क्या यह तय करना कि क्या एक प्रविष्टि बदलने से बहुपद पदानुक्रम में एक मैट्रिक्स का स्थायी घटता है?

निम्नलिखित समस्या पर विचार करें: एक मैट्रिक्स दी , सूचकांक और एक पूर्णांक । बदलें द्वारा और नए मैट्रिक्स फोन । है $M\in\{-m,\dots,0,\dots,m\}^{n\times n}$ $i,j\in\{1,\dots,n\}$ $a$ $M[i,j]$ $a$ $\hat M$ ? $per(M)>per(\hat M)$

क्या बहुपद पदानुक्रम में यह समस्या है?

permanent

— टी ....
स्रोत

इसे दो कॉल से हल किया जा सकता है #P oracle ... यदि यह PH में था, तो इसका अर्थ होगा कि PP PH में भी है ... हालाँकि, यदि PH PH में है, तो PH का पतन होता है। इसलिए मुझे लगता है कि यह संभावना नहीं है कि यह पीएच में है।

— तैफून पे

@TayfunPay मुझे नहीं लगता कि तर्क सही है। समस्या को 2 पी # पी के साथ हल किया जा सकता है, लेकिन इसे इतनी आसानी से खारिज नहीं किया जा सकता है कि एक सरल एल्गोरिथ्म है जो पीएच में दिखा सकता है। आपको यह दिखाना होगा कि इसके लिए # पी के लिए कठिन है, उदाहरण के लिए इसे कम करके।

— जान जोहान्सन

यदि आप स्थायी की परिभाषा में प्लग करते हैं और परिणामी असमानता को सरल करते हैं, तो आपकी समस्या इस सवाल से उब जाती है कि क्या दिए गए (n-1) -by- (n-1) मैट्रिक्स का स्थायी सख्ती से सकारात्मक है।

— गामो

@Gamow, और दूसरी तरह से, यानी

को इस समस्या के लिए कम किया जा सकता है। एक मैट्रिक्स को देखते हुए

, निर्माण

शीर्ष पर एक लाइन और ऊपरी-बाएं कोने में 1 और 0 अन्यथा के साथ छोड़ दिया पर एक कॉलम जोड़ कर। आइए अब

हो मैट्रिक्स

जहां शीर्ष छोड़ दिया प्रविष्टि ने ले लिया है

। फिर

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$

M

$M$

M^{'}

$M'$

M^{″}

$M''$

M^{'}

$M'$

- 1

$-1$

द्वारा

और पहला स्तंभ विकसित करना। इस प्रकार

टर्बो पर की समस्या iff

और

रिटर्न सच।

P E R (M^{″}) = - P E R (M^{'}) = - P E R (M)

$PER(M'') = -PER(M') = -PER(M)$

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$

M^{'}

$M'$

(i, j) = (0, 0)

$(i,j) = (0,0)$

a = - 1

$a = -1$

— 17:30

@ भेड़िया: मुझे लगता है कि आपको इसे उत्तर के रूप में पोस्ट करना चाहिए। यह बहुत ही निश्चित रूप से इस सवाल का जवाब देता है, और फिर सवाल "अनुत्तरित" के रूप में प्रकट नहीं होगा।

— जोशुआ ग्रूचो

आपकी समस्या परीक्षण के समतुल्य है, $M$ , चाहे $PER(M) > 0$ ।

प्रमाण : मान लें कि आपको $M$ दिया गया है और आप यह तय करना चाहते हैं कि $PER(M) > 0$ । हम $M'$ निर्माण इस प्रकार करते हैं:

[\begin{matrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 \\ \dots & M \\ 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & & & & \\ \dots & & M & &\\ 0 & & & & \end{bmatrix}$ यह देखना आसान है कि

P E R (M) = P E R (M^{'})

$PER(M) = PER(M')$ । अब, परिभाषित

\hat{M^{'}}

$\hat{M'}$ होने के लिए

M^{'}

$M'$ हम कहाँ की जगह

(0, 0)

$(0,0)$ के प्रवेश के

M^{'}

$M'$ से

- 1

$-1$ । मल्टीलाइनरिटी द्वारा, यह निम्नानुसार है कि

P E R (M) = P E R (M^{'}) = - P E R (\hat{M^{'}})

$PER(M) = PER(M') = -PER(\hat{M'})$ । इस प्रकार

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$ यदि और केवल यदि

P E R (M^{'}) > P E R (\hat{M^{'}})

$PER(M') > PER(\hat{M'})$ ।

$M$ $(i,j)$ $a$ $\hat{M}$ $M[i,j]$ $a$

\begin{aligned} P E R (M) > & P E R (\hat{M}) iff \\ \sum_{σ} \prod_{k = 1}^{n} M [k, σ (k)] > & \sum_{σ} \prod_{k = 1}^{n} \hat{M} [k, σ (k)] iff \\ \sum_{σ, σ (i) = j} M [i, j] \prod_{k \neq i}^{n} M [k, σ (k)] > & \sum_{σ, σ (i) = j} a \prod_{k \neq i}^{n} M [k, σ (k)] iff \\ (M [i, j] - a) \cdot \sum_{σ, σ (i) = j} \prod_{k \neq i}^{n} M [k, σ (k)] > & 0 iff \\ (M [i, j] - a) \cdot P E R (M^{'}) > 0 \end{aligned}

$\begin{align} PER(M) > & PER(\hat{M}) \text{ iff} \\ \sum_{\sigma} \prod_{k=1}^n M[k,\sigma(k)] > &\sum_{\sigma} \prod_{k=1}^n \hat{M}[k,\sigma(k)] \text{ iff} \\ \sum_{\sigma, \sigma(i)=j} M[i,j] \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] > &\sum_{\sigma, \sigma(i)=j} a \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] \text{ iff}\\ (M[i,j]-a) \cdot \sum_{\sigma, \sigma(i)=j} \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] > & 0 \text{ iff}\\ (M[i,j]-a) \cdot PER(M') > 0 \end{align}$

$M'$ $(n-1) \times (n-1)$ $M$ $i$ $j$ $\square$

— holf
स्रोत

अच्छा उत्तर, लेकिन यह ओपी के प्रश्न के उत्तर को भी स्पष्ट रूप से बताने योग्य है।

— स्टेला बिडरमैन