पुनरावृत्ति हल करें

Question

मैं निम्नलिखित पुनरावृत्ति संबंध कैसे हल कर सकता हूं?

$$f(n) = f(n-1) + f(n - \log n)$$

Comments

यदि आप आज़माएँ तो आपको क्या मिलेगा ? ऐसा प्रतीत होता है कि आपको का निचला भाग मिलेगा । $f(n) = 2f(n - \log n)$$2^{\Omega(n/\log n)}$

— चंद्रा चकुरी

@CraraChekuri ओह, यह बहुत अच्छा है! और की ऊपरी सीमा है : हम पुनरावृत्ति समय का उपयोग करते हैं , और उस । फिर हम इस बार लागू करते हैं और । तो ऊपरी और निचले बाउंड के बीच की खाई घातांक में केवल है। यह वास्तव में मेरे उद्देश्यों के लिए पर्याप्त है, लेकिन यदि कोई व्यक्ति चाहता है और अंतर को बंद करने में सक्षम है, तो मैं प्रश्न को खुला छोड़ दूंगा। बहुत बहुत धन्यवाद, चंद्रा! $2^{O(n \log \log n / \log n)}$$\log n$$f(n) \le (1 + \log n) f(n - \log n)$$n / \log n$$f(n) \le (1 + \log n)^{n / \log n} = 2^{O(n \log \log n / \log n)}$$\log \log n$

— मोबियस

वैसे, एक ही ट्रिक , इसलिए । $f(n)\ge(\log n)f(n-2\log n)$$f(n)=2^{\Theta(n\log\log n/\log n)}$

— एमिल जेकाबेक

Answer 1

@ चंद्रा, @ इमिल, और खुद ने टिप्पणी में सवाल हल किया। समाधान

$$f(n) = 2^{\Theta(n \log \log n / \log n)} \ .$$

निम्न बाउंड को देखने के लिए, प्राप्त करने के लिए पुनरावृत्ति परिभाषा समय लागू करें। इस असमानता का उपयोग बार करें, और हमें यह पता चलता है कि समाधान ।$\log n$

$$f(n) = 2f(n - \log n) + f(n - \log n - 1) + \ldots + f(n - 2 \log n) \ge \log n \cdot f(n - \log n) \ .$$ $n / \log n$$2^{\Omega(n \log \log n / \log n)}$

ऊपरी सीमा प्राप्त करने के लिए, पुनरावृत्ति समय का उपयोग करें और उस इस असमानता का उपयोग बार करें, और हमें पता चलता है कि समाधान ।$\log n$

$$f(n) \le (\log n + 1) \cdot f(n - \log n) \ .$$ $n / \log n$$2^{O(n \log \log n / \log n)}$