क्या गतिशील प्रोग्रामिंग लालची से कमज़ोर नहीं है?

सर्किट जटिलता में, हमारे पास विभिन्न सर्किट मॉडल की शक्तियों के बीच अलगाव हैं।

प्रूफ जटिलता में, हमारे पास विभिन्न प्रूफ सिस्टम की शक्तियों के बीच अलगाव है।

लेकिन एल्गोरिथम में, एल्गोरिथम प्रतिमानों की शक्तियों के बीच हमारे पास अभी भी केवल कुछ अलगाव हैं ।

नीचे दिए गए मेरे प्रश्न इस उत्तरार्द्ध समस्या को दो प्रतिमानों को छूने के लिए हैं: लालची और गतिशील प्रोग्रामिंग।

हमारे पास तत्वों का एक ग्राउंड सेट है, और इसके सबसेट के कुछ परिवार संभव समाधान के रूप में घोषित किए गए हैं। हम मानते हैं कि यह परिवार नीचे की ओर बंद है: संभव समाधान के सबसेट संभव हैं। ग्राउंड-एलिमेंट्स को नॉनवेजिव वेट के असाइनमेंट को देखते हुए, समस्या एक फेशियल सॉल्यूशन के अधिकतम कुल वजन की गणना करने की है।

लालची एल्गोरिथ्म एक खाली आंशिक समाधान के साथ शुरू होता है, और प्रत्येक चरण में, यह सबसे बड़ा वजन का एक अभी तक नहीं इलाज तत्व जोड़ता है अगर यह संभव है, यानी यदि विस्तारित समाधान अभी भी संभव है। सुप्रसिद्ध रेडो-एडमंड्स प्रमेय में कहा गया है कि इस एल्गोरिथ्म में सभी इनपुट भारों के लिए एक इष्टतम समाधान मिलेगा यदि संभव समाधान का परिवार एक परिपक्व है।

मोटे तौर पर, एक डीपी एल्गोरिथ्म सरल है , अगर यह केवल मैक्स और सम (या मिन और सुम) संचालन का उपयोग करता है। अधिक विशिष्ट होने के लिए (जैसा कि यहोशू द्वारा सुझाया गया है), एक साधारण डीपी एल्गोरिथ्म से मेरा मतलब होगा कि फैनिन -2 मैक्स और सम गेट्स के साथ एक (अधिकतम, +) सर्किट। इनपुट चर रहे हैं, मई के जो वजन करने के लिए दिया के अनुरूप की मई के तत्व। इस तरह के एक सर्किट किसी भी समस्या को हल कर सकते हैं बस एक संभव समाधान के अधिकतम कुल वजन की गणना करके। लेकिन यह बहुत बड़ा ओवरडोन हो सकता है, अगर हमारे पास ऐसे कई समाधान हैं (जैसा कि लगभग हमेशा होता है)। $i$ $i$

प्रश्न 1: क्या मैट्रॉइड हैं, जिस पर किसी भी साधारण डीपी एल्गोरिदम को संबंधित अधिकतमकरण समस्या को हल करने के लिए एक सुपर-बहुपद संख्या संचालन की आवश्यकता होगी?

टिप्पणी (जोड़ा 2015/12/24): यह सवाल पहले से ही उत्तर है (देखें नीचे): वहाँ रहे हैं इस तरह के matroids, यहां तक कि बहुमत का ढेर लगने में।

अगला सवाल सन्निकटन समस्याओं के लिए लालची और सरल डीपी को अलग करने के लिए कहता है। में अधिकतम भार मिलान समस्या, संभव समाधान के परिवार पूरा द्विपक्षीय में सभी matchings के होते हैं ग्राफ। अपने किनारों को भार के दिए गए असाइनमेंट के लिए, लक्ष्य एक मिलान के अधिकतम वजन की गणना करना है (यह हमेशा एक आदर्श मिलान होगा, क्योंकि वजन nonnegative है)। $n\times n$

साधारण लालची एल्गोरिथ्म कारक 2 के भीतर इस समस्या का लगभग अनुमान लगा सकता है: बस हमेशा अधिकतम वजन के एक अभी तक नहीं देखा जा सकने वाला किनारा ले लो। प्राप्त वजन इष्टतम वजन का कम से कम आधा होगा।

प्रश्न 2: क्या एक साधारण डीपी एल्गोरिथ्म केवल कारक मैक्स 2 और मैक्स ऑपरेशन का उपयोग करके कारक 2 के भीतर मैक्स-वेट मैचिंग समस्या का अनुमान लगा सकता है?

