क्या सैट एक संदर्भ-मुक्त भाषा है?

Question

मैं सभी संतोषजनक प्रस्तावक तर्क सूत्रों की भाषा पर विचार कर रहा हूँ, SAT (यह सुनिश्चित करने के लिए कि यह एक परिमित वर्णमाला है, हम कुछ उपयुक्त तरीके से प्रस्ताव पत्र सांकेतिक शब्दों में बदलना होगा [संपादित करें: उत्तरों ने कहा कि प्रश्न के उत्तर के तहत मजबूत नहीं हो सकता है] अलग-अलग एन्कोडिंग, इसलिए किसी को अधिक विशिष्ट होने की आवश्यकता है - नीचे मेरे निष्कर्ष देखें] )। मेरा सीधा सा सवाल है

क्या सैट एक संदर्भ-मुक्त भाषा है?

मेरा पहला अनुमान था कि आज (2017 की शुरुआत में) उत्तर "किसी को नहीं पता होना चाहिए, क्योंकि यह जटिलता सिद्धांत में अनसुलझे प्रश्नों से संबंधित है।" हालांकि, यह वास्तव में सच नहीं है (नीचे उत्तर देखें), हालांकि पूरी तरह से गलत भी नहीं है। यहां उन चीजों का एक संक्षिप्त सारांश है जो हम जानते हैं (कुछ स्पष्ट चीजों के साथ शुरू)।

1. सैट नियमित नहीं है (क्योंकि कोष्ठक मिलान के कारण प्रस्ताव तर्क का वाक्य-विन्यास भी नियमित नहीं है)
2. SAT संदर्भ-संवेदनशील है (इसके लिए LBA देना कठिन नहीं है)
3. सैट एनपी-पूर्ण (कुक / लेविन) है, और विशेष रूप से बहुपद समय में nondeterministic TMs द्वारा निर्णय लिया गया है।
4. SAT को वन-वे नोंडेर्मिनिस्टिक स्टैक ऑटोमेटा (1-NSA) द्वारा भी देखा जा सकता है (डब्ल्यूसी राउंड्स देखें, मध्यवर्ती स्तर की भाषाओं में मान्यता की जटिलता , स्विचिंग और ऑटोमेटा थ्योरी, 1973, 145-158 http://dx.doi.org/ 10.1109 / SWAT.1973.5 )
5. संदर्भ-मुक्त भाषाओं के लिए शब्द समस्या की अपनी जटिलता वर्ग $\textbf{CFL}$ (देखें https://complexityzoo.uwaterloo.ca/Complexity_Zoo:C#cfl )
6. , जहां LOGCFL समस्याओं का वर्ग है logspace को कम करने योग्य सीएफएल (देखेंhttps://complexityzoo.uwaterloo.ca/Complexity_Zoo:L#logcfl)। ऐसा नहीं है कि जाना जाता है NL ⊆ LOGCFL ।$\textbf{CFL}\subseteq\textbf{LOGCFL}\subseteq\textbf{AC}^{\textbf{1}}$$\textbf{LOGCFL}$$\textbf{CFL}$$\textbf{NL}\subseteq\textbf{LOGCFL}$
7. NL = एनपी एनसी 1 ⊊ पीएच एनपी LOGCFL $\textbf{NL}\subsetneq\textbf{NP}$$\textbf{NL}=\textbf{NP}$$\textbf{NC}^{\textbf{1}}\subsetneq\textbf{PH}$$\textbf{NP}$$\textbf{LOGCFL}$$\textbf{LOGCFL}$

हालाँकि, यह अंतिम बिंदु अभी भी इस संभावना को छोड़ देता है कि SAT को में नहीं जाना जाता है । सामान्य तौर पर, मैं बहुत से रिश्ते के बारे में नहीं पा सके को पदानुक्रम है कि हो सकता है मदद मेरे सवाल के epistemic स्थिति स्पष्ट करने के लिए।सीएफएल $\textbf{CFL}$$\textbf{CFL}$$\textbf{NC}$

