बीपीपी से पी तक सफल व्युत्पन्न के उदाहरण

Question

लक्ष्य (कठोरता रैंडमनेस कनेक्शन नहीं) के प्रति ठोस प्रमाण दिखाने में सफल व्युत्पन्न या कम से कम प्रगति के कुछ प्रमुख उदाहरण क्या हैं ?$P=BPP$

एकमात्र उदाहरण जो मेरे दिमाग में आता है, वह है एकेएस निर्धारक बहुपद समय प्राणिकता परीक्षण (यहां तक ​​कि इसके लिए जीआरएच की एक पद्धति भी थी)। तो उदाहरण के माध्यम से हमारे पास क्या विशिष्ट साक्ष्य हैं, जो हमारे पास आरेख (फिर से कठोरता या अलंकार संबंध नहीं) के लिए है?

कृपया उदाहरण केवल उन्हीं दिनों में रखें जहाँ समयबद्धता सुधार को यादृच्छिक पाली से नियतात्मक पाली या कुछ और जो विशिष्ट समस्याओं के बहुत करीब है, से दिखाया गया था।

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निम्नलिखित एक टिप्पणी के अधिक है और मैं ज्यादा नहीं जानता कि यह इस क्वेरी में मदद करेगा।

'द डिसक्रेपेंसी मेथड: रैंडमनेस एंड काम्प्लेक्सिटी (कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, 2000)' के तहत चेज़ेल का http://www.cs.princeton.edu/~chazelle/linernotes.html में बहुत ही गूढ़ कथन है ।

'यह मेरे लिए आकर्षण का एक अंतहीन स्रोत है कि नियतात्मक संगणना की गहरी समझ को यादृच्छिकता की महारत की आवश्यकता होनी चाहिए। मैंने इस पुस्तक को इस शक्तिशाली संबंध को स्पष्ट करने के लिए लिखा है। न्यूनतम फैले हुए पेड़ों से लेकर रैखिक प्रोग्रामिंग से लेकर डेलुनाय ट्राइंगुलेशन तक, सबसे कुशल एल्गोरिदम अक्सर संभाव्य समाधानों के व्युत्पन्न होते हैं। विसंगति विधि कंप्यूटर विज्ञान के सभी में सबसे अधिक फलदायी प्रश्नों में से एक पर स्पॉटलाइट डालती है: यदि आपको लगता है कि आपको यादृच्छिक बिट्स की आवश्यकता है, तो कृपया हमें बताएं क्यों? '

Comments

सशर्त अपेक्षाओं की पद्धति, निराशावादी अनुमानकर्ताओं की पद्धति और बंधे हुए स्वतंत्रता नमूना स्थानों का उपयोग करके सामान्य तकनीकों का उपयोग करके बहुत सारे एल्गोरिदम को व्युत्पन्न किया जा सकता है। वास्तव में, मौलिकता परीक्षण और बहुपद पहचान परीक्षण इसलिए प्रसिद्ध हैं क्योंकि वे प्राकृतिक कार्यों के दुर्लभ उदाहरण हैं जो मानक व्युत्पन्न तकनीकों का विरोध करते हैं।

— साशो निकोलेव

@SashoNikolov धन्यवाद कुछ उदाहरणों पर पूर्ण उत्तर के रूप में टिप्पणी का विस्तार किया जा सकता है। सर्किट जटिलता के माध्यम से भी कठोरता-यादृच्छिकता कनेक्शन एकमात्र कारण है जो लोग मानते हैं कि ? $P=BPP$

मुझे लगता है कि यह उत्तर के लिए थोड़ा बहुत बुनियादी है। विवरण और उदाहरणों के लिए अलोन-स्पेंसर में व्युत्पन्नकरण पर अध्याय देखें: इसमें मेरे द्वारा बताई गई तीन तकनीकों को शामिल किया गया है।

