के हर कदम पर, में टूट का उपयोग करते हुए "मध्यवर्ती" विन्यास के समूह ग ( एन ) विन्यास बिट्स प्रति। फिर, पुनरावृत्ति को गहराई से d ( $g(n)$$c(n)$$d(n)$.

As long as we don't have too many variables and too many alternations, this seems to work fine. Roughly, we need the following to be satisfied:

• $g(n) * c(n) * d(n) \leq n$
• $d(n) \leq \log(n)$

Our generalized approach will be used to simulate non-deterministic Turing machines that run for $g(n)^{d(n)}$ steps using $c(n)$ bits of memory.

In particular, we pick the following:

• $g(n) = \sqrt{n}$

• $c(n) = \frac{\sqrt{n}}{2 * log^2{n}}$

• $d(n) = 2 * \log^2(n)$

पूर्ववर्ती असमानताएं संतुष्ट हैं और हम गैर-नियतात्मक ट्यूरिंग मशीनों का अनुकरण करने के लिए निर्माण को अंजाम दे सकते हैं जो लगभग चलते हैं$2^{\log^2(n)}$$\frac{\sqrt{n}}{2 * log^2{n}}$

$NTISP(2^{\log^2(n)}, \frac{\sqrt{n}}{2 * log^2{n}})$.

(5) Further generalizations:

In the preceding generalization, we were simulating non-deterministic time and space bounded Turing machines. However, we may be able to simulate alternating time and space bounded Turing machines as well.

Let me explain a little bit. So we use roughly $\log(n)$ alternations to do the recursion to depth $\log(n)$. However, we could use some of the alternations initially, let's say $\sqrt{\log(n)}$. Then, we could use the remaining $\sqrt{\log(n)}$ alternations to go to depth $\sqrt{\log(n)}$.

In this case, we could simulate alternating Turing machines that have $\sqrt{\log(n)}$ alternations with sublinear witness lengths, run for $2^{\log^{\frac{3}{2}}(n)}$ steps, and use $\frac{\sqrt{n}}{2 * log^2{n}}$ bits of memory.

In other words, the problem is hard for $AltTimeSpace(\sqrt{\log(n)}, 2^{\log^{\frac{3}{2}}(n)}, \frac{\sqrt{n}}{2 * log^2{n}})$ with sublinear witness lengths. Alternatively, this class could be written using the $STA$ notation mentioned in the comments above.

Thank you for the comments and feel free to offer any further corrections or clarifications. :)

Comments

Wouldn't the $NL^2$-hardness follow straightaway from PH-hardness?

— Nikhil

How exactly do we know point (1)? Don't we need $2^k$ variables to get to some level $k$ of PH? Maybe I'm missing a simple point here.

— Markus

@MichaelWehar Sure, but we do know that $NL^2 \subseteq PH$ right? And that means every problem in $NL^2$ reduces to QBF with constantly many alternations, which is a special case of log-many alternations?

— Nikhil

@MichaelWehar Oops. Of course you're right! A related question here: cstheory.stackexchange.com/questions/14159/…

— Nikhil

Why not $NTISP(n^{\log n},poly(n))$-hard?

— Ryan Williams

Answer 3

A shorter answer.

Initial observations:

• The problem is hard for every level of the polynomial hierarchy.
• The problem is hard for alternating Turing machines with $\log(n)$ alternations that run for polynomial time.

Deeper Insights:

• Suggested by Kaveh's comment above, the problem can encode computations for $AltTime(\log(n), n)$ Turing machines.
• Also, as Ryan pointed out, the problem can encode computations for $NTimeSpace(2^{\log^2(n)}, \sqrt{n})$ Turing machines.

• More generally, the problem can encode computations for machines corresponding to various classes of the form $AltTimeSpace(a(n), t(n), s(n))$ with restricted witness lengths. I'm not quite sure what the exact relationship between $a(n)$, $t(n)$, and $s(n)$ has to be, but we know that:

  1. $\; \; a(n) \leq \log(n)$

  2. $\; \; t(n) \leq 2^{\log^2(n)}$

  3. $\; \; s(n) \leq n$

See my longer answer for more details on the trade-offs between $a(n)$, $t(n)$, and $s(n)$.

Note: In the above, when I say encode computations, I mean encode the computation without blowing up the instance size too much. That is, if we blow-up from $n$ size Turing machine input to $poly(n)$ size formula, then I think that although the blow-up is polynomial, it is good to pay close attention to the degree of the polynomial. The reason for the semi-fine-grained perspective is to try and slightly better recognize how the different complexity measures $a(n)$, $t(n)$, and $s(n)$ depend on each other.

Comments

Also, there is another factor that I omitted. That is, the witness size used with each alternation takes up variables. In other words, the larger the witnesses, the fewer variables that we have meaning that potentially we can't represent as many bits per configuration causing us to possibly require there to be less space for the machine that we encode computations for.

— Michael Wehar

Basically, all witness lengths for the quantifiers are sublinear and how large we can make them depends on the choice of $a(n)$, $t(n)$, and $s(n)$.

— Michael Wehar

Maybe an inner most there exists quantifier doesn't need to have restricted witness size because we can guess as we go.

— Michael Wehar