रिमार्क (कुछ शुरुआती जवाबों को देखने के बाद): मैं फॉर्मूले को सामान्य रूप में समवर्ती होने की उम्मीद नहीं कर रहा हूं (इससे उत्तर के सार पर कोई फर्क नहीं पड़ेगा, और आमतौर पर तर्क तब भी लागू होते हैं क्योंकि सीएनएफ भी एक सूत्र है। लेकिन दावा करें कि समस्या का निरंतर-संख्या-चर संस्करण नियमित रूप से विफल रहता है, क्योंकि किसी को वाक्यविन्यास के लिए कोष्ठक की आवश्यकता होती है।)

निष्कर्ष: मेरी जटिलता-सिद्धांत से प्रेरित अनुमान के विपरीत, कोई भी सीधे दिखा सकता है कि SAT संदर्भ-मुक्त नहीं है। इसलिए स्थिति यह है:

1. यह ज्ञात है कि सैट है विषय से मुक्त नहीं (दूसरे शब्दों में: सैट में नहीं है ), धारणा एक का उपयोग करता है "प्रत्यक्ष" एन्कोडिंग के तहत सूत्रों जहां प्रोपोज़िशनल चर द्विआधारी संख्या से पहचाने जाते हैं की (और कुछ आगे के प्रतीक ऑपरेटरों और विभाजकों के लिए उपयोग किए जाते हैं)।$\textbf{CFL}$
2. अगर यह पता नहीं है सैट में है , लेकिन "अधिकांश विशेषज्ञों लगता है कि" कि ऐसा नहीं है, के बाद से इस अर्थ होगा । इसका मतलब यह भी है कि यह अज्ञात है अगर सैट के अन्य "उचित" एन्कोडिंग संदर्भ-मुक्त हैं (यह मानते हुए कि हम लॉगस्पेस को एनपी-हार्ड समस्या के लिए एक स्वीकार्य एन्कोडिंग प्रयास मानेंगे)।पी = $\textbf{LOGCFL}$$\textbf{P}=\textbf{NP}$

ध्यान दें कि ये दो बिंदु । इसे सीधे दिखाते हुए दिखाया जा सकता है कि में भाषाएं हैं (इसलिए in ) जो संदर्भ-मुक्त नहीं हैं (उदाहरण के लिए, )।एल LOGCFL एक एन बी एन सी $\textbf{CFL}\subsetneq\textbf{LOGCFL}$$\textbf{L}$$\textbf{LOGCFL}$$a^nb^nc^n$

Comments

यदि यह था, तो पी = एनपी।

— रयान

यदि SAT संदर्भ मुक्त था, तो गतिशील प्रोग्रामिंग (CYK एल्गोरिथ्म) SAT में सदस्यता परीक्षण के लिए एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म देगा, जो P = NP दे रहा है। यहां तक ​​कि पी = एनपी का मतलब यह नहीं होगा कि सैट संदर्भ-मुक्त थे। चरों का यह एन्कोडिंग ऐसा लगता है कि जैसे आप इसे श्रेय दे रहे हैं, उससे अधिक महत्वपूर्ण हो सकता है। मैंने विवरणों पर काम नहीं किया है, लेकिन यदि आपको लगता है कि मैं वैरिएबल या बाइनरी "सब्सक्राइब" को उन वैरिएबल में जोड़ देता हूं, जो मुझे लगता है कि आपको बड़े पर्याप्त सूचकांकों के लिए (x और y) x (नहीं और x) से अलग करने में परेशानी होगी।

— एडमएफ

पी = एनपी निष्कर्ष का दावा करने से पहले आपको प्रतिनिधित्व के बारे में सटीक होना चाहिए। उदाहरण के लिए, संख्या एन को फैलना एन में बहुपद-समय है (दिलचस्प प्रश्न बाइनरी में एन को लिखने के लिए आवश्यक बिट्स की संख्या या लॉग एन के बारे में है) से संबंधित है।

— आर्येह

मैं पी = एनपी निष्कर्ष के बारे में जानता था और इसलिए जवाब "हाँ" होने की उम्मीद नहीं थी (खेद है कि मैंने इसे कैसे दोहराया? थोड़ा सा उत्तेजक होने के लिए; ;-) मैं अभी भी सोच रहा था कि क्या यह वास्तव में जाना जाता है या केवल कुछ ऐसा है जो "अधिकांश विशेषज्ञ मानते हैं" (अब जवाब स्पष्ट रूप से इंगित करते हैं कि पूर्व सच है; मैं उचित समय में एक का चयन करूंगा)।

