नियमित भाषाओं में पदानुक्रम

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वहाँ किसी भी ज्ञात "अच्छा" पदानुक्रम है $L_0 \subseteq L_1 \subseteq L_2 \subseteq \dots$ (परिमित हो सकता है) की नियमित भाषाओं वर्ग के अंदर $L$ ? यहाँ अच्छा करके, प्रत्येक पदानुक्रम में कक्षाएं अलग-अलग अभिव्यक्ति / शक्ति / जटिलता पर कब्जा करती हैं। इसके अलावा, प्रत्येक वर्ग की सदस्यता कुछ तत्वों (स्टार ऊंचाई की समस्या के विपरीत है जो समस्याग्रस्त हो सकती है) "अच्छी तरह से" है।

धन्यवाद!

automata-theory regular-language regular-expressions

— raja.damanik
स्रोत

3

एक प्राकृतिक पदानुक्रम राज्यों की संख्या से प्रेरित है।

— मार्जियो डी बायसी

9

विहित एक डॉट गहराई पदानुक्रम है, जो एफओ (<) में मात्रात्मक प्रत्यावर्तन द्वारा विशेषता है। मूल रूप से, (बूलियन क्लोजर ऑफ) क्वांटिफायर अल्टरनेशन आपको मजबूत कक्षाएं और पदानुक्रम देता है।

— माइकल कैडिलैक

वे दोनों मुझे पूरी तरह से अच्छे उत्तर की तरह लगते हैं ...

— जोशुआ ग्रूचो

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स्टार की ऊंचाई भी है ।

— रीइन्टीरियरपोस्ट

एक "अच्छी" पदानुक्रम बनाम "प्रत्येक वर्ग की सदस्यता का क्या मतलब है" कुछ "द्वारा प्रदर्शित" "?" नियमित भाषाओं के बाहर, बहुपद पदानुक्रम इस तथ्य के बावजूद एक अच्छा पदानुक्रम माना जाता है कि सदस्यता और? यहां तक कि एक वास्तविक पदानुक्रम के अस्तित्व को साबित करना बाकी है।

— जे.ई. पिन

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यहां ब्याज की कई पदानुक्रमों की सूची दी गई है, जिनमें से कुछ पहले से ही अन्य उत्तरों में उल्लिखित थीं।

संघटन पदानुक्रम

एक भाषा एक है चिह्नित उत्पाद की अगर कुछ अक्षरों के लिए । संबंधित पदानुक्रमों को वैकल्पिक बूलियन संचालन और बहुपद संचालन (= संघ और चिह्नित उत्पाद) द्वारा परिभाषित किया गया है। Straubing-Therien पदानुक्रम (प्रारंभिक बिंदु $L$ $L_0, L_1, \ldots, L_n$ $L = L_0a_1L_1 \cdots a_nL_n$ $a_1, \ldots, a_n$ $\{\emptyset, A^*\})\$ और डॉट गहराई पदानुक्रम (प्रारंभिक बिंदु इस प्रकार के हैं, लेकिन आप अन्य प्रारंभिक बिंदु, विशेष रूप से समूह भाषाओं (एक क्रमचय automaton द्वारा स्वीकार किए जाते हैं भाषाओं में) ले सकते हैं। $\{\emptyset, \{1\}, A^+, A^*\})\$

स्टार-ऊंचाई पदानुक्रम

सामान्य पैटर्न अक्षरों से शुरू होने वाली भाषा को व्यक्त करने के लिए आवश्यक नेस्टेड सितारों की न्यूनतम संख्या की गणना करना है, लेकिन आपके द्वारा अनुमति दिए जाने वाले मूल ऑपरेटरों के आधार पर कई वेरिएंट संभव हैं। यदि आप केवल संघ और उत्पाद की अनुमति देते हैं, तो आप प्रतिबंधित स्टार-ऊंचाई को परिभाषित करते हैं, यदि आप संघ, पूरक और उत्पाद की अनुमति देते हैं, तो आप (सामान्यीकृत) स्टार-ऊँचाई को परिभाषित करते हैं और यदि आप संघ, चौराहे और उत्पाद को अनुमति देते हैं, तो आप मध्यवर्ती स्टार-ऊँचाई को परिभाषित करते हैं । वहाँ प्रतिबंधित स्टार की भाषाएं हैं हर के लिए और प्रभावी ढंग से एक दिया नियमित रूप से भाषा के स्टार-ऊंचाई की गणना कर सकते हैं। तारा-ऊँचाई के लिए, तारा-ऊँचाई पर्णनीय ( तारा-मुक्त भाषाएँ ) है, वहाँ तारे-ऊँचाई की भाषाएँ मौजूद हैं $n$ $n$ $0$ $1$ , लेकिन स्टार-ऊंचाई की कोई भाषा ज्ञात नहीं है! मध्यवर्ती तारा-ऊँचाई पर कोई परिणाम ज्ञात नहीं है। इस पेपर को अवलोकन के लिए देखें । $2$

