पी / पाली बनाम वर्दी जटिलता कक्षाएं

यह ज्ञात नहीं है कि NEXP पी / पाली में निहित है या नहीं। वास्तव में यह साबित करना कि एनईएक्सपी पी / पॉली में नहीं है, इसमें कुछ अनुप्रयोग व्युत्पन्नकरण में होंगे।

सबसे छोटी वर्दी वर्ग C क्या है जिसके लिए कोई यह साबित कर सकता है कि C P / Poly में सम्‍मिलित नहीं है?
दिखाएगा कि सह-एनईएक्सपी पी / पॉली में निहित नहीं है, एनईएक्सपी बनाम पी / पॉली के मामले में कुछ अन्य जटिलता सिद्धांत हैं?

नोट: मुझे पता है कि $SP_2$ में निहित नहीं जाना जाता है $Size[n^k]$ प्रत्येक स्थिर के लिए $k$ (यह 1 बिट सलाह के साथ एमए के लिए भी दिखाया गया था)। लेकिन इस प्रश्न में मुझे निश्चित परिणाम के लिए दिलचस्पी नहीं है $k$ । मुझे वास्तव में उन कक्षाओं में दिलचस्पी है जो पी / पॉली से भिन्न हैं, भले ही ये कक्षाएं बहुत बड़ी हों।

complexity

— Springberg
स्रोत

आप अनिवार्य रूप से सामान्य सर्किट के लिए सुपरपोलिनोमियल आकार के निचले सीमा के साथ एक समस्या पूछ रहे हैं।

— केव

{M A}_{e x p}

$\mathsf{MA}_\mathrm{exp}$ में नहीं होने के लिए जाना जाता है

P / p o l y

$\mathsf{P/poly}$ । लघु प्रमाण के लिए विकिपीडिया लेख देखें ।

— रॉबिन कोठारी

पी / पॉली पूरक के तहत बंद है, इसलिए इसमें एनईएक्सपी शामिल है अगर और केवल अगर इसमें कोएनएक्सपीपी शामिल है।

— एमिल जेकाबेक

एमिल, रॉबिन और एंड्रयू, आपके उत्तर के लिए धन्यवाद। मुझे लगता है कि मेरे प्रश्न का उत्तर अब माना जा सकता है। क्या कोई इसे उत्तर में लिखेगा ताकि मैं इसे स्वीकार कर सकूं?

— स्प्रिंगबर्ग

मेरा मानना है कि

M A_{e x p}

$MA_{exp}$ ज्ञात सुपरपोलिनोमियल लोअर बाउंड्स ( People.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/nonrel.pdf ) के साथ सबसे छोटी वर्दी वर्ग है , और वह

O_{2}^{P}

$O^P_2$ मनमाना बहुपद कम सीमा ( citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/… ) के साथ सबसे छोटा है ।

— एलेक्स गोलोवनेव

जवाबों:

$\let\mr\mathrm$ साहित्य में कई परिणाम हैं जो बताते हैं कि एक निश्चित वर्ग किसी भी लिए को संतुष्ट करता , और आमतौर पर उन्हें यह दिखाने के लिए पैड करने के लिए सीधा होता है कि कोई भी मुश्किल से का सुपरपोलिमोनियलली विस्तारित संस्करण । $C$ $C\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ $k$ $C$ $\mr{P/poly}$

बता दें कि एक सुपरपोलिनोमियल बाउंड है यदि यह समय-निर्माण योग्य है, और । उदाहरण के लिए, एक सुपरपोलीनोमियल बाउंड है। वास्तव में, एक शिक्षाप्रद अभ्यास से पता चलता है कि यदि कोई अनबाउंड मोनोटोन कम्प्यूटेशनल फ़ंक्शन है, तो एक सुपरपोलिनोमियल बाउंड जैसे कि । $f\colon\mathbb N\to\mathbb N$ $f(n)=n^{\omega(1)}$ $n^{\log\log\log\log n}$ $g(n)$ $f$ $f(n)\le n^{g(n)}$

सबसे पहले, प्रत्यक्ष विकर्ण किसी भी लिए दिखाता है । वही तर्क देता है: $\Sigma_4^P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ $k$

यदि कोई बाउंड है, तो । $f$ $\Sigma_4\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

सबूत स्केच: किसी भी के लिए , चलो आकार के कोषगत पहले सर्किट हो में एक बूलियन समारोह की गणना करता है कि चर गणनीय आकार का एक सर्किट से नहीं । उसके बाद, भाषा कार्यों द्वारा परिभाषित किया गया । $n$ $C_n$ $2f(n)$ $n$ $<f(n)$ $L$ $x\in L\iff C_{|x|}(x)=1$

