MAJ3SAT की पीपी-पूर्णता की स्थिति

Question

SHORT QUESTION: क्या MAJ-3CNF कई-एक कटौती के तहत एक पीपी-पूर्ण समस्या है?

लंबा संस्करण: यह सर्वविदित है कि MAJSAT (यह निर्णय लेना कि प्रपोजल वाक्य के अधिकांश कार्य वाक्य को पूरा करते हैं) PP- कई-एक कटौती के तहत पीपी-पूर्ण है और #SAT # P- पूर्ण कटौती के तहत पूर्ण है। यह भी स्पष्ट है कि # 3CNF (यानी, #SAT को 3-CNF फ़ार्मुलों तक सीमित रखा गया है) # P- पूर्ण है, क्योंकि कुक-लेविन कमी पार्सिमेनस है और 3-CNF का उत्पादन करती है (यह कमी वास्तव में पापादिमित्रियो की पुस्तक में उपयोग की जाती है शो # पी # की # पूर्णता)।

ऐसा लगता है कि इसी तरह के एक तर्क से यह साबित होना चाहिए कि MAJ-3CNF कई-एक कटौती के तहत PP-पूरा है (MAJ-kCNF MAJSAT है जो kCNF फ़ार्मुलों तक सीमित है; प्रत्येक खंड में k शाब्दिक है)।

हालाँकि, बेली, डलमऊ और कोलाइटिस की एक प्रस्तुति में, "पीपी-कम्पलीट सैटिस्फैक्शनिबिलिटी प्रॉब्लम के फेज़ ट्रांज़िशन", लेखकों का उल्लेख है कि "MAJ3SAT को पीपी-कम्प्लीट नहीं जाना जाता है" ( https: .users.soe.ucsc पर प्रस्तुति) .edu / ~ कोलाइटिस / वार्ता / ppphase4.ppt )। यह वाक्य उनके संबंधित कागजों में नहीं दिखता है, केवल उनकी प्रस्तुतियों में।

प्रश्न: क्या यह प्रमाण कि # 3CNF # P- पूर्ण है वास्तव में यह साबित करने के लिए अनुकूलित किया जा सकता है कि MAJ3CNF पीपी-पूर्ण है? बेली एट अल द्वारा बयान को देखते हुए, ऐसा नहीं लगता है; यदि सबूत नहीं होता है, तो: क्या कोई प्रमाण है कि MAJ-3CNF पीपी-पूर्ण है? यदि नहीं, तो क्या इस परिणाम के संबंध में पीपी और # पी के बीच अंतर के रूप में कुछ अंतर्ज्ञान है?

Comments

सर्किटसैट से 3 एसएटी तक की विशिष्ट कमी काम नहीं करती है क्योंकि यह कई नए चर पेश करती है। इसलिए जब आपके पास n ^ इनपुट के साथ दिए गए सर्किट में 2 ^ (n-1) +1 संतोषजनक कार्य हो सकते हैं, और आपके पास 3sat उदाहरण के लिए कई, 3cnf उदाहरण में var की संख्या n की तुलना में बहुत बड़ी होगी, तो यह संख्या अब "संतोषजनक कार्यों का बहुमत" नहीं है। ध्यान दें कि मेजर -3 एसटी अभी भी कम से कम एनपी कठिन है, क्योंकि आप कई डमी संतोषजनक असाइनमेंट जोड़ सकते हैं।

— रयान विलियम्स

@RyanWilliams कैसे हम उस 3CNF उदाहरण को लेते हैं, इसे नकारते हैं और 3DNF का उदाहरण प्राप्त करते हैं (नकारने में पाली-समय लगता है और जब आप CNF अभिव्यक्ति को नकारते हैं तो आपको DNF अभिव्यक्ति मिलती है)। तब मूल CNF उदाहरण में (2 ^ (n-1)) से अधिक सत्य असाइनमेंट संतोषजनक था यदि और केवल अगर 3DNF इंस्टेंस में 2 से अधिक (2 ^ (n + K) -1) संतोषजनक सत्य असाइनमेंट हैं, जहां K है अतिरिक्त चर की संख्या ...

— तय्युन पे

Cnf को dnf में बदलना सामान्य रूप से बहुपत्नीत्व नहीं लेता है। त्वरित पवित्रता की जाँच: यदि यह तब पी = एनपी किया ... अधिक जटिल जाँच: पाली (एन) क्लॉज़ के cnfs हैं जिनके न्यूनतम समकक्ष dnfs में कई क्लॉज़ हैं। उदाहरण के लिए देखें scholar.google.com/…

— रयान विलियम्स

@ रियानविलियम्स 1) बूलियन एक्सप्रेशन को नकारने में पॉली टाइम लगता है 2) जब आप सीएनएफ को नकारते हैं तो आपको डीएनएफ मिलता है, और इसके विपरीत। सबसे महत्वपूर्ण बात, बहुपद समय में एक CNF की उपेक्षा करना और बदले में DNF प्राप्त करना उस समस्या की जटिलता को नहीं बदलता है। आपको नकारात्मक CNF फॉर्मूला, जो अब DNF फॉर्मूला है, के लिए एक गलत सत्य असाइनमेंट खोजने की आवश्यकता होगी। डीपीएफ फॉर्मूले के लिए एक झूठे सच काम को खोजने के लिए यह एनपी-कम्प्लीट है ...