तार्किक पदानुक्रम

उनमें से कई हैं, लेकिन सबसे महत्वपूर्ण में से एक तथाकथित पदानुक्रम है। एक सूत्र एक होना कहा जाता है -formula अगर यह फार्म के एक सूत्र के बराबर है जहां परिमाणक स्वतंत्र और है का एक क्रम है $\Sigma_n$ $\Sigma_n$ $Q(x_1,...,x_k)\varphi$ $\varphi$ $Q(x_1,...,x_k)$ $n$ परिमाणक के ब्लॉक ऐसी है कि पहले खंड केवल अस्तित्व परिमाणकों (ध्यान दें यह पहली ब्लॉक खाली हो सकता है कि), दूसरे खंड सार्वभौमिक परिमाणकों, आदि शामिल हैं इसी तरह, अगर का गठन किया गया है सार्वभौमिक परिमाणकों (जो फिर से खाली हो सकता है) के एक ब्लॉक के साथ शुरुआत परिमाणक के ब्लॉक बारी, हम कहते हैं कि एक है -formula। द्वारा निरूपित (resp। ) भाषाओं जो एक से परिभाषित किया जा सकता है की कक्षा -formula (resp। एक $Q(x_1,...,x_k)$ $n$ $\varphi$ $\Pi_n$ $\Sigma_n$ $\Pi_n$ $\Sigma_n$ -formula) और द्वारा की बूलियन बंद -languages। अंत में, चलो । सामान्य चित्र इस तरह दिखता है कि हस्ताक्षर को निर्दिष्ट करने के लिए निश्चित रूप से एक की आवश्यकता है। आम तौर पर एक विधेय है प्रत्येक अक्षर के लिए (और का अर्थ है कि एक पत्र है स्थिति में शब्द में)। फिर एक बाइनरी प्रतीक जोड़ सकता है $\Pi_n$ $\mathcal{B}\Sigma_n$ $\Sigma_n$ $\Delta_n = \Sigma_n \cap \Pi_n$ $\mathbf{a}$ $\mathbf{a}x$ $a$ $x$ $<$ (संगत पदानुक्रम स्ट्रैबिंग-थियरी पदानुक्रम है) और एक उत्तराधिकारी प्रतीक (संबंधित पदानुक्रम डॉट-डेप पदानुक्रम है)। अन्य संभावनाओं में मोडुलो गिनती करने के लिए एक विधेय शामिल है , आदि अवलोकन के लिए इस पेपर को फिर से देखें । $Mod$ $n$

बूलियन पदानुक्रम

सामान्य पैटर्न (जो नियमित भाषाओं के लिए विशिष्ट नहीं है) हॉसडॉर्फ के कारण है। बता दें कि , खाली सेट और पूर्ण सेट वाली भाषाओं का एक वर्ग है, और परिमित चौराहे और परिमित संघ के तहत बंद है। चलो प्रपत्र के सभी भाषाओं के वर्ग जहां और । जबसे $\mathcal{L}$ $\mathcal{D}_n(\mathcal{L})$

X = X_{1} - X_{2} + \dots \pm X_{n}

$\begin{equation} X = X_1 - X_2 + \cdots \pm X_n \end{equation}$

X_{i} \in L

$X_i\in \mathcal{L}$

X_{1} \supseteq X_{2} \supseteq X_{3} \supseteq \dots \supseteq X_{n}

$X_1 \supseteq X_2\supseteq X_3 \supseteq \cdots \supseteq X_n$

, कक्षाओं

एक पदानुक्रम परिभाषित करने और उनकी यूनियन की बूलियन बंद है

। फिर से, विभिन्न शुरुआती बिंदु संभव हैं।

D_{n} (L) \subseteq D_{n + 1} (L)

$\mathcal{D}_n(\mathcal{L}) \subseteq \mathcal{D}_{n+1}(\mathcal{L})$

D_{n} (L)

$\mathcal{D}_n(\mathcal{L})$

L

$\mathcal{L}$

समूह की जटिलता

क्रोहन-रोड्स (1966) के एक परिणाम में कहा गया है कि हर डीएफए को रीसेट के कैस्केड (जिसे फ्लिप-फ्लॉप भी कहा जाता है) ऑटोमेटा और ऑटोमेटा द्वारा सिम्युलेटेड किया जा सकता है, जिनके संक्रमण सेमीग्राफ परिमित समूह हैं। किसी भाषा की समूह जटिलता भाषा के न्यूनतम डीएफए के ऐसे अपघटन में शामिल समूहों की सबसे कम संख्या है। जटिलता की भाषाएँ वास्तव में स्टार-मुक्त भाषाएँ हैं और किसी भी जटिलता की भाषाएँ मौजूद हैं। हालांकि, जटिलता की भाषाओं का कोई प्रभावी लक्षण वर्णन ज्ञात नहीं है। $0$ $1$

