कैसे निर्धारित किया जाए कि क्या प्रमाण के लिए "उच्च-क्रम तर्क तकनीक" की आवश्यकता है?

Question

प्रश्न:

मान लीजिए कि मेरे पास एक्सिओम्स और एक लक्ष्य से संबंधित एक समस्या का एक विनिर्देश है (यानी संबंधित प्रमाण समस्या यह है कि क्या लक्ष्य सभी एक्सियल को दिया गया संतोषजनक है)। आइए हम यह भी मान लें कि समस्या में स्वयंसिद्धताओं के बीच कोई असंगतता / विरोधाभास नहीं है। क्या पहले से निर्धारित करने का कोई तरीका है (अर्थात पहले पूर्ण प्रमाण के बिना) समस्या को साबित करने के लिए "उच्च-क्रम तर्क" की आवश्यकता होगी?

"उच्च-क्रम तर्क" द्वारा, मेरा मतलब है कि ऐसे प्रमाण कदम लागू करने की आवश्यकता है जिनके लिए उच्च-आदेश तर्क को लिखा जाना आवश्यक है। "उच्च-क्रम तर्क" के लिए एक विशिष्ट उदाहरण इंडक्शन होगा: सिद्धांत में एक इंडक्शन स्कीम लिखने के लिए उच्च-ऑर्डर लॉजिक का उपयोग करना आवश्यक है।

उदाहरण:

एक "दो प्राकृतिक संख्याओं पर आधारित है?" प्रथम-क्रम तर्क का उपयोग करना (जैसे कि मानक एक्सिओम्स के साथ-साथ कंस्ट्रक्टर शून्य / succ के माध्यम से प्राकृतिक संख्या को परिभाषित करना, साथ में उन axioms के साथ जो एक "प्लस" फ़ंक्शन को पुन: परिभाषित करते हैं)। इस समस्या को साबित करने के लिए "प्लस" के पहले या दूसरे तर्क की संरचना पर प्रेरण की आवश्यकता होती है ("प्लस" की सटीक परिभाषा के आधार पर)। इनपुट समस्या की प्रकृति का विश्लेषण करके, इसे साबित करने का प्रयास करने से पहले क्या मैं यह जान सकता था ...? (बेशक, यह उदाहरण के प्रयोजनों के लिए सिर्फ एक सरल उदाहरण है - वास्तव में, यह प्लस की कम्यूटिटी की तुलना में अधिक कठिन प्रूफ समस्याओं के लिए दिलचस्प होगा।)

कुछ और संदर्भ:

अपने शोध में, मैं अक्सर प्रूफ समस्याओं (या प्रूफ समस्याओं के कुछ हिस्सों) को हल करने के लिए वैम्पायर, ईप्रोवर आदि जैसे स्वचालित प्रथम-क्रम प्रमेय को लागू करने की कोशिश करता हूं, जिनमें से कुछ को उच्च-क्रम तर्क की आवश्यकता हो सकती है। अक्सर, प्रूफ़र्स को प्रमाण के साथ आने के लिए काफी समय की आवश्यकता होती है (बशर्ते कि कोई ऐसा प्रमाण हो जिसे केवल प्रथम-क्रम तर्क तकनीक की आवश्यकता होती है)। बेशक, किसी समस्या के लिए पहले क्रम के प्रमेय को लागू करने की कोशिश करने के लिए उच्च-क्रम तर्क की आवश्यकता होती है जो आमतौर पर एक समयबाह्य परिणाम देता है।

इसलिए, मैं सोच रहा था कि क्या कोई विधियाँ / तकनीकें हैं, जो मुझे पहले से बता सकें कि क्या किसी प्रमाण समस्या के लिए उच्च-क्रम तर्क तकनीक की आवश्यकता होगी (जिसका अर्थ है कि "प्रथम-क्रम प्रमेय प्रोवर को सौंपने की कोशिश में समय बर्बाद न करें" ) या नहीं, कम से कम शायद विशेष इनपुट समस्याओं के लिए।

मैंने अपने प्रश्न के उत्तर के लिए साहित्य में देखा और उस बारे में साबित करने वाले प्रमेय के क्षेत्र के कुछ साथी शोधकर्ताओं से पूछा - लेकिन अभी तक, मुझे कोई अच्छा जवाब नहीं मिला। मेरी अपेक्षा यह होगी कि लोगों से उस विषय पर कुछ शोध हो, जो इंटरएक्टिव प्रमेय साबित करने और स्वचालित प्रमेय साबित करने का प्रयास करने की कोशिश करे (कोक समुदाय? इसाबेल समुदाय (स्लेजहैमर)?) - लेकिन अभी तक, मुझे कुछ भी नहीं मिला।

मुझे लगता है कि सामान्य तौर पर, मैंने यहाँ जो समस्या बताई है, वह असंदिग्ध है (क्या यह?) है। लेकिन शायद समस्या के परिष्कृत संस्करणों के लिए अच्छे उत्तर हैं ...?

