अधिकांश पर आकार के न्यूनतम डीएफए की संख्या ?

Let आकार का एक वर्णमाला है , और न्यूनतम DFAs पर विचार करें, जिसका आकार सबसे अधिक से घिरा है । चलो ऐसे विभिन्न न्यूनतम डीएफए की संख्या को दर्शाता है। $\Sigma$ $2$ $m$ $f(m)$

क्या हम लिए एक बंद-फॉर्मूला फॉर्मूला खोज सकते हैं ? $f(m)$

यह ध्यान में रखते हुए के आकार का DFA का परिवर्तन सबसे अधिक होता है। चूंकि नोड्स डिग्री से बंधी हुई है , प्रत्येक नोड के लिए आर्क्स के जोड़े की संभावनाएं हैं (जैसा कि टिप्पणियों में सुझाव दिया गया है)। इस ग्राफ में अधिक से अधिक कर रहे हैं प्रारंभिक अवस्था के संभावित विकल्प और अधिक से अधिक अंतिम राज्यों सेट के संभावित विकल्प। इस प्रकार, अधिक से अधिक आकार के DFAs की अधिकतम संख्या है । $|\Sigma|=2$ $m$ $2$ $m^2$ $m$ $2^m$ $m$ $f(m) \leq m^{2m}\cdot m\cdot2^m = 2^m\cdot m^{2m+1}$

हम एक मनमाने ढंग से वर्णमाला लिए सामान्यीकरण कर सकते हैं : बाध्य हो जाता है | $\Sigma$ $f(m) \le 2^m\cdot m^{|\Sigma|m+1}$

लेकिन हमने यहां डीएफए की मनमानी की और मैं कम से कम डीएफए की संख्या बढ़ाने में दिलचस्पी रखता हूं। इस प्रकार, ऐसा लगता है कि यह बाध्य तंग हो सकता है ... क्या किसी के पास बेहतर अनुमान है?

यदि संभव हो तो मैं इस समस्या से संबंधित कुछ कागजात या प्रमाण / प्रति-उदाहरण की सराहना करूंगा।

— लूज
स्रोत

मुझे नहीं लगता कि आपकी ऊपरी सीमा सही है। ऐसा लगता है कि इसे , बजाय

f (m) \leq m \times 2^{m} \times m^{2 m}

$f(m) \le m \times 2^m \times m^{2m}$

f (m) \leq m \times 2^{m} \times 2^{2 m}

$f(m) \le m \times 2^m \times 2^{2m}$ । प्रत्येक नोड के लिए, उस नोड से बाहर निकलने वाले दो आर्क्स पर विचार करें; वहां

m

$m$ संभावनाओं के लिए जहां पहला चाप जाता है, और

m

$m$ दूसरी चाप कहां जाती है, इसके लिए संभावनाएं

m^{2}

$m^2$ कुल में संभावनाएं। वहां

m

$m$ नोड्स, इसलिए हम प्राप्त करते हैं

(m^{2})^{m} = m^{2 m}

$(m^2)^m = m^{2m}$ आर्क के सेट के लिए संभावनाएं। सामान्यीकरण होगा

f (m) \leq m \times 2^{m} \times m^{| Σ | m}

$f(m) \le m \times 2^m \times m^{|\Sigma| m}$ ।

— डीडब्ल्यू

यहां एक संदर्भ दिया गया है, जो पुन: पता लगाया जा सकता है: "एन स्टेट्स के साथ फाइनेंशियल ऑटोमैटिक्स द्वारा स्वीकार किए गए आंकड़ों की संख्या पर" - citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc-summary?doi=10.1.1.8.2838

— माइकल वेहर

मेरी गलती सुधारने और मुझे यह संदर्भ देने के लिए आप दोनों को धन्यवाद जो वास्तव में एक पुनरावृत्ति है।

— लूज

जवाबों:

इशिगामी वाई। के अनुसार, तनी एस (1993) नेक राज्यों के साथ परिमित ऑटोमेटा के वीसी-आयाम , http://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-57370-4_58 , वीसी-आयाम की अवधारणा वर्ग $n$ आकार के एक वर्णमाला से अधिक DFAs $k$ है

d = d (n, k) := (k - 1 + o (1)) n \log_{2} n .