एक प्रसिद्ध सुधार बताता है कि किसी भी लिए । इसी तरह, $S_2\mr P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ $k$

यदि कोई बाउंड है, तो । $f$ $S_2\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

सबूत स्केच: यदि नहीं, तो विशेष रूप से , इसलिए । एक गद्दी तर्क द्वारा, , quod non । $\mr{NP}\subseteq S_2\mr P\subseteq\mr{P/poly}$ $\mr{PH}=S_2\mr P$ $\Sigma_4\text-\mr{TIME}(f(n))\subseteq S_2\text-\mr{TIME}(f(n))\subseteq\mr{P/poly}$

आज्ञाकारी वर्ग और भी बेहतर करते हैं। अपूर्व भागवत द्वारा उठाए गए आपत्ति को ध्यान में रखते हुए, । तब किसी भी लिए , और एक ही तर्क देता है: $\mr{NLin=NTIME}(n)$ $\mr{NLin}\cup O_2\mr P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ $k$

यदि कोई सुपरपोलिनोमियल बाउंड है, तो । $f$ $\mr{NLin}\cup O_2\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

प्रूफ स्केच: अगर , तो गद्दी द्वारा, , जो तात्पर्य करता है । फिर हम पहले की तरह आगे बढ़ते हैं। $\mr{NLin\subseteq P/poly}$ $\mr{NP\subseteq P/poly}$ $\mr{PH}=O_2\mr P$

एमए से जुड़े परिणाम भी हैं। अक्सर उल्लेख किया गया है कि एक ओवरकिल है। संथानम ने किसी भी लिए , और एक समान तर्क देता है: $\mr{MA\text-EXP\nsubseteq P/poly}$

p r o m i s e - M A \cap p r o m i s e - c o M A ⊈ S I Z E (n^{k})

$\mr{promise\text-MA\cap promise\text-coMA\nsubseteq SIZE}(n^k)$

k

$k$

यदि कोई सुपरपोलीनोमियल बाउंड है, तो $f$
$p r o m i s e - M A - T I M E (f (n)) \cap p r o m i s e - c o M A - T I M E (f (n)) ⊈ P / p o l y .$ $\mr{promise\text-MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{promise\text-coMA\text-TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}.$
प्रूफ स्केच: संथानम के लेम्मा 11 (जो कि मानक तथ्य का एक तेज संस्करण है कि एक PSP प्रॉपर के साथ ), एक PSPACE- पूर्ण भाषा और एक यादृच्छिक पॉली-टाइम ऑरेकल TM जैसे कि इनपुट , केवल लंबाई के oracle प्रश्न पूछता है; यदि , तो प्रायिकता साथ स्वीकार करता है ; और अगर , तो किसी भी oracle , प्रायिकता साथ स्वीकार करता है । $\mr{PSPACE=IP}$ $L$ $M$ $x$ $M$ $|x|$ $x\in L$ $M^L(x)$ $1$ $x\notin L$ $A$ $M^A(x)$ $\le1/2$

