एक मैट्रिक्स समस्या की जटिलता

निम्नलिखित समस्या हाल ही में मेरे शोध में दिखाई दी। एल्गोरिदमिक प्रश्नों पर कोई विशेषज्ञ नहीं होने के कारण मैंने उपयुक्त समस्याओं की खोज में बड़े पैमाने पर गोगल को कम किया है। मैं यह नहीं देखता कि 3SAT कैसे काम करेगा, और भले ही ZOE आत्मा के समान है, कमी स्पष्ट नहीं है। एक और संभावना वास्तविकताओं के अस्तित्व का सिद्धांत होगा। यह काफी मैच भी नहीं लगता है, लेकिन मैं इसके बारे में गलत हो सकता है।

समस्या: और दोनों आपके पसंदीदा क्षेत्र पर -rrrices हैं। हम मानते हैं कि के सूचकांकों का मनमाना सेट 0. पर सेट है, इसी तरह के सूचकांकों का एक मनमाना सेट 0 पर सेट है। प्रश्न: क्या हम और के शेष सूचकांकों को भर सकते हैं जैसे ? $A$ $B$ $n\times n$ $A$ $B$ $A$ $B$ $AB = I_n$

उदाहरण: , । संभव नहीं। $A = \begin{bmatrix} 0 & a_1 \\ a_2 & 0 \end{bmatrix}$ $B = \begin{bmatrix} b_1 & 0 \\ 0 & b_2 \end{bmatrix}$

इस ( ) की कम्प्यूटेशनल जटिलता क्या है ? $n$

किसी भी संकेत या विचार जहां साहित्य में इसी तरह के परिणामों के लिए देखने के लिए बहुत सराहना की जाएगी।

EDIT (इस पोस्ट के बारे में पूरी तरह से भूल गए): हाल के काम में जो कि arXiv पर उपलब्ध है (यदि किसी को प्रीप्रिंट में दिलचस्पी है तो मुझे बताएं) हमने दिखाया है कि समस्या किसी भी परिमित क्षेत्र पर NP-hard है।

cc.complexity-theory

— एमबी
स्रोत

बशर्ते आधार क्षेत्र काफी बड़ा है, यह जांचने की समस्या है कि क्या आप बहुपद की पहचान परीक्षण के लिए कम कर सकते हैं (पूरक)। बस निरीक्षण करते हैं कि का निर्धारक लापता प्रविष्टियों के मूल्यों में एक बहुपद है।

A B

$AB$

A B

$AB$

— एंड्रयू मॉर्गन

इसके अलावा, मामला जहां हम और की प्रविष्टियों को शून्य-एक होने तक सीमित करते हैं , और क्षेत्र की विशेषता से बड़ा है , द्विदलीय पूर्ण मिलान को कम कर देता है। आप प्रत्येक सूचकांक दूसरे सूचकांक लिए चुनने की कल्पना कर सकते हैं ताकि आप और शेष प्रविष्टियाँ शून्य सेट करें। (यह केवल चोट पहुंचा सकते हैं और अधिक से अधिक लोगों को लाना।) इसके बाद हालत सूचकांक के साथ एक द्विपक्षीय ग्राफ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है बाईं तरफ, के विकल्पों सही पर, और के लिए किनारों जोड़े, जिसके लिए हम और सेट कर सकते हैं

A

$A$

B

$B$

n

$n$

i

$i$

k_{i}

$k_i$

A_{i, k_{i}} = B_{k_{i}, i} = 1

$A_{i,k_i} = B_{k_i,i} = 1$

A B = I_{n}

$AB = I_n$

i

$i$

k_{i}

$k_i$

(i, k_{i})

$(i,k_i)$

A_{i, k_{i}}

$A_{i,k_i}$

B_{k_{i}, i}

$B_{k_i,i}$ ।

— एंड्रयू मॉर्गन

@MB: इसके अलावा, ध्यान दें कि को इन्वर्टिबल बनाया जा सकता है या नहीं, यह चेक करते हुए कि और दोनों अलग-अलग हो सकते हैं या नहीं, यह चेक करते हुए कि को इन्वर्टिबल बनाया जा सकता है या नहीं, यह चेक करते हुए कि कर सकता है। पहचान बनाई जाए । यह जाँचने के लिए कि क्या (resp। ) को उलटा बनाया जा सकता है, आप कहते हैं कि "प्रभावी रूप से किया जा सकता है," लेकिन आपकी सेटिंग में यह ( समर्थन ) (एक ही समस्या) के समर्थन के बीच सही मिलान के लिए जाँच करने के बराबर है । , लेकिन एंड्रयू मॉर्गन की दूसरी टिप्पणी से थोड़ी अलग सेटिंग)।

