बीपीपी एक पक्षपाती सिक्के के साथ मानक बीपीपी कब होता है?

Question

एक संभाव्य ट्यूरिंग मशीन को एक अनुचित सिक्के तक पहुंच दें जो प्रायिकता (फ्लिप स्वतंत्र हैं) के साथ सिर आता है । परिभाषित बी पी पी पी के रूप में भाषाओं के वर्ग बहुपद समय में ऐसी मशीन के कारण पहचानी। यह साबित करने के लिए एक मानक अभ्यास है:$p$$BPP_p$

ए) तो तर्कसंगत या यहाँ तक कि है बी पी पी -computable तो बी पी पी पी = बी पी पी । (तक बी पी पी -computable मैं मतलब: बहुपद एल्गोरिथ्म कि खिलाया जा रहा है बेतरतीब है n एकल रिटर्न विभाजक के साथ whp द्विआधारी तर्कसंगत में 2 n भीतर है कि झूठ 2 - n - 1 के पी ।)$p$$BPP$$BPP_p=BPP$$BPP$$n$$2^n$$2^{-n-1}$$p$

बी) कुछ uncomputable के लिए वर्ग बी पी पी पी एक अनिर्णनीय भाषा है और इसलिए तुलना में बड़ा है बी पी पी । पी के ऐसे मूल्य ( 0 , 1 ) में एक घना सेट बनाते हैं ।$p$$BPP_p$$BPP$$p$$(0,1)$

मेरा प्रश्न निम्नलिखित है: बीच में क्या होता है? क्या लिए एक मानदंड है ? विशेष रूप से:$BPP_p=BPP$

1) में uncomputable क्या संभावनाओं पी मौजूद ऐसी है कि बी पी पी पी = बी पी पी ? (वे कुछ उच्च कक्षाओं में कम्प्यूटेशनल हो सकते हैं)।$BPP$$p$$BPP_p=BPP$

2) है की तुलना में व्यापक बी पी पी सभी uncomputable के लिए पी ? (विचाराधीन पैरामीटर वे हैं जिनके द्विआधारी विस्तार में शून्य और / या वाले के बहुत लंबे अनुक्रम होते हैं। इस मामले में यादृच्छिक नमूने द्वारा कंप्यूटिंग बिट्स को बहुत लंबा, यहां तक ​​कि असुविधाजनक समय लग सकता है, और समस्या को बहुपत्नी समय तक नहीं बढ़ाया जा सकता है। कभी-कभी) कठिनाई विस्तार का एक और आधार के द्वारा दूर किया जा सकता है लेकिन कुछ पी सभी ठिकानों मूर्ख सकता है)।$BPP_p$$BPP$$p$$p$

Comments

आप वास्तव में p (संयुक्त राष्ट्र) कम्प्यूटेशनल होने का क्या मतलब है?

— डेनियलो

मैंने -computable की परिभाषा जोड़ी। सामान्य रूप से कम्प्यूटेशनल के लिए "बेतरतीब बहुपद" शब्दों को छोड़ सकते हैं या बस यह कह सकते हैं कि बाइनरी विस्तार कम्प्यूटेबल है। (बंधे संसाधनों के साथ यह समान नहीं है।)$BPP$

— डेनियल मुस्तोव

मुझे लगता है कि हर uncomputable के लिए पी क्योंकि किसी दिए गए पी -biased सिक्का एक गणना कर सकता है n 'की वें बिट पी नमूना द्वारा। मान लीजिए कि हमें गणना कर सकता है n के समय में वें सा च ( एन ) , तो भाषा है कि शामिल है 1 एक्स सभी के लिए एक्स ऐसी है कि च - 1 ( x ) 'का वीं बिट पी है 1 में है बी पी पी $BPP_p \neq BPP$$p$$p$$n$$p$$n$$f(n)$$1^x$$x$$f^{-1}(x)$$p$$1$$BPP_p$, लेकिन स्पष्ट रूप से यह असुविधाजनक है।

— daniello

यह निश्चित रूप से uncomputable के विशाल बहुमत के लिए सच है । लेकिन एक चेतावनी है: यदि पी में शून्य और लोगों के बहुत लंबे अनुक्रम हैं, तो इसे n 'वें बिट को निर्धारित करने के लिए बहुत लंबे नमूने की आवश्यकता हो सकती है । यह नमूना इतना लंबा हो सकता है कि f ( n ) असंगत (व्यस्त बीवर फ़ंक्शन की तरह) होगा। मुझे यह भी संदेह है कि यह नमूना से ही गणना की जा सकती है। और ऐसा लगता है कि कंप्यूटिंग f ( n ) के बिना कोई उल्लेखित भाषा को पहचान नहीं सकता है। $p$$p$$n$$f(n)$$f(n)$

