प्राथमिक सममित बहुपद की मोनोटोन अंकगणित सर्किट जटिलता?

$k$ वें प्राथमिक सममित बहुपद $S_k^n(x_1,\ldots,x_n)$ सभी का योग है के उत्पादों अलग चर। मुझे इस बहुपद के मोनोटोन अंकगणित सर्किट जटिलता में दिलचस्पी है । एक साधारण गतिशील प्रोग्रामिंग एल्गोरिथ्म (साथ ही नीचे छवि 1) फाटकों के साथ एक सर्किट देता है । $\binom{n}{k}$ $k$ $(+,\times)$ $(+,\times)$ $O(kn)$

प्रश्न: क्या की निचली सीमा ज्ञात है? $\Omega(kn)$

ए सर्किट तिरछा होता है यदि प्रत्येक उत्पाद गेट के कम से कम दो इनपुट में से एक चर है। ऐसा सर्किट वास्तव में स्विचिंग-एंड-रेक्टिफाइंग नेटवर्क (वैरिएबल द्वारा लेबल किए गए कुछ किनारों के साथ एक निर्देशित एसाइक्लिक ग्राफ है; प्रत्येक सेंट पथ इसके लेबल का उत्पाद देता है, और आउटपुट सभी सेंट पथों का योग है)। पहले से ही 40 साल पहले, मार्कोव एक आश्चर्यजनक रूप से तंग परिणाम साबित कर दिया: के लिए एक न्यूनतम एक लय अंकगणित तिरछा सर्किट है वास्तव में उत्पाद फाटकों। ऊपरी बाध्य छवि से इस प्रकार है 1।: $(+,\times)$ $S_k^n$ $k(n-k+1)$

लेकिन मैंने गैर-तिरछे सर्किट के लिए इस तरह के निचले हिस्से को साबित करने का कोई प्रयास नहीं देखा है। क्या यह सिर्फ हमारा "अहंकार" है, या रास्ते में कुछ अंतर्निहित कठिनाइयाँ हैं?

PS मुझे पता है कि सभी को एक साथ गणना करने के लिए गेट आवश्यक हैं । यह 0-1 इनपुट को छांटने वाले मोनोटोन बूलियन सर्किट के आकार पर निचली सीमा से निम्नानुसार है; इंगो वेगेनर की पुस्तक का पृष्ठ 158 देखें । अक्स छँटाई नेटवर्क भी संकेत मिलता है कि फाटकों इस (बुलियन) मामले में पर्याप्त हैं। दरअसल, बॉर और स्ट्रैसेन ने लिए गैर-मोनोटोन अंकगणितीय सर्किट के आकार पर एक तंग बाउंड साबित कर दिया है । लेकिन मोनोटोन अंकगणितीय सर्किट के बारे में क्या ? $\Omega(n\log n)$ $S_1^n,\ldots,S_n^n$ $O(n\log n)$ $\Theta(n\log n)$ $S_{n/2}^n$

— Stasys
स्रोत

एक चुनौती यह है कि यदि आप "मोनोटोन" प्रतिबंध को हटाते हैं, तो हम जानते हैं कि इस तरह की चीजों को कैसे कुशलता से गणना करना है। आप सभी ( में सभी प्राथमिक सममित बहुपद) का मूल्यांकन कर सकते हैं समय, गुणन का उपयोग कर। तो, मोनोटोन सर्किट मॉडल में बाउंड किए गए निचले को साबित करने के लिए बहुपद गुणन पर एक कम करने की आवश्यकता होगी । $S_0^n,\dots,S_n^n$ $n+1$ $O(n \log^2 n)$ $\Omega(nk)$ $\Omega(n^2)$

ऐसे। एक औपचारिक अज्ञात परिचय दें , और बहुपद पर विचार करें $y$

P (y) = \prod_{i = 1}^{n} (1 + x_{i} y) .

$P(y) = \prod_{i=1}^n (1 + x_i y).$

ध्यान दें कि चूँकि के ज्ञात स्थिरांक हैं, यह अज्ञात और डिग्री साथ एक अविभाज्य बहुपद है । अब आप ध्यान दे सकते हैं कि में का गुणांक बिल्कुल , इसलिए सभी का मूल्यांकन करने के लिए, यह गणना करने के लिए पर्याप्त है । $x_i$ $y$ $n$ $y^k$ $P(y)$ $S_k^n$ $S_0^n,\dots,S_n^n$ $P(y)$