Comments

आप जो पूछ रहे हैं वह अनिवार्य रूप से यह तय कर रहा है कि क्या एक दिया गया फार्मूला (आपकी कमजोर प्रणाली में) सिद्ध हो सकता है जो सामान्य सिद्धांत के लिए भी असंदिग्ध है जैसे कि क्यू। लेकिन वास्तव में साबित करना बहुत उपयोगी नहीं है क्योंकि एक मजबूत सिद्धांत एक प्रमेय के प्रमाण को छोटा कर सकता है। बहुत। यह तय करना कि क्या एक प्रमेय का संक्षिप्त प्रमाण एनपी-पूर्ण है। मुझे संदेह है कि एक अच्छा उत्तराधिकारी है।

— केवह

Peano अंकगणित में प्रेरण होता है, और Peano अंकगणितीय प्रथम क्रम होता है (अर्थात केवल व्यक्तियों पर मात्रा निर्धारित करता है)। ZFC के लिए भी। मार्टिन डेविस को उद्धृत करने के लिए: "उच्च-क्रम लॉजिक्स पहले-क्रम के तर्क में औपचारिक रूप से निर्धारित किए गए सिद्धांतों के केवल तर्कसंगत संस्करण हैं, यांत्रिक प्रमेय-सिद्ध में उच्च-क्रम की औपचारिकताओं के उपयोग का प्रश्न केवल इस तरह की औपचारिकता का सुझाव है उपयोगी एल्गोरिदम। "

— मार्टिन बर्जर

@MartinBerger मैं इस प्रश्न के उद्देश्यों के लिए सोचता हूं, स्वयंसिद्ध योजनाएं "उच्च-क्रम तर्क तकनीक" के रूप में गिना जाता है

— fread2281

@ fread2281 यह शब्दावली के साथ सावधान रहने में मददगार है। ऐसे सेट-सिद्धांत हैं जिनके पास एक परिमित स्वयंसिद्धता है (जैसे कि Neumann – Bernays – Gödel सेट सिद्धांत जो ZFC का एक रूढ़िवादी विस्तार है)। इसके विपरीत, ZFC के स्वयंसिद्ध स्कीमा को अक्षतंतु की परिमित संख्या द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है। मुझे लगता है लेकिन मुझे अभी यकीन नहीं है कि स्वयंसिद्ध योजनाओं को सेट सिद्धांत या उच्च-क्रम तर्क की पूर्ण शक्ति की आवश्यकता नहीं है।

— मार्टिन बर्जर

Answer 1

संक्षेप में, प्रथम-क्रम तर्क में बताई गई प्रत्येक प्रमेय का प्रथम-क्रम प्रमाण है।

अपनी पुस्तक "एन इंट्रोडक्शन टू मैथमेटिकल लॉजिक एंड टाइप थ्योरी" में, पीटर बी। एंड्रयूज ने प्रथम-ऑर्डर लॉजिक और उच्च-ऑर्डर लॉजिक Q ₀ की एक प्रणाली विकसित की है , जिसे आमतौर पर आधुनिक उच्च-क्रम के सिद्धान्तों का सिद्धांत आधार माना जाता है। । (उदाहरण के लिए HOL तर्क का परिचय देखें।)

क्यू ₀ और इसी तरह की प्रणालियों के लिए, एंड्रयूज से पता चलता है कि उनके द्वारा वर्णित उच्च-क्रम लॉजिक्स को पहले-क्रम तर्क के रूढ़िवादी विस्तार के रूप में माना जा सकता है और लिखते हैं (दूसरा संस्करण, पृष्ठ 259) कि, "सारांश में, प्रत्येक प्रथम-क्रम प्रमेय। टाइप थ्योरी का पहला ऑर्डर प्रूफ है। "

आपकी व्यावहारिक चिंताओं को देखते हुए, मैं निम्नलिखित पैराग्राफ को भी उद्धृत करता हूं:

"हालांकि, पहले-क्रम तर्क के कुछ प्रमेयों को अवधारणाओं का उपयोग करके सबसे कुशलता से साबित किया जा सकता है जो केवल उच्च-क्रम तर्क में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण [एंड्रयूज और बिशप, 1996] और [बुलोस, 1998, अध्याय 25] में पाए जा सकते हैं। । स्टेटमैन ने साबित किया [स्टेटमैन, 1978, प्रस्ताव 6.3.5] कि प्रथम-ऑर्डर लॉजिक के wff के प्रथम-क्रम तर्क में प्रमाण की न्यूनतम लंबाई असाधारण रूप से अधिक लंबी हो सकती है, जिसमें उसी wff के प्रमाण की न्यूनतम लंबाई दूसरे क्रम का तर्क। गोडेल [गोडेल, १ ९ ३६] का एक संबंधित परिणाम यह है कि सामान्य रूप से अगले उच्च आदेश के तर्क को पारित करने का प्रभाव पड़ता है, न केवल कुछ विशेष प्रस्तावों को बनाने से जो पहले सिद्ध नहीं थे, बल्कि बनाने के भी थे एक असाधारण राशि द्वारा, पहले से ही उपलब्ध कई प्रमाणों को असीम रूप से छोटा करना संभव है। इसका पूरा प्रमाण [Buss, में मिल सकता है।1994]। "