एक उपयुक्त मोनोटोन बहुपद , वादा समस्या को a_ द्वारा परिभाषित Let का एक बहुपद कमी है जिसके पूरक हैं, और वादा समस्या है $p$ $A=(A_{\mr{YES}},A_{\mr{NO}})$
$\begin{aligned} (x, s) \in A_{Y E S} & ⟺ \exists circuit C (p (| C | + | x |) \leq f (| s |) \land Pr [M^{C} (x) accepts] = 1), \\ (x, s) \in A_{N O} & ⟺ \forall circuit C (p (| C | + | x |) \leq f (| s |) \to Pr [M^{C} (x) accepts] \leq 1 / 2) . \end{aligned}$ $\begin{align} (x,s)\in A_{\mr{YES}}&\iff\exists\text{circuit }C\,\bigl(p(|C|+|x|)\le f(|s|)\land\Pr[M^C(x)\text{ accepts}]=1\bigr),\\ (x,s)\in A_{\rlap{\mr{NO}}\phantom{YES}}&\iff\forall\text{circuit }C\,\bigl(p(|C|+|x|)\le f(|s|)\to\Pr[M^C(x)\text{ accepts}]\le1/2\bigr). \end{align}$ $h(x)$ $L$ $B=(B_{\mr{YES}},B_{\mr{NO}})$ $\begin{aligned} (x, s) \in B_{Y E S} & ⟺ (x, s) \in A_{Y E S} \land (h (x), s) \in A_{N O}, \\ (x, s) \in B_{N O} & ⟺ (x, s) \in A_{N O} \land (h (x), s) \in A_{Y E S} . \end{aligned}$ $\begin{align} (x,s)\in B_{\mr{YES}}&\iff(x,s)\in A_{\mr{YES}}\land(h(x),s)\in A_{\mr{NO}},\\ (x,s)\in B_{\rlap{\mr{NO}}\phantom{YES}}&\iff(x,s)\in A_{\mr{NO}}\land(h(x),s)\in A_{\mr{YES}}. \end{align}$ यदि को उपयुक्त रूप से बड़ा चुना गया है, तो तो, आइए हम विरोधाभास के लिए मान लें कि में बहुपद-आकार के सर्किट हैं, कहते हैं, । चलो लंबाई इनपुट पर सबसे छोटे सर्किट कंप्यूटिंग के आकार को निरूपित करते हैं , और डालते हैं ; अधिक सटीक, फिर $p(n)$ $B \in p r o m i s e - M A - T I M E (f (n)) \cap p r o m i s e - c o M A - T I M E (f (n)) .$ $B\in\mr{promise\text-MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{promise\text-coMA\text-TIME}(f(n)).$ $B$ $B\in\mr{SIZE}(n^k)$ $s(n)$ $L$ $n$ $t(n)=f^{-1}(p(s(n)))$ $t (n) = min {m : p (s (n)) \leq f (m)} .$ $t(n)=\min\{m:p(s(n))\le f(m)\}.$ $x\mapsto(x,1^{t(n)})$ से तक की कमी है , इस प्रकार , जिसका अर्थ है लेकिन चूंकि सुपरपोलीनोमियल है, इसलिए हमारे पास । यह पर्याप्त रूप से बड़े के लिए एक विरोधाभास देता है । $L$ $B$ $L\in\mr{SIZE}(t(n)^k)$ $s (n) \leq t (n)^{k} .$ $s(n)\le t(n)^k.$ $f$ $t(n)=s(n)^{o(1)}$ $n$

हम एमए, के एक गैर वादा संस्करण के साथ एक परिणाम के पसंद करते हैं Miltersen, Vinodchandran, और वातानाबे साबित कर दिया एक अर्ध-घातीय फ़ंक्शन । हम इसे दो तरीकों से सुधार सकते हैं: पहला, यह किसी भी स्थिर लिए -exponential सीमा के लिए है , और दूसरा, यह विस्मृत वर्गों के लिए है। यहाँ, एक -exponential समारोह, है मोटे तौर पर कहा जाए तो एक समारोह ऐसी है कि

M A - T I M E (f (n)) \cap c o M A - T I M E (f (n)) ⊈ P / p o l y

$\mr{MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{coMA\text-TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

f

$f$

\frac{1}{k}

$\tfrac1k$

k

$k$

\frac{1}{k}

$\tfrac1k$

f

$f$

\underset{k}{\underset{⏟}{f \circ \dots \circ f}} = \exp

$\underbrace{f\circ\dots\circ f}_k=\exp$ । मिल्टरसेन-विनोदचंद्रन-वतनबे पेपर और उसमें सटीक परिभाषा के लिए संदर्भ देखें; इसमें अच्छी तरह से व्यवहार किए गए कार्यों का एक अच्छा व्यवहार वाला परिवार शामिल है , , जैसे कि , , और । इसके अलावा, अगर और , तो । तो हमारे पास हैं:

e_{α} (x)

$e_\alpha(x)$

α \in R_{+}

$\alpha\in\mathbb R_+$

e_{0} (x) = x

$e_0(x)=x$

e_{1} (x) = e^{x} - 1

$e_1(x)=e^x-1$

e_{α + β} = e_{α} \circ e_{β}

$e_{\alpha+\beta}=e_\alpha\circ e_\beta$

f (n) \leq e_{α} (p o l y (n))

$f(n)\le e_\alpha(\mr{poly}(n))$

g (n) \leq e_{β} (p o l y (n))

$g(n)\le e_\beta(\mr{poly}(n))$

f (g (n)) \leq e_{α + β} (p o l y (n))

$f(g(n))\le e_{\alpha+\beta}(\mr{poly}(n))$

$\mr{OMA\text-TIME}(e_\alpha)\cap\mr{coOMA\text-TIME}(e_\alpha)\nsubseteq\mr{P/poly}$ किसी भी । $\alpha>0$