— तैफून पे

@RyanWilliams मुझे पता है कि आपने जो काम उद्धृत किया है .. हालाँकि, आपको CNF अभिव्यक्ति की उपेक्षा करने पर DNF अभिव्यक्ति मिलती है। और इनपुट की लंबाई के संबंध में बहुपद समय लगता है।

— तैफुन पे

Answer 1

SHORT ANSWER:
यह अज्ञात है कि क्या एक - कई-एक कटौती के तहत- समस्या।P $\mathsf{MAJ3CNF}$$\mathsf{PP}$

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लंबा जवाब:
सबसे पहले, आप बेली, डलमऊ और कोलाइटिस का उल्लेख करते हैं, और अपने प्रश्न में "गणित के चरण के बदलाव" -अपूर्ण संतुष्टि समस्याएँ ”$\mathsf{PP}$ पर काम करते हैं। मुझे उन्हें उद्धृत करें:

'यह भी है कि ध्यान देने योग्य है, हालांकि है -Complete, यह ज्ञात नहीं है एक पूर्णांक है कि क्या वहाँ , ऐसा है कि is । 'पी पी कश्मीर ≥ 3 एम ए जे ओ आर मैं टी वाई कश्मीर एस ए टी पी $\mathsf{MAJORITY \ SAT}$$\mathsf{PP}$$k \geq 3$$\mathsf{MAJORITY}$ $\mathsf{kSAT}$$\mathsf{PP}$

[ http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166218X06004665 ]

यह, वास्तव में, सही है कि कुक-लेविन की कमी पारिश्रमिक है और किसी दिए गए CNF से 3CNF का उत्पादन करता है। जैसा कि है, -complete, यह तुरंत उस का अनुसरण करता है, यह भी । हालांकि, जैसा कि पहले ही एक टिप्पणी में कहा गया है, पार्सिमोनियस कटौती बहुमत को संरक्षित नहीं करती है। ये कटौती खंडों के आकार को कम करने के लिए सहायक चर पेश करती हैं, लेकिन बदले में, ये सहायक चर कुल असाइनमेंट की संख्या में वृद्धि करते हैं। उदाहरण के लिए, 4CNF पर विचार करें जिसमें एकल खंड शामिल है:# पी # 3 सी एन एफ # $\mathsf{\#CNF}$$\mathsf{\#P}$$\mathsf{\#3CNF}$$\mathsf{\#P}$

$\phi = (x_1 \vee x_2 \vee x_3 \vee x_4)$

जो रूपांतरित हो जाता है

$\phi'=(x_1 \vee x_2 \vee y) \wedge (y \leftrightarrow (x_3 \vee x_4))$

सहायक चर और अंत में 3CNF का उपयोग करना$y$

$\psi= (x_1 \vee x_2 \vee y) \wedge (\neg y \vee x_3 \vee x_4) \wedge (y \vee \neg x_3 ) \wedge (y \vee \neg x_4).$

यह परिवर्तन स्पष्ट रूप से मॉडल गणना को संरक्षित करता है, लेकिन यह देखना आसान है कि बहुमत संरक्षित नहीं है। में 16 असाइनमेंट में से 15 संतोषजनक असाइनमेंट हैं, जबकि में 32 असाइनमेंट में से 15 संतोषजनक असाइनमेंट हैं। पूर्व में, बहुसंख्यक संतुष्टिपत्र धारण करता है जबकि उत्तरार्द्ध बहुमत में सन्तोषजनकता नहीं होती है।$\phi$$\psi$

इसलिए, नहीं, सबूत है कि # 3CNF है -Complete साबित होता है कि अनुकूलित नहीं किया जा सकता है -Complete? यह खुला रहता है कि क्या एक - कई-एक कटौती के तहत- समस्या।$\mathsf{\#P}$$\mathsf{MAJ3CNF}$$\mathsf{PP}$$\mathsf{MAJ3CNF}$$\mathsf{PP}$

$\mathsf{MAJ3CNF}$ और के अंतर के बीच अधिक जानकारी नहीं देता है । वास्तव में का निर्णय निर्णय प्रकार , , को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: CNF और एक नंबर , यह तय करें कि में कम से कम संतोषजनक है कार्य। ध्यान दें कि , हम बहुमत की परवाह नहीं करते हैं। इस प्रकार, हम किसी भी CNF को पार्सिमोनस रिडक्शन का उपयोग करके 3CNF में बदल सकते हैं, जो यह साबित करता है कि is कई कटौती के तहत-योग्य।$\mathsf{\#P}$$\mathsf{PP}$$\mathsf{\#3CNF}$$\mathsf{D\#3CNF}$$\phi$$m \geq 0$$\phi$$m$$\mathsf{D\#3CNF}$$\mathsf{D\#3CNF}$$\mathsf{PP}$$\mathsf{MAJ3CNF}$ केवल तुलना में एक अलग समस्या है ।$\mathsf{D\#3CNF}$

Comments

@ गाम फॉर्मूला के समाधानों की संख्या की समानता के बारे में कैसे ? क्या यह और सूत्र के समाधानों की संख्या की समता के लिए मानक नाम है ? $3SAT$$\oplus\mathsf{P}$$3SAT$

— टी ....