यह समय में गणना करना संभव बनाता है : पत्तियों पर साथ बहुपद के संतुलित बाइनरी ट्री का निर्माण करें , और बहुपद को गुणा करें। डिग्री के दो बहुआयामी पद गुणा लेता FFT तकनीक का उपयोग, इसलिए हम पुनरावृत्ति मिल समय , जो करने के लिए हल । सुविधा के लिए, मैं कारकों को अनदेखा कर रहा हूं । $P(y)$ $O(n \lg^2 n)$ $(1+x_i y)$ $d$ $O(d \lg d)$ $T(n) = 2 T(n/2) + O(n \lg n)$ $T(n) = O(n \lg^2 n)$ $\text{poly}(\lg \lg n)$

यदि आप उस मामले की परवाह करते हैं जहां बहुत छोटा है, तो आप को समय में समान तरकीबों का उपयोग करके गणना कर सकते हैं , यह ध्यान में रखते हुए कि आप केवल परवाह करते हैं (यानी, की सभी शर्तों को दूर फेंकना या की उच्च शक्तियां )। $k$ $S_0^n,\dots,S_k^n$ $O(n \lg^2 k)$ $P(x) \bmod y^{k+1}$ $y^{k+1}$ $y$

बेशक, एफएफटी घटाव का उपयोग करता है, इसलिए यह एक मोनोटोन सर्किट में जाहिर नहीं है। मैं नहीं जानता कि क्या मोनोटोन अंकगणित सर्किट के साथ बहुपद को कुशलता से गुणा करने का कोई और तरीका है, लेकिन बहुपद गुणन के लिए कोई भी कुशल मोनोटोन विधि तुरंत आपकी समस्या के लिए एक एल्गोरिथ्म की ओर ले जाती है। तो, आपकी समस्या के निचले सीमा में बहुपद गुणन के लिए निम्न सीमा की आवश्यकता होती है।

— DW
स्रोत

डीडब्ल्यू, इस निर्माण को वापस बुलाने के लिए धन्यवाद! यह आमतौर पर बेन-ओर के लिए जिम्मेदार है, और मुझे इसका उल्लेख करना चाहिए था। निर्माण भी आकार एक <i> सूत्र </ i> देता है और गहराई केवल (!) ऑपरेटर ( कुछ पर मूल्यांकन करके ) की गणना करता है अंक)। इसका उपयोग सजातीय और गैर-सजातीय लघु-गहराई वाले सूत्रों को अलग करने के लिए किया गया था। लेकिन, जैसा कि आप उल्लेख करते हैं, निर्माण काफी हद तक घटाव का उपयोग करता है। तो, मेरा सवाल पूछता है: यह वास्तव में "पर्याप्त" कैसे है? यह प्रतिबंधित-गहराई वाले परिदृश्य में भी दिलचस्प हो सकता है।

O (n^{2})

$O(n^2)$

3

$3$

S_{0}^{n}, \dots, S_{n}^{n}

$S_0^n,\ldots,S_n^n$

P (y)

$P(y)$

n + 1

$n+1$

— स्टैसीज

@Stasys: मुझे लगता है कि घटाव बहुत महत्वपूर्ण है। अर्थात। निसान-विगडरसन गहराई 3 सजातीय सर्किट पर कम ; सजातीय गहराई 3 सर्किट में, बिंदु यह है कि उन शब्दों की गणना करना बेकार है जिनकी डिग्री आउटपुट की डिग्री से भिन्न होती है। तो यह रद्द करने के प्रकार को सीमित कर सकता है। बेन या निर्माण में जबकि, गणना करने के लिए , एक की जरूरत डिग्री के एक बहुपद गणना करने के लिए (भले ही उत्पादन डिग्री है ), और फिर महत्वपूर्ण डिग्री के मामले से छुटकारा पाने के रद्द करने का उपयोग । यह एक प्रमाण नहीं है, बस कुछ अंतर्ज्ञान ...

S_{k}^{n}

$S_k^n$

n

$n$

k < n

$k < n$

> k

$> k$

— जोशुआ ग्रोचो

@ जोशुआ: हाँ, हम जानते हैं कि बहुपद में चर के गुणांक बिल्कुल बहुपद । लेकिन हमें अलग-अलग बिंदुओं पर मूल्यों से इन गुणांक निकालने के लिए Gauss (और इसलिए - घटाना) की आवश्यकता है । मेरा सवाल पूछता है कि क्या "मोनोटोन शब्द" में वास्तव में इस मामले में कोई गॉस नहीं है । (एक अनुमानित उत्तर के साथ - नहीं।) मुझे यकीन नहीं है कि इसके लिए, यह डिग्री की शर्तों से छुटकारा पाने के लिए पर्याप्त है । हमें ये पहले गुणांक खोजने होंगे ।

y

$y$

P (y, x)

$P(y,x)$

S_{k}^{n} (x)

$S_k^n(x)$

n + 1

$n+1$

P (y)

$P(y)$

n + 1

$n+1$

> k

$> k$

k

$k$

— Stasys