— mak

Answer 1

अच्छी तरह से ज्ञात परिणामों के मिश्रण का उपयोग करते हुए बस एक वैकल्पिक प्रमाण।

मान लो कि:

• चर के साथ नियमित अभिव्यक्ति व्यक्त कर रहे हैं $d = (+|-)1(0|1)^*$
• और कहा कि ( नियमित ) भाषा (अधिक CNF सूत्रों का प्रतिनिधित्व करते थे है: एस = { $\Sigma = \{0,1,+,-,\land,\lor\})$ ; बस ध्यान दें कि S चर नामकरण तक सभी मान्य CNF फ़ार्मुलों को पकड़ लेता है।$S = \{ d^+ (\lor d^+)^*(\land (d^+ (\lor d^+)^*))^* \}$$S$

उदाहरण के लिए के रूप में लिखा है: रों φ = + 1 ∨ + 10 ∧ - 11 ∈ एस ( ∨ ऑपरेटर पूर्वता से अधिक है ∧ )।$\varphi = (x_1 \lor x_2) \land -x_3$$s_{\varphi} = +1 \lor +10 \land -11 \in S$$\lor$$\land$

मान लीजिए कि सेंट इसी सूत्र φ संतुष्टि योग्य है } सीएफ है।$L = \{ s_{\varphi} \in S \, \mid$$\varphi$$\}$

अगर हम नियमित रूप से भाषा के साथ यह एक दूसरे को काटना: हम अभी भी एक CF भाषा मिलता है। हम यह भी आवेदन कर सकते हैं समरूपता: ज ( + ) = ε , ज ( - ) = ε और भाषा सीएफ़ बनी हुई है$R = \{ +1^a \land -1^b \land -1^c \mid a,b,c > 0 \}$$h(+) = \epsilon$$h(-) = \epsilon$

लेकिन भाषा हम प्राप्त है: , क्योंकि अगर एक = ख तो "स्रोत" सूत्र है + एक्स एक ∧ - एक्स एक ∧ - एक्स b जो असंतोषजनक है (इसी तरह यदि a = c )। लेकिन एल ' एक प्रसिद्ध गैर सीएफ भाषा है ⇒ विरोधाभास।$L' = \{ 1^a \land 1^b \land 1^c \mid a \neq b, a \neq c\}$$a=b$$+x_a \land -x_a \land -x_b$$a=c$$L'$$\Rightarrow$

Comments

मैंने इस उत्तर को अब स्वीकार कर लिया है क्योंकि अन्य दृष्टिकोण के साथ एक खुला मुद्दा अभी भी है (टिप्पणियों को देखें) और मुझे कुछ और बुनियादी तर्क पसंद हैं। यह जोर देना अच्छा हो सकता है कि तर्क चुने हुए एन्कोडिंग के लिए विशिष्ट है और यह वास्तव में अज्ञात है अगर कोई अन्य सरल (लॉगस्पेस) एन्कोडिंग पा सकता है जो संदर्भ-मुक्त भाषा की ओर जाता है।

— mak

@ mak: मुझे संदेह है कि SAT के किसी भी अन्य "उचित" एन्कोडिंग को एक समान तकनीक के साथ गैर सीएफ साबित किया जा सकता है। शायद एक और दिलचस्प दिशा यह होगी कि यदि हम किसी सामान्य प्रमाण को प्राप्त करने के लिए किसी प्रकार का विकर्ण कर सकें तो अध्ययन कर सकते हैं: SAT सूत्र एक गणना को संप्रेषित करता है जो किसी दिए गए इनपुट पर ऑटोमेटा को नीचे धकेलता है और यह संतोषजनक होता है यदि केवल और केवल ' t इसे स्वीकार करें। लेकिन यह केवल एक अजीब विचार है ...