— साशो निकोलेव

वर्ग बीपीपी के बारे में दिलचस्प बात यह है कि इसकी सैद्धांतिक परिभाषा में यादृच्छिक इनपुट बिट्स की आवश्यकता होती है जो आसानी से दिखाए जा सकते हैं, डी-रैंडमाइजेशन और कमजोर कोलोमोग्रोव यादृच्छिकता उपायों का उपयोग करते हुए, परिमित डोमेन में मौजूद नहीं हैं। मुझे नहीं पता कि लोग इस असंगति के साथ कैसे रह सकते हैं। मैं खुद नहीं मानता कि एक स्पष्ट वर्ग BPP है (यह या तो NP या P है)।

Answer 1

।$SL = L$

यादृच्छिक लॉगस्पेस के लिए खड़ा है और आर एल = एल समस्या का एक छोटा संस्करण है आर पी = पी । एक प्रमुख स्टेपिंग स्टोन '04 में "(लॉगस्पेस में अप्रत्यक्ष एसटी कनेक्टिविटी") का प्रमाण था कि एस एल = एल , जहां एस "सममित" के लिए है और एस एल आर एल और एल के बीच का एक मध्यवर्ती वर्ग है।$RL$$RL=L$$RP=P$$SL = L$$S$$SL$$RL$$L$

विचार यह है कि आप एक यादृच्छिक लॉगस्पेस ट्यूरिंग मशीन को एक बहुपद-आकार निर्देशित ग्राफ के रूप में सोच सकते हैं, जहां नोड मशीन के राज्य हैं, और एक आरएल एल्गोरिथ्म एक यादृच्छिक चलता है जिसमें अच्छे गुण होते हैं। SL इस फॉर्म के अप्रत्यक्ष ग्राफ़ से मेल खाता है । विस्तारक रेखांकन, विशेष रूप से रींगोल्ड, वदन और विगार्डसन के "ज़िग-ज़ैग उत्पाद" पर काम करने के लिए बनाया गया रींगोल्ड का प्रमाण, अच्छे गुणों के साथ अप्रत्यक्ष ग्राफ़ पर किसी भी यादृच्छिक चलने को लेने के लिए और उन गुणों को बनाए रखने के लिए इसे एक प्यूएसडॉर्गेनिक वॉक में बदल दें।

संपादित करें इस प्रश्न को पोस्ट करने से पहले यह स्पष्ट रूप से बदल गया था कि पी बनाम बीपीपी पर विशेष रूप से ध्यान केंद्रित किया जाए ... मैं इसे छोड़ रहा हूं क्योंकि यह रुचि का लगता है।

Comments

कृपया नहीं। जवाब दिलचस्प है।

— एमिल जेकाबेक मोनिका

हाय @Student।, मुझे लगता है कि सफल व्युत्पन्नकरण के उदाहरणों में रुचि रखने वाले लोगों को इस उत्तर में दिलचस्पी होगी, इसलिए मैं इसे अपने लक्ष्यों के प्रति अनादर के बिना रखूंगा, (जो बाद में केवल समय जटिलता को निर्दिष्ट करने के लिए संपादित किए गए थे ... )

— usul

मुझे यह भी कहना चाहिए कि इस साइट पर प्रश्न और उत्तर तैयार किए जाने हैं ताकि वे आम तौर पर भविष्य के आगंतुकों के लिए एक संदर्भ संसाधन के रूप में उपयोगी हों, न कि केवल पोस्टर के विशेष लक्ष्यों के अनुरूप हों। मैं समय की जटिलता और बीपीपी के लिए कृत्रिम प्रतिबंधों के बिना प्रश्न ढूंढता हूं ।

— एमिल जेकाबेक

@ EmilJe Emábek ठीक है धन्यवाद, हम usul के पद को छोड़ देंगे क्योंकि यह यहाँ है।

@usul 'विचार यह है कि आप एक यादृच्छिक लॉगस्पेस ट्यूरिंग मशीन को एक बहुपद-आकार निर्देशित ग्राफ के रूप में सोच सकते हैं।' क्या एक उपयुक्त अंतर्ज्ञान है जो एनएल के लिए काम करता है? मुझे पता है कि एल नहीं है एनएल अनुमान लगाया गया है, लेकिन PSPACE = NPSPACE और इसलिए अंतरिक्ष समय से अलग हो सकता है।

— टी ....