पदानुक्रम सर्किट जटिलता से विरासत में मिला

$[1]$ $AC^0 \cap Reg$ $ACC(q) = \{ L \subseteq \{0,1\}^* \mid L \leqslant_{AC^0} MOD_q\}$ $MOD_q = \{u \in \{0,1\}^* \mid |u|_1 \equiv 0 \bmod q\}$ $q$ $q'$ $ACC(q) \subseteq ACC(q')$ $ACC(q) \cap Reg$ $q$

$[1]$ बैरिंगटन, डेविड ए। मिक्स; कॉम्पटन, केविन; स्ट्राबिंग, हॉवर्ड; थेरेन, डेनिस। में नियमित भाषाएं । जे। कम्प्यूट। प्रणाली विज्ञान। 44 (1992) $NC^1$

— J.-E. पिन
स्रोत

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टिप्पणी का विस्तार: एक प्राकृतिक पदानुक्रम डीएफए के राज्यों की संख्या से प्रेरित है।

हम को परिभाषित कर सकते हैं $\mathcal{L}_n = \{ L \mid \text{ exists an n-states DFA D s.t. } L(D) = L \}$

( ; ) $D = \{Q, \Sigma, \delta, q_0, F \}$ $|Q| = n$

स्पष्ट रूप से (बस मृत अवस्थाओं का उपयोग करें) $\mathcal{L}_n \subseteq \mathcal{L}_{n+1}$

उचित समावेश दिखाने के लिए हम बस भाषा चुन सकते हैं: $\mathcal{L}_n \subsetneq \mathcal{L}_{n+1}$ $L_{n+1} = \{ a^{i} \mid i \geq n \} \in \mathcal{L}_{n+1}$

बहुत अनौपचारिक रूप से: (न्यूनतम) DFA जो , लंबाई : "राज्य श्रृंखला" होनी चाहिए , और ( का एक आत्म-पाश है)। इसलिए राज्य को स्वीकार करने के लिए पर्याप्त हैं । लेकिन से अंतिम राज्य तक हर स्वीकार करने वाला मार्ग, जो कड़ाई से से छोटा है, को कुछ साथ स्वीकार करना चाहिए, जो कि से संबंधित नहीं है , इसलिए साथ एक DFA या कम राज्य स्वीकार नहीं कर सकते $\{ a^{i} \mid i \geq n \}$ $n+1$ $q_0 \to^a q_1 \to^a ... \to^a q_n$ $F = \{q_n\}$ $q_n \to^a q_n$ $q_n$ $n+1$ $L_{n+1}$ $q_0$ $q_f$ $n+1$ $a^{i}$ $i < n$ $L_{n+1}$ $n$ $L_{n+1}$ ।

— मारजियो दे बियासी
स्रोत

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मैं हाल ही में इस पेपर में आया था जो एक और प्रासंगिक उदाहरण दे सकता है (cf. सार का अंतिम वाक्य):

गुइल्यूम बोन्फेंटे, फ्लोरियन डेलूप: नियमित भाषाओं के जीनस।

अमूर्त से: लेख परिमित राज्य निर्धारक ऑटोमेटा (एफएसए) और नियमित भाषाओं के जीन को परिभाषित और अध्ययन करता है। दरअसल, एफएसए को एक ग्राफ के रूप में देखा जा सकता है जिसके लिए जीनस की धारणा पैदा होती है। उसी समय, एफएसए में अपनी अंतर्निहित भाषा के माध्यम से शब्दार्थ होता है। फिर भाषाओं और जीनस की धारणा के बीच संबंध बनाना स्वाभाविक है। हम नियमित भाषाओं के लिए जीनस की धारणा का परिचय और औचित्य साबित करने के बाद, [...] हम नियमित रूप से बड़े जीनस की भाषाओं का निर्माण करते हैं: जीनस की धारणा नियमित भाषाओं के उचित पदानुक्रम को परिभाषित करती है।

— डैमियानो मजाज़
स्रोत

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अनंत शब्दों की नियमित भाषाओं के लिए कई प्राकृतिक पदानुक्रम हैं, जो "भाषा की जटिलता" की धारणा को व्यक्त करते हैं, उदाहरण के लिए:

एक निर्धारक समता आटोमेटन में आवश्यक रैंक की संख्या
वाडगे (या वैगनर) पदानुक्रम: सामयिक जटिलता, स्तर। $\omega^\omega$

इन पदानुक्रमों को अनंत पेड़ों की नियमित भाषाओं के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसके लिए नई पदानुक्रम दिखाई देती हैं, उदाहरण के लिए इस उत्तर को देखें ।

— डेनिस
स्रोत