— Marzio De Biasi

अगर एक स्ट्रिंग एक नियमित भाषा में है, तो यह जांचना कि पी। मान लें कि सैट रेग में था। फिर एनपी = सीओएनपी। L को Reg में रहने दें। उस सूत्र पर विचार करें जो सत्य है यदि वह L में नहीं है। यह NP में है तो इसे SAT सूत्र के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यह भाषा में है यदि यह नहीं है।

— केवह

Answer 2

यदि चर की संख्या परिमित है, तो संतोषजनक संयुग्मों की संख्या है, इसलिए आपकी SAT भाषा परिमित है (और नियमित रूप से)। [संपादित करें: यह दावा CNFSAT फ़ॉर्म को मानता है।]

अन्यथा, के जैसे एनकोड सूत्रों करने के लिए सहमत जाने द्वारा(17+$(x_{17}\vee \neg x_{21})\wedge (x_{1}\vee x_{2}\vee x_3)$ । हम यह साबित करनेकेलिएओग्डेन के लेम्मा काउपयोग करेंगेकि सभी संतोषजनक शब्दों की भाषा संदर्भ-मुक्त नहीं है।$(17+\tilde{} 21)(1+2+3)$

चलो ओग्डेन प्रेमयिका लेमा में "अंकन" स्थिर हो, और एक बैठ-सूत्र पर विचार डब्ल्यू जिनकी पहली खंड के होते हैं ( 1 पी ) - यह है कि, की एन्कोडिंग ( एक्स एन ) है, जहां एन दशमलव से मिलकर संख्या है पी लोगों को। हम निशान पी के लोगों को$p$$w$$(1^p)$$(x_N)$$N$$p$$p$और फिर आवश्यकता होती है कि डब्ल्यू के उचित अपघटन के सभी पंपिंग(ओग्डेन के लेम्मा का निष्कर्ष देखें) भी संतोषजनक हो। लेकिन हम इसे आसानी से ब्लॉक कर सकते हैं, जिसमें यह आवश्यक नहीं है कि x q , जहां q का अनुक्रम हो,कोई खंड नहींहै$1^p$$w$$x_q$$q$ , पी से छोटा है, संतोषजनक हो - उदाहरण के लिए, यह सुनिश्चित करके कि हर दूसरे खंड में w के प्रत्येक ऐसे x q का निषेध है। इसका मतलब यह है कि डब्ल्यू "नकारात्मक पंपिंग" संपत्ति को विफल करता है और हम निष्कर्ष निकालते हैं कि भाषा संदर्भ-मुक्त नहीं है। [नोट: मैंने उन तुच्छ मामलों को नज़रअंदाज़ कर दिया है जहाँ पंपिंग बीमार-निर्मित तारों का उत्पादन करता है।]$1$$p$$w$$x_q$$w$

Comments

नोट: मेरे दावे में कि परिमाणों की एक निश्चित संख्या के लिए भाषा परिमित है, मैं अव्यवस्थित रूप से किसी खंड या खंड के भीतर कई बार दोहराते हुए अनादर कर रहा हूं

— आर्येह

... लेकिन मुझे लगता है कि भाषा अभी भी नियमित है, क्योंकि कोई "अनिवार्य रूप से विशिष्ट" (यानी, बिना किसी तुच्छ दोहराव) के फार्मूले का संग्रह लेता है और फिर विभिन्न पुनरावृत्तियों की अनुमति देता है।

— आर्येह

नियमितता के साथ दावा केवल CNFSAT के लिए काम करता है (मैंने अपने प्रश्न में स्पष्टीकरण जोड़ा)।

— mak

यहां तक ​​कि सूक्ष्मता से गैर-सीएनएफ फ़ार्मुलों के साथ भी कई चर, संतोषजनकता (और कोई भी भाषा जो उस मामले के लिए दो तार्किक समकक्ष फ़ार्मुलों को अलग नहीं कर सकती है) को आसानी से संदर्भ-मुक्त माना जाता है। हालाँकि, मैं इस की प्रासंगिकता को देखने में विफल हूँ। बहुत से वैरियबल्स में सूत्रों की संतुष्टि एक तुच्छ समस्या है जिसका सैट की जटिलता से कोई लेना-देना नहीं है।

— एमिल जेकाबेक

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