क्या अंकगणित सर्किट बूलियन से कमजोर हैं?

Let एक दिए गए मल्टीलाइनर बहुपद -मोनोटोन) अंकगणित के न्यूनतम आकार को निरूपित करते हैं। और एक (गैर-मोनोटोन) बूलियन के न्यूनतम आकार को निरूपित करते हैं बूलियन संस्करण की गणना करते हुए सर्किट के द्वारा परिभाषित किया गया: $A(f)$ $(+,\times,-)$

f (x_{1}, \dots, x_{n}) = \sum_{e \in E} c_{e} \prod_{i = 1}^{n} x_{i}^{e_{i}},

$f(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{e\in E}c_e\prod_{i=1}^n x_i^{e_i}\,,$

B (f)

$B(f)$

(\lor, \land, \neg)

$(\lor,\land,\neg)$

f_{b}

$f_b$

f

$f$

f_{b} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \underset{e \in E}{⋁} \underset{i : e_{i} \neq 0}{⋀} x_{i} .

$f_b(x_1,\ldots,x_n)=\bigvee_{e\in E}\ \bigwedge_{i\colon e_i\neq 0} x_i\,.$

क्या बहुपद ज्ञात हैं जिसके लिए से छोटा है ? $f$ $B(f)$ $A(f)$

अगर हम पर विचार एक लय कोई माइनस - सर्किट के संस्करणों और कोई नहीं - द्वार तो भी हो सकता है तेजी से की तुलना में छोटे , ले उदाहरण के लिए, कम से कम सेंट पथ बहुपद: पर ; फिर और । लेकिन "गैर-मोनोटोन दुनिया" में क्या होता है? बेशक, बड़े अंतराल को सिर्फ इसलिए नहीं जाना जा सकता क्योंकि हमारे पास पर बड़े निचले सीमा नहीं हैं । लेकिन शायद कम से कम कुछ छोटे अंतराल ज्ञात हैं? $(-)$ $(\neg)$ $B(f)$ $A(f)$ $f$ $K_n$ $B(f)=O(n^3)$ $A(f)=2^{\Omega(n)}$ $A(f)$

नोट (15.03.2016) मेरे प्रश्न में, मैंने यह निर्दिष्ट नहीं किया है कि बड़े गुणांक की अनुमति कैसे है । इगोर सर्गेव ने मुझे याद किया, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित (अविभाज्य) बहुपद में (स्ट्रैसन और उनके समूह के लोग)। लेकिन इस बहुपद के लिए , चूंकि । हम fron प्राप्त कर सकते हैं एक मल्टीवेरिएट बहुपद के चर क्रोनेकर प्रतिस्थापन का उपयोग कर का उपयोग करते हुए। हर प्रतिपादक के साथ एसोसिएट एक एकपद , जहां

c_{e}

$c_e$

f (z) = \sum_{j = 1}^{m} 2^{2^{j m}} z^{j}

$f(z)=\sum_{j=1}^m 2^{2^{jm}} z^j$

A (f) = Ω (m^{1 / 2})

$A(f)=\Omega(m^{1/2})$

B (f) = 0

$B(f)=0$

f_{b} (z) = z

$f_b(z)=z$

f

$f$

f^{'} (x_{1}, \dots, x_{n})

$f'(x_1,\ldots,x_n)$

n = \log m

$n=\log m$

j

$j$

X_{j} = \prod_{i : a_{i} = 1} x_{i}

$X_j=\prod_{i:a_i=1}x_i$

(a_{1}, \dots, a_{n})

$(a_1,\ldots,a_n)$ के बाइनरी प्रतिनिधित्व के 0-1 गुणांक हैं । तब वांछित बहुपद , और हमारे पास लेकिन का बूलियन संस्करण केवल वेरिएबल है, इसलिए , और हमारे पास एक समान घातीय अंतर भी है। इस प्रकार, यदि गुणांक के परिमाण को चर की संख्या में ट्रिपल-घातीय किया जा सकता है, तो अंतर को भी घातीय दिखाया जा सकता है। (वास्तव में, स्वयं परिमाण नहीं है - गुणांकों की बीजगणितीय निर्भरता अधिक है।) यही कारण है कि वास्तविक समस्या के साथ छोटी है

j

$j$

f^{'} = \sum_{j = 1}^{m} c_{j} X_{j}

$f'=\sum_{j=1}^m c_j X_j$

A (f^{'}) + n \geq A (f) = Ω (m^{1 / 2}) = 2^{Ω (n)} .