— डेनियल मुसाटोव

Answer 1

1) हां, लेकिन केवल आपकी परिभाषा के कारण। एक एकल भाषा लो (हाँ, मैं इस खाली हो सकता है, उस मामले में अभी से भी बड़ा कुछ ले ई एक्स पी ), अर्थ में बहुत विरल है कि कि n ∉ एल यदि n के एक टावर नहीं है 2 ' एस , यानी, फार्म की 2 2 2 ... । परिभाषित पी = Σ n ∈ एल 1 / n । यह प B न है$L\in EXP\setminus BPP$$EXP$$n\notin L$$n$$2's$$2^{2^{2^\ldots}}$$p=\sum_{n\in L} 1/n$$p$ -computable, लेकिन पी में अनुमान लगाया जा सकता पी , इतने छोटे additive त्रुटि है कि एक के अनुकरण के लिए अनुमति देता है अप करने के लिए बी पी पी पी मशीन।$BPP$$p$$P$$BPP_p$

था आप परिभाषित अनुमानित को -computable ऐसी है कि आप चाहते हैं पी के एक additive त्रुटि अप करने के लिए 1 / n (के बजाय 1 / 2 n बहुपद समय में), चीजें अलग होगा।$BPP$$p$$1/n$$1/2^n$

अपडेट करें। नीचे दिए गए उत्तर उस मामले के लिए है जब हम जोड़ने योग्य त्रुटि बजाय 2 - n - 1 है ।$2^{-n}$$2^{-n-1}$

2) हाँ, यहाँ क्योंकि आप वर्गों पर बहुपद प्रतिबंध के बारे में और नमूने के द्वारा भूल सकता है बार आप प्राप्त कर सकते हैं n के मई के बिट पी में बी पी पी पी ।$2^n$$n$$p$$BPP_p$

Comments

2) मुझे लगता है कि केंद्रीय सीमा प्रमेय से पता चलता है कि किसी को नमूना लेना चाहिए , 2 एन का नहीं , 2 - एन परिशुद्धता प्राप्त करने का समय । लेकिन मुख्य समस्या यह है कि कभी-कभी हमें बहुत अधिक सटीकता की आवश्यकता होती है। कहो, अगर | पी - $2^{2n}$$2^n$$2^{-n}$तो एक की जरूरत है$|p-\frac12|<\epsilon$पहले अंक की गणना करने के लिए comp 2 नमूने। और आवश्यक नमूनों की संख्या मनमाने ढंग से हो सकती है, यहां तक ​​कि असुविधाजनक रूप से, बड़े भी। संपादन में बिंदु थोड़ा स्पष्ट है। $\frac1{\epsilon^2}$

— डेनियल मुस्तोव

@ डैनील: जैसा कि मैंने सवाल पर टिप्पणी की है, आपने -कंप्यूटेबल की अपनी परिभाषा में अंकों की गणना के लिए नहीं पूछा था । इसलिए, यदि p बराबर है, तो कहें, 0.01111111111 , तो किसी को आपके डिफ के अनुसार अल्पविराम के बाद पहले अंक के लिए 1 अनुमान लगाना चाहिए । $BPP$$p$$0.01111111111$$1$

— डोमटॉर्प

अब हम uncomputable बात कर रहे हैं , हम नहीं कर रहे हैं? अगर मैं तुम्हें सही समझते हैं, आप के अंकों नमूने के द्वारा गणना के लिए नहीं सुझाव है कि पी , लेकिन इसके बजाय गणना करने के लिए है कि क्या मैं 'की वें अंकों 2 - मैं - 1 की बाइनरी तर्कसंगत सन्निकटन पी 1. है लेकिन यहाँ हम एक ही समस्या का सामना: करने के लिए पहले अंक की गणना करें जिसे हमें 0.010000000001 और 0.001111111110 में अंतर करना होगा। $p$$p$$i$$2^{-i-1}$$p$

— डेनियल मुसाटोव

@ डैनील: ठीक है, मेरा बुरा, मुझे लगा कि आप एक द्विआधारी तर्कसंगत चाहते थे जिसकी दूरी पी से अधिकतम है । मैंने उसी हिसाब से अपना जवाब अपडेट किया है। क्या आप मेरे समाधान से खुश हैं 1)? $2^{-n}$$p$

— डोमटॉर्प