बेशक, एक तुच्छ डीपी एल्गोरिथ्म, जो एक किनारे के अधिकतम वजन को गुना करता है, कारक भीतर इस समस्या का अनुमान लगाता है । लेकिन हम बहुत छोटे कारक चाहते हैं। मुझे लगता है कि एक कारक भी प्राप्त नहीं किया जा सकता है, लेकिन फिर: यह कैसे साबित करें? $n$ $n$ $n/\log n$

संबंधित: मैक्स-वेट मैचिंग का चचेरा भाई असाइनमेंट समस्या है : एक पूर्ण मिलान के न्यूनतम वजन का पता लगाएं । केवल संचालन का उपयोग करके रैखिक प्रोग्रामिंग (तथाकथित हंगेरियन एल्गोरिथ्म) द्वारा इस समस्या को (यहां तक कि बिल्कुल) हल किया जा सकता है । लेकिन कम कंप्यूटिंग स्थायी समारोह एक लय बूलियन सर्किट के आकार पर Razborov के लिए बाध्य का तात्पर्य (काफी सीधे नहीं) है कि किसी भी (न्यूनतम, +) सर्किट किसी भी (!) परिमित कारक का उपयोग करना चाहिए के भीतर इस समस्या का अनुमान करने आपरेशन । इस प्रकार, न्यूनतम करने के लिए $O(n^3)$ $n^{\Omega(\log n)}$ समस्याओं, सरल डीपी एल्गोरिदम रैखिक प्रोग्रामिंग की तुलना में बहुत कमजोर हो सकते हैं। ऊपर दिए गए मेरे सवालों से पता चलता है कि ऐसे डीपी एल्गोरिदम लालची से भी कमजोर हो सकते हैं।

क्या किसी ने इसी तरह के सवालों को किसी के द्वारा माना जा रहा है?

ADDED (24.12.2015 को): प्रश्न 2 का उद्देश्य यह दिखाना है कि एक विशेष अधिकतम समस्या (मैक्स-वेट मैचिंग समस्या), जिसे फैक्टर

साथ लालची एल्गोरिथ्म द्वारा अनुमानित किया जा सकता है , को पॉली-साइज़ सरल द्वारा अनुमानित नहीं किया जा सकता है उसी कारक के साथ डीपी

। इस बीच, मैंने लालची और सरल डीपी के बीच एक कमजोर अलगाव प्राप्त किया: प्रत्येक

, एक स्पष्ट अधिकतमकरण समस्या है जिसे कारक

साथ लालची एल्गोरिथ्म द्वारा अनुमानित किया जा सकता है , लेकिन कोई पॉली-आकार सरल डीपी नहीं। एल्गोरिथ्म एक छोटे से इस समस्या का अनुमान लगा सकता है

r = 2

$r=2$

r

$r$

r = o (n / \log n)

$r=o(n/\log n)$

r

$r$ कारक

( स्केच के लिए यहां देखें )। फिर भी, प्रश्न 2 स्वयं (इस विशेष रूप से मैक्स-वज़न समस्या के लिए आवश्यक नहीं) वास्तविक बना हुआ है: दोनों एल्गोरिदम द्वारा एक ही कारक को लक्षित करना दिलचस्प होगा ।

< r / 3

$< r/3$

— Stasys
स्रोत

क्या आप "सरल डीपी एल्गोरिथ्म" को "फैन-इन 2" के द्वार के साथ "किसी भी (अधिकतम, +) सर्किट" के रूप में परिभाषित करते हैं ?

— जोशुआ ग्रोको

@ जोशुआ: हाँ। कहते हैं, सबसे कम सेंट पथ के लिए बेलमैन-फोर्ड में एक इनपुट वेरिएबल

जो

प्रत्येक किनारे के लिए है । 1-सेंट परत पर गेट

। L-th लेयर पर, हमारे पास

x_{i, j}

$x_{i,j}$

K_{n}

$K_n$

D (j, 1) = x_{s, j}

$D(j,1) = x_{s,j}$

D (j, l) = min {D (j, l - 1), m i n_{i} {D (i, l - 1) + x_{i, j}}}

$D(j,l) = \min\{ D(j,l-1), min_i\{D(i,l-1)+x_{i,j}\}\}$

D (t, n - 1)

$D(t,n-1)$

O (n^{3})