$d=d(n,k) := (k-1+o(1))n\log_2 n.$ यह निम्नानुसार है कि कम से कम हैं

2^{d}

$2^d$ अलग

n

$n$ -स्टेट ऑटोमेटा on a

k

$k$ -पत्रकार वर्णमाला। इस तरह के ऑटोमेटा की संख्या पर ऊपरी सीमा एक साधारण गिनती तर्क (कागज में दी गई) से होती है, और सबसे अधिक है

2^{d}

$2^d$ ।

— Aryeh
स्रोत

धन्यवाद। मैं आपके जवाब से समझता हूं कि हैं

m^{(| Σ | - 1 + o (1)) m}

$m^{(|\Sigma| - 1 + o(1)) m}$

m

$m$ -states डीएफए (कम से कम और अधिक से अधिक)। लेकिन मुझे न्यूनतम डीएफए गिनने में दिलचस्पी है। इस प्रकार आपकी ऊपरी सीमा मेरे उत्तर में दिए गए एक के विपरीत नहीं है, है ना?

— लूज

मुझे लगता है कि यह कम से कम डीएफए गिनता है, क्योंकि वीसी-आयाम प्रतिनिधित्व-स्वतंत्र है, यह वास्तव में अलग-अलग भाषाओं की गिनती कर रहा है - जो न्यूनतम डीएफए के अनुरूप है।

— आर्येह

ओह :( फिर आपका बाउंड मेरा विरोध कर रहा है ... क्योंकि मेरा एक बड़ा हर है

(m - 1)!

$(m-1)!$ जो इसे अपने नीचे बनाता है ... कैसे आना हुआ ??

— लूज

मैं काफी विरोधाभास नहीं देखता - बड़े भाजक

(m - 1)!

$(m-1)!$ अभी भी दलदल है

m^{m}

$m^m$ अंश में।

— आर्येह

वास्तव में, यदि आप Thm के प्रमाण को देखते हैं। 3.2 मैंने जो पेपर लिंक किया है, उसमें आप उस सटीक अभिव्यक्ति को हर में देखेंगे।

— आर्येह

(एनबी: स्वीकृत उत्तर में दी गई ऊपरी सीमा बेहतर है या यहाँ दिए गए के बराबर है)

पिछली टिप्पणियों में से एक में दिए गए इस पत्र में एक ऊपरी सीमा प्रस्तावित है: " एन राज्यों के साथ परिमित ऑटोमेटा द्वारा स्वीकार की गई विभिन्न भाषाओं की संख्या पर " (2002, एम। डोमरात्ज़की, डी। किसान, जे। शालिट) ।

इस कागज़ पे:

$f_{|\Sigma|}(m)$ फ़ंक्शन अलग-अलग गैर-आइसोमॉर्फिक न्यूनतम डीएफए की संख्या प्रदान करता है $m$ -स्टेट ओवर ए ${|\Sigma|}$ -पत्रकार वर्णमाला ,
$g_{|\Sigma|}(m)$ फ़ंक्शन DFA द्वारा स्वीकृत विभिन्न भाषाओं की संख्या देता है $m$ एक से अधिक राज्यों ${|\Sigma|}$ -पत्रकार वर्णमाला ।

हम ऊपरी सीमा में रुचि रखते हैं $g_{|\Sigma|}(m)$ समारोह के बाद से मेरे सवाल के लिए पूछना एक ऊपरी के साथ कम से कम DFAs की संख्या पर बाध्य ज्यादा से ज्यादा $m$ राज्यों और बिल्कुल नहीं $m$ )।

पृष्ठ से मुझे क्या समझ में आता है $6$ प्रमेय के नीचे $8$ क्या वह $g_{|\Sigma|}(m) \leq \frac{2^m\cdot m^{|\Sigma|m}}{(m-1)!}$ जो मेरे प्रश्न में दिए गए (यानी) से बेहतर है $2^m\cdot m^{|\Sigma|m+1}$ )। यह आंशिक रूप से मेरे प्रश्न का उत्तर देता है।

लेकिन कागज का दावा है कि यह ऊपरी सीमा तुच्छ है और इसमें सुधार किया जा सकता है। हालाँकि, सुधार केवल इससे संबंधित है $f_{|\Sigma|}(m)$ (जहाँ तक मैं इसे समझता हूँ)।

— लूज
स्रोत