Answer 2

बीपीपी में मूल रूप से केवल एक दिलचस्प समस्या है जिसे पी में नहीं जाना जाता है: बहुपद पहचान परीक्षण, एक बीजगणितीय सर्किट दिया गया बहुपद है यह पहचान शून्य पैदा करता है। इम्प्लैग्लियाज़ो और कबनेट्स बताते हैं कि पी में पीआईटी कुछ सर्किट कम सीमाएं होती है। इसलिए सर्किट कम सीमा एकमात्र कारण है (लेकिन बहुत अच्छा है) जिसे हम P = BPP मानते हैं।

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जबकि मैं आपके साथ एक उच्च स्तर पर सहमत हूं, मुझे लगता है कि कम्प्यूटेशनल समूह सिद्धांत में यादृच्छिक एल्गोरिदम के ढेर सारे दिलचस्प व्युत्पन्न प्रश्नों के एक और कसकर बुनना वर्ग का सुझाव देते हैं, जो कि पीआईटी को कम करने के लिए नहीं लगता है। हालांकि इनमें से अधिकांश निर्णय की समस्याओं के बजाय कार्य हैं, उनमें से कुछ को BPP में दिलचस्प निर्णय समस्याओं के रूप में फिर से लिया जा सकता है, उदाहरण के लिए cstheory.stackexchange.com/a/11440/129

— जोशुआ ग्रोचो

$O(f(n))$$O(f(n))$$BPP$$BPP$$f(n)$$P=BPP$

Answer 3

बहुपद पहचान परीक्षण के अलावा, एक अन्य बहुत ही महत्वपूर्ण समस्या जिसे बीपीपी में जाना जाता है, लेकिन पी में नहीं एक गैर-नकारात्मक मैट्रिक्स या यहां तक ​​कि एक ग्राफ में सही मिलान की संख्या का अनुमान लगा रहा है। एक (1 + ईपीएस) कारक के भीतर इन नंबरों को अनुमानित करने के लिए एक यादृच्छिक पॉली-टाइम एल्गोरिथ्म है, जबकि सर्वश्रेष्ठ निर्धारक एल्गोरिदम केवल ~ 2 ^ एन कारक सन्निकटन प्राप्त करते हैं।

जबकि स्थायी मुख्य उदाहरण है, कई अनुमानित गणना समस्याएं हैं, जिनके लिए यादृच्छिक एल्गोरिदम (आमतौर पर 'एमसीएमसी' विधियों) और निर्धारक अल्गोरिथम के बीच एक बड़ा अंतर है।

एक समान नस में एक और समस्या स्पष्ट रूप से दिए गए उत्तल शरीर की मात्रा बता रही है (जैसे कि रैखिक असमानताओं के संग्रह द्वारा वर्णित एक पॉलीहेड्रॉन)।

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पी बनाम बीपीपी में एक सूक्ष्मता, कि मैं चाहता हूं कि मैं बेहतर समझ सकता हूं, फ़ंक्शन समस्याओं और निर्णय समस्याओं के बीच अंतर है। यह हो सकता है कि यादृच्छिक रूप से (कुछ अर्थों में) कई कार्य समस्याएं हैं, लेकिन बहुपद समय में नियतात्मक रूप से नहीं, फिर भी पी = बीपीपी। ऐसा लगता है कि आपके उदाहरण शायद समस्याओं को तय करने के लिए आसानी से अनुवाद करते हैं, क्या यह सही है?

— usul

निर्णय बनाम फ़ंक्शन समस्याएं एनपी दुनिया की तुलना में थोड़ी अधिक सूक्ष्म हैं, लेकिन अभी भी बहुत कुछ ज्ञात है: उदाहरण के लिए धारा 3 में यह पेपर एक "यादृच्छिक पॉली टाइम सॉल्वेबल सर्च समस्या" का उदाहरण देता है जो कि भी नहीं है। लेकिन यदि फ़ंक्शन एक-से-एक है, तो P = BPP का अर्थ है "रैंडमाइज्ड पॉली टाइम सॉल्व करने योग्य फंक्शन प्रॉब्लम" में एक नियतकालिक पॉली टाइम अल्गोरिथम होता है (पेपर कई और उदाहरण भी देता है)

— जो बीबेल