प्रमाण स्केच: अन्यथा मान लें। पूर्णांक ठीक करें जैसे कि । मुझे संक्षिप्त करें पैडिंग द्वारा, हमारे पास लिए किसी भी । इसके अलावा, संथानम के Lemma 11 से ऊपर का उपयोग करते हुए, हमारा निहितार्थ है चूंकि trivially , एक दोहराया हुआ अनुप्रयोग। (1) और (2) शो , $k$ $1/k<\alpha$
$O c O M T (f) = O M A - T I M E (p o l y (f (p o l y (n))) \cap c o O M A - T I M E (p o l y (f (p o l y (n))) .$ $\mr{OcOMT}(f)=\mr{OMA\text-TIME}(\mr{poly}(f(\mr{poly}(n)))\cap\mr{coOMA\text-TIME}(\mr{poly}(f(\mr{poly}(n))).$ $\begin{matrix} (1) & O c O M T (e_{β + 1 / k}) \subseteq S I Z E (e_{β} (p o l y (n))) \end{matrix}$ $\tag{1}\mr{OcOMT}(e_{\beta+1/k})\subseteq\mr{SIZE}(e_\beta(\mr{poly}(n)))$ $\beta\ge0$ $\begin{matrix} (2) & P S P A C E \subseteq S I Z E (e_{β} (p o l y (n))) ⟹ P S P A C E \subseteq O c O M T (e_{β}) . \end{matrix}$ $\tag{2}\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_\beta(\mr{poly}(n)))\implies\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_\beta).$ $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_1)$ $\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_{(k-1)/k}(\mr{poly}(n)))$ $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_{(k-1)/k})$ , , , और इसी तरह। चरणों के बाद , हम एक बार और पैडिंग का उपयोग करने पर, हमें जो ऊपर दिए गए परिणामों का खंडन करता है , जैसे कि एक सुपरपोलिनोमियल बाउंड है। $\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_{(k-2)/k}(\mr{poly}(n)))$ $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_{(k-2)/k})$ $k$ $P S P A C E \subseteq P / p o l y and P S P A C E = O M A \cap c o O M A .$ $\mr{PSPACE\subseteq P/poly}\qquad\text{and}\qquad\mr{PSPACE=OMA\cap coOMA}.$ $D S P A C E (e_{1 / k}) \subseteq O c O M T (e_{1 / k}) \subseteq P / p o l y,$ $\mr{DSPACE}(e_{1/k})\subseteq\mr{OcOMT}(e_{1/k})\subseteq\mr{P/poly},$ $e_{1/k}$

— एमिल जेकाब
स्रोत

चूँकि किसी ने भी उत्तर पोस्ट नहीं किया है, इसलिए मैं मूल प्रश्न में पोस्ट की गई टिप्पणियों के साथ स्वयं प्रश्न का उत्तर दूंगा। रॉबिन कोठारी, एमिल जेरेबेक, एंड्रयू मॉर्गन और एलेक्स गोलोवनेव को धन्यवाद।

$MA_{exp}$ साथ सबसे छोटा समान वर्ग है।

$O_2^P$ छोटी से छोटी ज्ञात होने आकार के सर्किट नहीं वर्ग हो रहा है प्रत्येक तय करने के लिए । $n^k$ $k$

विकर्णन से, यह इस प्रकार है कि किसी भी सुपर बहुपद (और अंतरिक्ष constructible) समारोह के लिए , बहुपद आकार सर्किट नहीं है। बनाम अभी भी खुला है। $s$ $DSPACE[s(n)]$ $PSPACE$ $P/poly$

$P/poly$ पूरक के तहत बंद है, इसलिए इसमें शामिल है अगर और केवल अगर इसमें शामिल है । $NEXP$ $coNEXP$

— Springberg
स्रोत

कृपया मुझे सही करें अगर मैं गलत हूं, लेकिन जहां तक मैं बता सकता हूं, हम वास्तव में लिए एक निश्चित-बहुपद आकार कम नहीं जानते हैं । इसका कारण यह है कि सामान्य Karp-Lipton तर्क लिए नहीं जाता है, क्योंकि हम नहीं जानते कि क्या (वास्तव में, यह बराबर है कि क्या )। हालाँकि, हम जानते हैं कि किसी भी लिए में निहित नहीं है , जैसा कि चकरवार्थी और रॉय द्वारा दिखाया गया है। $O_2^P$ $O_2^P$ $\textsf{NP}\subseteq O_2^P$ $\textsf{NP}\subseteq \textsf{P/poly}$ $\textsf{NP}^{O_2^P}$ $\textsf{SIZE}(n^k)$ $k$

— अपूर्व भागवत
स्रोत