$A(f')+n\geq A(f)=\Omega(m^{1/2})=2^{\Omega(n)}.$

f^{'}

$f'$

B (f^{'}) \leq n - 1

$B(f')\leq n-1$

n

$n$

A (f) / B (f)

$A(f)/B(f)$

A (f)

$A(f)$ गुणांक (आदर्श रूप से, केवल 0-1)। लेकिन इस मामले में, जैसा कि यहोशू ने याद किया, स्ट्रैसेन और बौर (0-1 गुणांक के साथ के निचले बाउंड आज भी हमारे पास सबसे अच्छा है।

A (f) = Ω (n \log n)

$A(f)=\Omega(n\log n)$

— Stasys
स्रोत

स्थायी रूप से अर्हता प्राप्त करने के लिए प्रतीत होता है, कम से कम सशर्त रूप से (अर्थात, )। ध्यान दें कि स्थायी का बूलियन संस्करण केवल यह तय करने के लिए है कि क्या दिए गए द्विपदी ग्राफ में एक परिपूर्ण मिलान है, जिसमें पॉली-आकार के सर्किट हैं। $\mathsf{VP}^0 \neq \mathsf{VNP}^0$

[नीचे दी गई टिप्पणियों को सारांशित करते हुए:] इस उदाहरण के सशर्त होने के बावजूद, इस समय एक लघुगणक अंतर से अधिक कुछ भी बिना शर्त के अपेक्षित नहीं हो सकता है, क्योंकि अभी भी सामान्य बीजीय सर्किट पर सर्वोत्तम ज्ञात निम्न बाउंड है। जैसा कि स्टैसिस द्वारा बताया गया है, इस लॉगरिदमिक गैप को फ़ंक्शन ( बौर-स्ट्रैसेन द्वारा आकार बीजीय सर्किट की आवश्यकता होती है ), जिसका बूलियन-ized संस्करण सिर्फ । $\Omega(n \log n)$ $\sum_{i=1}^n x_i^n$ $\Omega(n \log n)$ $x_1 \vee x_2 \vee \dotsb \vee x_n$

— जोशुआ ग्रोचो
स्रोत

हाय यहोशू: आप सही हैं, स्थायी एक (यद्यपि सशर्त) उदाहरण है! ठीक है, हम स्थायी के लिए ए (एफ) पर कोई कम बाध्य नहीं जानते हैं। लेकिन अगर वीपी और वीएनपी के निरंतर-मुक्त संस्करण अलग-अलग हैं, तो हम एक (वास्तविक) बाउंड को जाने बिना अलगाव बी (एफ) बनाम ए (एफ) को जानते हैं।

— Stasys

@Stasys: ध्यान दें कि आपके द्वारा पूछे गए "छोटे अंतराल" भी बिना शर्त के ज्ञात होने की संभावना नहीं है, क्योंकि एक सामान्य बीजीय सर्किट के खिलाफ वर्तमान सबसे कम निचले हिस्से में केवल ! तो यह संभव है कि एक रैखिक आकार के बूलियन सर्किट और एक अर्ध-रेखीय बीजगणितीय निचली सीमा के बीच एक अंतर हो, लेकिन मजबूत कुछ भी बिना शर्त के नहीं जाना जाता है, और यह एक बहुत छोटा अंतर है ...

Ω (n \log n)

$\Omega(n \log n)$

— जोशुआ ग्रोचो

यहोशू में: सही, फिर से अच्छी बात। यदि f सभी n एकल चर की n-th शक्तियों का योग है, तो B (f) सबसे अधिक n पर है, और Baur-Strassen शो A (f) कम से कम n के लघुगणक के बारे में है। यह ए (एफ) के लिए सबसे अच्छा जाना जाता है। इसलिए, मेरे प्रश्न के लिए सबसे बड़ा ज्ञात स्पष्ट अंतर वास्तव में केवल लघुगणक है। (एक सवाल एक तरफ: क्या आप जानते हैं कि मेरी @ हमेशा टिप्पणियों में क्यों गायब हो जाती है?)

— Stasys

@Stasys: अच्छा उदाहरण। (पुन: एक तरफ। मुझे नहीं लगता। मुझे लगता है कि सिस्टम कुछ अटैचमेंट करता है कि कौन लोग "एट-एड" हैं, और यदि आप "डिफ़ॉल्ट व्यक्ति" पर कोई संदेश भेज रहे हैं, तो वह इसे हटा देता है। मुझे लगता है। ।)

— जोशुआ ग्रोको

सही। एक पोस्ट के लेखक को हमेशा नई टिप्पणियों के बारे में सूचित किया जाता है , इसलिए सिस्टम स्पष्ट @ अधिसूचना को अनावश्यक के रूप में हटा देता है।

— एमिल जेकाब