निर्धारक की गणना करने के लिए अंकगणितीय परिचालनों की न्यूनतम संख्या

Question

वहाँ प्राथमिक अंकगणितीय आपरेशनों एक की निर्धारक गणना करने के लिए की जरूरत की न्यूनतम संख्या खोजने पर किसी भी काम किया गया है $n$ से $n$ छोटे और तय करने के लिए मैट्रिक्स $n$ ? उदाहरण के लिए, $n=5$ ।

Comments

मैंने इस बारे में विशेषज्ञों से पूछा है, और जाहिर तौर पर यह भी ज्ञात नहीं है कि 3x3 मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने के लिए 9 गुणकों की आवश्यकता है या नहीं।

— जेफरी शालित

@JeffreyShallit यदि $9$ संभव है जो पहले से ही दिलचस्प है ( उदाहरण के लिए यह से कम है $n^3$)। कैसे बारे में $n=4$?

— लेम्बिक

नहीं, बिल्कुल दिलचस्प नहीं। N = 3 के लिए 9 गुणा नाबालिगों द्वारा विस्तार से। N = 4 के लिए फिर से, नाबालिगों द्वारा विस्तार 40 देता है। मुझे नहीं पता कि इसे 40 गुना से कम में कैसे करना है।

— जेफरी श्लिट

@JeffreyShallit ओह मैं देख रहा हूँ, अच्छी बात है। यह आश्चर्यजनक है (कम से कम मेरे लिए) अगर भोली से बेहतर कुछ भी किसी निश्चित लिए नहीं जाना जाता है $n$।

— लेम्बिक

अगर कोई जानता है, तो शायद वे हमें बता सकते हैं।

— जेफरी श्लिट

Answer 1

$n\times n$$n^{\omega+o(1)}$$\omega$

$n\times n$$(n/2) \times (n/2)$

$$\text{$D$ invertible}\qquad\implies\qquad\det \begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix} = \det(D) \det(A-BD^{-1}C).$$

इस प्रकार, आप एक गणना कर सकता है दो कंप्यूटिंग द्वारा निर्धारक निर्धारकों, एक inverting मैट्रिक्स, के दो जोड़े गुणा मैट्रीस और कुछ सरल ऑपरेशन। निर्धारक कॉल का पुनरावर्ती विस्तार करते हुए, मैट्रिक्स गुणन और व्युत्क्रम द्वारा जटिलता समाप्त हो जाती है।$n\times n$$(n/2)\times (n/2)$$(n/2)\times (n/2)$$(n/2)\times (n/2)$

यह छोटे और यहां तक ​​कि उप-क्यूबिक मैट्रिक्स गुणन एल्गोरिदम का उपयोग किए बिना भी अच्छी तरह से काम करता है। (बेशक, यह गौसियन उन्मूलन के बराबर-या-कम समाप्‍त हो रहा है।) उदाहरण के लिए, , हम दो विभाजनों के साथ गणना कर सकते हैं , चार डिवीजनों के साथ, के साथ गुणा, दो गुणा के साथ, और एक गुणा के साथ अंतिम जवाब। कुल संख्या गुणन प्लस विभाजन है, जो से कम है$n$$n=4$$\det(D)$$D^{-1}$$BD^{-1}C$$2\times 8=16$$\det(A-BD^{-1}C)$$2+4+16+2+1=25$$40$कोफ़ेक्टर विस्तार से। स्ट्रैसेन के एल्गोरिथ्म का उपयोग करना यहां दो गुणा बचाता है, लेकिन अधिक समान रूप से।

आप देख सकते हैं कि यह विस्तार महत्वपूर्ण रूप से विभाजन का उपयोग करता है। यदि आप विभाजन से बचना चाहते हैं, तो एक क्लो अनुक्रम और गतिशील प्रोग्रामिंग के साथ काम करके संचालन में ऐसा कर सकते हैं । यह भी जाना जाता है कि गुणन और कोई विभाजन कैसे प्राप्त करें।$O(n^4)$$n^{2+\omega/2+o(1)}$

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क्या आप जानते हैं कि गुणकों की संख्या के आधार पर कोई निचली सीमा होती है? N = 3 के लिए भी?

— जेफरी श्लिट 10

आपका वाक्यांश "एक मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने के लिए आवश्यक अंकगणितीय संचालन की संख्या " जो बताता है कि एक कम बाउंड ज्ञात है। लेकिन मैंने इसे उद्धृत कार्यों में से किसी में नहीं देखा। क्या मैं कुछ भूल रहा हूँ? $n \times n$$n^{\omega +o(1)}$

— जेफरी श्लिट

निचले बाउंड W.Baur और V.Strassen द्वारा पेपर में है "आंशिक व्युत्पत्ति की जटिलता" ( dx.doi.org/10.1016/0304-3975(83)90110-X )

— व्लादिमीर