$O(n^3)$

मुझे लगता है कि मेरी प्रश्न 1 के लिए जवाब है सकारात्मक : वहाँ रहे हैं matroids जिस पर सरल डीपी बुरी तरह विफल रहता है! यह है कि, सरल डीपी लालची से भी बदतर हो सकता है जब एक अनुकूलन समस्या को हल करने की कोशिश कर बिल्कुल ।

ग्राउंड सेट को सभी किनारों के होते हैं $K_n$ । जैसा कि व्यवहार्य समाधानों का हमारा परिवार सभी वनों के परिवार को लेता है $K_n$ । यह एक प्रेरणा है, और इसके आधार पेड़ों पर फैले हुए हैं। तो, इस matroid बहुपद के लिए इसी एक बहुपद बहुपद है $f$ जिनके मोनोमियल पेड़ों में फैले हुए हैं। जेरुम और स्निर ने साबित किया है (धारा 4.5 में) कि $f$ घातीय आकार के मोनोटोन अंकगणितीय सर्किट की आवश्यकता होती है। यह पहले से ही प्रत्येक का तात्पर्य है $(\max,+)$ सर्किट, और इसलिए, हर साधारण डीपी एल्गोरिथ्म में, अधिकतम वज़न के पेड़ की समस्या को हल करने के लिए अधिकतम और सम ऑपरेशन की एक घातीय संख्या का उपयोग करना चाहिए।

जैसा कि इगोर सर्गेव ने मुझसे कहा, प्रश्न 1 का एक सकारात्मक उत्तर भी गिनती के अनुसार है: नुथ ने दिखाया है कि वहाँ $2^{2^n/n^{3/2}}$ पर परिपक्व $n$ अंक।

पुनश्च मैं अपना आधा उत्तर "स्वीकार नहीं" करूंगा (जो मोनोटोन अंकगणितीय सर्किट के साथ संबंध को पुनर्विचार करने के बाद ही आया है), क्योंकि एक बहुत अधिक दिलचस्प प्रश्न 2 खुला रहता है: अनुकूलन को अनुमानित करते समय Greed की तुलना में कितना सरल डीपी हो सकता है। समस्या? यह प्रश्न अधिक दिलचस्प है, क्योंकि लालची के पास अक्सर एक अच्छा सन्निकटन कारक होता है। यह कारक संभव समाधान के अंतर्निहित परिवार के तथाकथित "रैंक भागफल" के साथ मेल खाना (!) के लिए जाना जाता है (देखें, उदाहरण के लिए यह राइटअप । मैक्स-वेट मैचिंग समस्या के मामले में, यह भागफल। $2$ , और सबसे ज्यादा है $k$ के किसी भी चौराहे के लिए $k$ matroids। दूसरी ओर, जहां तक मुझे पता है, डीपी आधारित सन्निकटन एल्गोरिदम आमतौर पर इनपुट वज़न के "स्केलिंग" के कुछ प्रकार का उपयोग करते हैं, और केवल "समस्या जैसे" या कुछ समयबद्धता समस्याओं के लिए लागू होते हैं। प्रश्न 2 का एक नकारात्मक उत्तर डीपी के इस प्रतीत होने वाले "सन्निकटन कमजोरी" की पुष्टि करेगा ।

— Stasys
स्रोत

कुछ हद तक स्पर्शनीय टिप्पणी: डीपी का उपयोग अरोरा-शैली के एल्गोरिदम में विभिन्न निश्चित आयाम यूक्लिडियन समस्याओं, जैसे यूक्लिडियन टीएसपी के लिए भी किया जाता है। लेकिन यह अभी भी इनपुट को गोल करने की भावना में है।

— शाशो निकोलेव

@ साशो: हां, ये वास्तव में प्यारा डीपी आधारित एल्गोरिदम हैं। वेगेिंगर ने समस्याओं को पकड़ने का एक प्रयास किया है जिसके लिए डीपी उन्हें अनुमानित करने में मदद कर सकता है। लेकिन मैंने कोई अच्छा डीपी सन्निकटन नहीं देखा है जो शुद्ध है (केवल मैक्स और सम या मिन और सम, कोई राउंडिंग / स्केलिंग, कोई आर्गमैक्स आदि), बेशक, यह सिर्फ मेरी गलती हो सकती है: सन्निकटन एल्गोरिदम मेरे लिए कुछ नया है ।

— स्टेसिस

मुझे आपके विचार में, शुद्ध "अच्छे" डीपी सन्निकटन के किसी भी उदाहरण के बारे में पता नहीं है: सभी उदाहरण मैं गोलाई के किसी न किसी रूप का उपयोग करने से अवगत हूं।

— साशो निकोलोव