A B

$AB$

A

$A$

B

$B$

A B

$AB$

A B

$AB$

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

— जोशुआ ग्रोको

इस समस्या के कुछ विशेष मामले पीपीएडी में होने की संभावना प्रतीत होती है, जैसे कि रैखिक पूरक समस्या: kintali.wordpress.com/2009/08/04/linear-complementarity-probh lem यह दर्शाता है कि समाधान खोजना कठिन है।

— डोमटॉर्प

यदि अन्य लोगों ने पहले ही इसका पता नहीं लगा लिया है, तो (किसी भी क्षेत्र में) के लिए एक विकल्प है जिसके लिए , लेकिन जिसके लिए एकदम सही मिलान परीक्षण विफल रहता है। अर्थात कोई भी परमानेंट मैट्रिक्स ताकि के समर्थन पर समर्थित है , और के समर्थन पर समर्थित है । चुनाव और ।

A, B

$A,B$

A B = I

$AB = I$

P

$P$

P

$P$

A

$A$

P^{- 1} = P^{⊺}

$P^{-1}=P^{\intercal}$

B

$B$

A = [\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{matrix}]

$A=\begin{bmatrix}1&-1&0\\1&0&1\\1&-1&1\end{bmatrix}$

B = [\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & 1 \end{matrix}]

$B=\begin{bmatrix}1&1&-1\\0&1&-1\\-1&0&1\end{bmatrix}$

— एंड्रयू मॉर्गन

खैर, यहाँ एक भयानक ऊपरी सीमा नहीं है, जो : , या Riemann परिकल्पना, मान रहा है । ऐसा इसलिए है क्योंकि लिए शून्य के किसी भी पैटर्न के लिए , यह जाँच कर सकता है कि क्या कोई यह जाँच रहा है कि क्या पूर्णांक बहुपद समीकरणों की एक निश्चित प्रणाली में एक समाधान , और यह किया जा सकता है कोइरन द्वारा इन ऊपरी सीमा में। $\mathbb{C}$ $\mathsf{PSPACE}$ $\mathsf{AM}$ $A,B$ $AB=I_n$ $n^2$ $\mathbb{C}$

एक और दृष्टिकोण इस तथ्य का लाभ उठाने की कोशिश करना है कि यह वास्तव में बिलिनियर समीकरणों की एक प्रणाली है। बिलिनियर समीकरणों को हल करना रेखीय समीकरणों के लिए "रैंक 1" समाधान खोजने के बराबर है। मैं यह निर्धारित करने की कोशिश कर रहा हूं कि सामान्य रूप से बिलिनियर सिस्टम को हल करने के लिए बेहतर ऊपरी सीमाएं हैं, लेकिन अभी तक कोई भाग्य नहीं है। यह भी संभव है कि कोई इन बिलिनियर समीकरणों की विशेष संरचना का लाभ उठा सके जो सामान्य रूप से ज्ञात से कुछ बेहतर हो ...

— जोशुआ ग्रोचो
स्रोत

क्या PSP की समस्या NP में नहीं है?

— एमबी

@ एमबी: परिमित क्षेत्रों में समस्या स्पष्ट रूप से एनपी में है (बस चर की सेटिंग दिखाएं), जो एएम की तुलना में बेहतर ऊपरी सीमा है, यहां तक कि। जब इनपुट पूर्णांक बहुपद होता है, लेकिन आप जटिल संख्या में एक समाधान के लिए पूछते हैं, जब कोई समाधान होता है तो यह भी स्पष्ट नहीं होता है कि आप इसे किसी भी परिमित मात्रा में लिख सकते हैं, अकेले बहुपद को सीमित कर दें।

— जोशुआ ग्रोको