लॉगरिदमिक लंबाई गवाह का उदाहरण खोजने की तुलना में सत्यापित करना आसान है

Question

एक आसान अवलोकन यह है कि अगर एक समस्या बहुपद समय nondeterministic का उपयोग कर कार्यक्रम द्वारा डिसाइडेबल है nondeterministic बिट्स (यानी, सभी गवाहों लंबाई में लघुगणक हैं), तो ।$A$$O(\log n)$$A \in \mathsf{P}$

अगर कोई एक सवाल पूछता है, "क्या किसी गवाह को सत्यापित करने के लिए उसे ढूंढना आसान है?" ऐसी समस्याओं के लिए, और कोई सभी बहुपद को चलने के समय के बराबर मानता है, तो इसका उत्तर नहीं है, क्योंकि सभी संभावित गवाहों के माध्यम से खोज करके बहुपदीय समय में ऐसे गवाहों को पाया जा सकता है।

लेकिन क्या होगा अगर हम बहुपद के चल रहे समय के बीच बारीक-बारीक भेद मानते हैं? मुझे आश्चर्य है कि अगर वहाँ एक प्राकृतिक समस्या का एक ठोस उदाहरण है जिसमें लॉगरिदमिक-लंबाई के गवाह हैं जो कि सत्यापित करने के लिए आसान हैं, जहां "आसान" का अर्थ है एक छोटे से बहुपद चल रहा समय।$\mathsf{P}$

उदाहरण के लिए, ग्राफ़ में सही मिलान के लिए ज्ञात एल्गोरिदम बहुपद समय लेते हैं, लेकिन नोड्स वाले ग्राफ़ पर समय से अधिक है । लेकिन जोड़े नोड्स (एक गवाह) का एक सेट दिया गया है , समय में सत्यापित करना आसान है कि यह एक मेल है। हालाँकि, मिलान के लिए सांकेतिक शब्दों में बदलना करने के लिए बिट्स की आवश्यकता होती है ।$O(n)$$n$$n/2$$O(n)$$\Omega(n)$

क्या कुछ प्राकृतिक समस्या है जो सत्यापन बनाम खोजने में एक समान (स्पष्ट) स्पीडअप प्राप्त करती है, जिसमें साक्षी को लघुगणक लंबाई होती है?

Comments

कंप्यूटिंग की समस्या पर विचार करें कि क्या एक -बिट इनपुट स्ट्रिंग सभी शून्य स्ट्रिंग के बराबर नहीं है। ऐसा करने के लिए समय लगता है, लेकिन a आकार गवाह ( ओर इशारा करते हुए ) यह बहुत आसान बनाता है (यादृच्छिक-पहुँच मशीन पर)। $n$$\Theta(n)$$\log n$$1$

— रोबिन कोठारी

सवाल विशेष रूप से दिलचस्प है अगर हम एक यादृच्छिक एक्सेस मशीन पर कम से कम रैखिक सत्यापन समय के साथ समस्याओं पर विचार करते हैं। पेपर web.stanford.edu/~rrwill/improved-algs-lbs2.pdf की धारा 4, नॉनडेटेटिनिज़्म के साथ भी संपूर्ण खोज पर सार्वभौमिक सुधार होने के कुछ दिलचस्प परिणाम देती है । (धारा 5 यहां तक ​​कि कुछ बिना शर्त निचली सीमाओं को साबित करती है।)$O(\log n)$

— रयान विलियम्स

Answer 1

निर्णय समस्या पर विचार करें जो यह तय करती है कि क्या लंबाई का बाइनरी इनपुट एक गैर-पैलिंड्रोम है।$x$$n$

एक सुंदर मानक संचार जटिलता प्रमाण है कि इस समस्या को हल करने के लिए एक टेप टीएम को कम से कम समय की आवश्यकता होती है।$O(n^2)$

दूसरी ओर, हम भी एक के साथ एक गैर नियतात्मक कलन विधि का उपयोग इस समस्या को हल कर सकते हैं की लंबाई गवाह : एल्गोरिथ्म को स्वीकार करता है, जब भी वें के प्रारंभ से थोड़ा से भिन्न के अंत से वें बिट । एक लंबाई बिटस्ट्रिंग के प्रारंभ या अंत से वें बिट की पहचान करना एक टेप टीएम पर समय में पूरा किया जा सकता है ।$\log(n)$$i$$i$$x$$i$$x$$i$$n$$O(n \log n)$

Comments

अच्छा है, आप मूल रूप से nondeterministic और निर्धारक एक-टेप TMs के अलगाव के लिए nondeterministic और निर्धारक संचार जटिलता (दो तारों की समानता के लिए) के बीच अंतर को "उठा" रहे हैं।

— रायन विलियम्स