फ्रीज और विस्तारित फ्रीज के लिए निचले सीमाएं

Question

विकिपीडिया [1] बताता है कि फ्रीज सबूतों के आकार के लिए सबसे अच्छी ज्ञात निचली सीमा द्विघात है, और यह कि फ्रीज सबूतों की लाइनों की संख्या के लिए कोई ज्ञात सुपरलाइनियर कम सीमा नहीं है।

प्रशन:

1) विस्तारित फ्रीज सबूतों की लाइनों की संख्या के लिए सबसे अच्छा ज्ञात निम्न बाध्य क्या है?

2) विस्तारित फ्रीज सबूतों के आकार के लिए सबसे अच्छा ज्ञात निम्न बाध्य क्या है? क्या यह अभी भी फ्रीज की तरह ही द्विघात है?

3) ट्री-जैसे एक्सटेंडेड फ्रीज एक बहुपद संख्या में डीएजी-जैसे एक्सटेंडेड फ्रीज को अनुकरण कर सकता है। क्या पेड़ की तरह विस्तारित फ्रीज पर आकार / लाइनों की संख्या के लिए कोई सुपरलाइनियर कम सीमाएं हैं?

४) विकिपीडिया पर बताई गई रेखाओं की संख्या के लिए और निम्न के आकार के लिए द्विघाती निचले हिस्से में बंधी रेखीय निचली सीमा की ओर ले जाने वाली टॉटोलॉजी क्या हैं?

अवलोकन: मुझे इस तथ्य के बारे में पता है कि निरंतर गहराई के लिए फ्रीज में हमारे पास ऑर्डर के निचले आकार के आकार हैं $2^{\Omega(n^{6^{-d}})}$। लेकिन मैं वास्तव में पूरी शक्ति फ्रीज और विस्तारित फ्रीज में दिलचस्पी रखता हूं।

[१] https://en.wikipedia.org/wiki/Frege_system

Answer 1

1, 2, 4) विस्तारित फ्रीज पर सबसे अच्छा ज्ञात निम्न सीमाएं फ्रीज के लिए समान हैं: लाइनों की रैखिक संख्या, और द्विघात आकार। यह उदाहरणों पर लागू होता है$\neg^{2n}\top$(मूल रूप से, कोई भी उपशास्त्र जो छोटी उपशास्त्रीयता का स्थानापन्न उदाहरण नहीं है, और जिसकी सभी उप-वर्गों की लंबाई द्विगुणित है)। यह क्रेजिक के बाउंडेड अंकगणित, प्रस्ताव तर्क, और फ्रीज सिस्टम के लिए जटिलता सिद्धांत में साबित होता है , लेकिन यह तर्क विस्तारित फ्रीज सिस्टम के लिए भी काम करता है।

3) यह मेरे लिए पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है कि आप पेड़ की तरह विस्तारित फ़्रेग को कैसे परिभाषित करते हैं (विस्तार एक्सिक्स के पुन: उपयोग की अनुमति देने के लिए एक तंत्र होना चाहिए), लेकिन मुझे ट्रेकाइक फ्रीज में लाइनों की संख्या पर किसी भी सुपरलाइनियर कम सीमा के बारे में पता नहीं है या विस्तारित फ्रीज सिस्टम।

Comments

क्या आप विस्तारित फ्रीज को सर्किट फ्रीज (अपने APAL 2004 के पेपर में) के रूप में परिभाषित नहीं कर सकते हैं? और इस तरह सर्किट फ्रीज परिभाषा जैसे पेड़ तत्काल है।

— इदडो तजामेरेट

@ इंडो: मैं कर सकता हूं, लेकिन मैं इसे कई अन्य तरीकों से भी परिभाषित कर सकता हूं, और यह पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है कि इस सख्त शासन (रैखिक) में उनकी संख्या कितनी होगी।

— एमिल जेकाबेक

इसके अलावा, मुझे लगता है कि विस्तारित फ्रीज के लिए आकार कम बाउंड केवल रैखिक है और द्विघात नहीं है, है ना?

— इदडो तजामेरेट

नहीं, यह वह बिंदु है जिसे मैं पार करने की कोशिश कर रहा हूं। द्विघातीय निचली बाउंड विस्तारित फ्रीज के लिए रखती है, भले ही यह आमतौर पर उस तरह से नहीं कहा गया हो।

— एमिल जेकाबेक

मुझे लगा कि यह द्विघात है, यदि आप (अलग) उप-सूत्रों की संख्या की गणना करके विस्तारित फ्रीज के आकार को परिभाषित करते हैं। लेकिन वास्तविक आकार रैखिक है। मुझे फिर सबूत को फिर से देखना होगा ...

— इडडू तजमेरेट