"सबसे छोटा" जटिलता वर्ग क्या है जिसके लिए एक सुपरलाइनियर सर्किट बाउंड को जाना जाता है?

Question

एक सवाल पूछने के लिए माफी जो निश्चित रूप से बहुत सारे मानक संदर्भों में होनी चाहिए। मैं शीर्षक में बिल्कुल सवाल के बारे में उत्सुक हूं, विशेष रूप से मैं बूलियन सर्किट के बारे में सोच रहा हूं, कोई गहराई से बाध्य नहीं है। मैंने कई अलग-अलग वर्गों की संभावना के लिए उद्धरणों में "सबसे छोटा" डाला, एक दूसरे को शामिल करने के लिए नहीं जाना जाता है, जिसके लिए एक सुपरलाइनियर बाउंड जाना जाता है।

Answer 1

मुझे विश्वास है कि छोटी से छोटी ऐसे में जाना जाता वर्ग हैं $S_2P$ (कै, 2001), $PP$ (Vinodchandran, 2005), और $(MA \cap coMA)/1$ (संथानम, 2007)। इन सभी को वास्तव में प्रत्येक निरंतर k के लिए में नहीं जाना जाता है ।$SIZE(n^k)$$k$

Comments

सभी उत्तर के लिए धन्यवाद। मैं रयान को स्वीकार कर रहा हूं क्योंकि इसके सबसे बड़े परिणाम हैं, लेकिन विस्तृत विवरण के लिए रॉबिन और केव को धन्यवाद।

— मैट हेस्टिंग्स

Answer 2

सबसे मजबूत परिणाम मैं के बारे में पता कर रहा हूँ सब कश्मीर के लिए, वहाँ में एक समस्या है वह यह है कि $S_2^P$ है कि आकार के सर्किट की आवश्यकता है $\Omega(n^k)$ ।

एक वर्ग में निहित है जेड पी पी एन पी है, जो है ही निहित Σ पी 2 ∩ Π पी 2 । (जटिलता चिड़ियाघरमें इस वर्ग के बारे में अधिक जानकारी है।)$S_2^P$$ZPP^{NP}$$\Sigma_2^P \cap \Pi_2^P$

परिणाम कै के कारण कार्प-लिप्टन प्रमेय के सबसे मजबूत संस्करण से आता है ।

केएल प्रमेय से यह कैसे होता है, इस बात का एक त्वरित प्रमाण: पहला, यदि सैट के लिए सुपर-पोलिनोमियल आकार के सर्किट की आवश्यकता होती है, तो हमें किया जाता है, क्योंकि हमने में एक समस्या का प्रदर्शन किया है जिसमें सुपर-पॉलिनोमियल आकार के सर्किट की आवश्यकता होती है। यदि SAT में बहुपद आकार के सर्किट हैं, तो Karp-Lipton प्रमेय के सबसे मजबूत संस्करण द्वारा, PH, S P 2 तक गिर जाता है । हम जानते हैं कि PH में ऐसी समस्याएं हैं (कन्नन के परिणाम के अनुसार), और इस प्रकार S P 2 में ऐसी समस्या है।$S_2^P$$S_2^P$$S_2^P$

Comments

हमेशा की तरह एक अच्छा और बेहतर जवाब। :)

— केव

Answer 3

सामान्य सर्किट के लिए, हम जानते हैं कि वहाँ में समस्याएं हैं कि है कि आकार के सर्किट की आवश्यकता होती है Ω ( एन कश्मीर ) , इस रवि कन्नन (1981) की वजह से है और उसके परिणाम पर आधारित है कि पी एच इस तरह की समस्याओं में शामिल है ।$\Sigma^p_2 \cap \Pi^p_2$$\Omega(n^k)$$PH$

मुझे लगता है कि लिए सबसे अच्छा लोअरबाउंड अभी भी 5 एन के आसपास हैं ।$NP$$5n$

अरोड़ा देखें और बराक की किताब, पेज 297. रिचर्ड जे लिप्टन था एक पोस्ट पर अपने ब्लॉग भी देख इन परिणामों के बारे में, यह एक ।

Answer 4

$\mathrm{S}_2\mathrm{P}$$k≥1$$c$
$\tilde{O}(n^k)$
$\mathrm{O}_2\mathrm{P}$$\tilde{O}(n^{k^2})$$O(n^k (\log n)^c)$

$\mathrm{O}^2\mathrm{P}$$\tilde{O}(n^{k^2+k})$$i$$\tilde{O}(n^{\min(k^2+k,k^3)})$

एक निर्णय समस्या io- सर्किट के साथ अभिकलन नहीं है, कम से कम संख्या (इसके द्विआधारी अंकों का उपयोग करते हुए) है जो साथ सर्किट की सत्य तालिका नहीं है गेट्स। यदि एनपी पी / पॉली में है, तो समस्या में एक अकाट्य विस्मृत साक्षी है जिसमें निम्नलिखित शामिल हैं: (1) (2) एक सर्किट जो दिया गया है , यह दर्शाता है कि में पर्याप्त रूप से छोटा सर्किट है। (3) (केवल के लिए उपयोग किया जाता है) एक सत्यापनकर्ता जो हमें प्रतिद्वंद्वी के सर्किट को चलाने के लिए सक्षम करता है (2) केवल बार (प्रति रन 1 बिट प्राप्त करना )।एन एन कश्मीर ⌊ ( लॉग एन ) ग + 1 ⌋ एन एन ' < एन एन ' ~ हे ( n k 3 ) हे ( 1 $O(n^k (\log n)^c)$$N$$n^k ⌊(\log n)^{c+1}⌋$
$N$
$N' < N$$N'$
$\tilde{O}(n^{k^3})$$O(1)$

प्रत्येक लिए एक अलग नोट पर, (MA) coMA) / 1 में निर्णय की समस्याएं हैं जिनमें सर्किट नहीं हैं। '/ 1' का अर्थ है कि मशीन को एक सलाह मिलती है जो केवल इनपुट आकार पर निर्भर करती है। इसके अलावा, स्ट्रिंग मर्लिन भेजता है केवल इनपुट आकार पर निर्भर करने के लिए चुना जा सकता है (इस प्रतिबंध के साथ, MA ) का एक उपसमूह है , और सलाह जटिलता । प्रमाण (संथानम 2007) एक निश्चित सुव्यवस्थित PSPACE- पूर्ण समस्या का उपयोग करके IP = PSPACE और PSPACE /P / पाली ⇒ PSPACE = MA का सामान्यीकरण करता है और न्यूनतम सर्किट आकारों को प्राप्त करने के लिए इनपुटों को पैडिंग करता है जो कि अक्सर often बीच होते हैं और , ऐसे पर्याप्त उदाहरणों का पता लगाने के लिए सलाह का उपयोग करते हुएहे ( n k ) हे 2 पी Σ पी 2 n कश्मीर + 1 एन कश्मीर + 2 n $k$$O(n^k)$$\mathrm{O}_2\mathrm{P}$$Σ_2^P$$n^{k+1}$$n^{k+2}$$n$, और इन , मर्लिन होने से गद्देदार समस्या को हल करने से इस तरह के सर्किट का उत्पादन होता है।$n$