रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के लिए सबसे कम समाधान खोजना

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रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के लिए सबसे मुश्किल समाधान खोजना कितना कठिन है?

अधिक औपचारिक रूप से, निम्नलिखित निर्णय समस्या पर विचार करें:

उदाहरण: पूर्णांक गुणांक और संख्या साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली $c$ ।

प्रश्न: क्या शून्य के लिए कम से कम $c$ चर के साथ प्रणाली का कोई समाधान मौजूद है?

मैं यह भी निर्धारित करने की कोशिश कर रहा हूं कि पर निर्भरता क्या है $c$ । यही है, शायद समस्या पैरामीटर साथ एफपीटी है $c$ ।

किसी भी विचार या संदर्भ की वास्तव में सराहना की जाती है।

— माइकल वेहर
स्रोत

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समस्या पर विचार करें $\text{MAX-LIN}(R)$ कुछ रिंग पर संतुष्ट रैखिक समीकरणों की संख्या को अधिकतम करने के लिए $R$ , जो अक्सर NP- हार्ड होता है, उदाहरण के लिए $R=\mathbb{Z}$

इस समस्या का उदाहरण लें, जहां एक मैट्रिक्स है। आज्ञा देना । एक नया रेखीय प्रणाली का निर्माण , जहां एक है मैट्रिक्स, अब एक है आयामी वेक्टर, और $Ax=b$ $A$ $n\times m$ $k=m+1$ $\tilde{A}\tilde{x} = \tilde{b}$ $\tilde{A}$ $kn \times (kn+m)$ $\tilde{x}$ $(kn+m)$ $\tilde{b}$ एक है आयामी वेक्टर: $kn$

जहांहैपहचान मैट्रिक्स।

\tilde{A} = [\begin{matrix} A & I_{n} \\ I_{n} & - I_{n} \\ I_{n} & - I_{n} \\ ⋱ & ⋱ \\ I_{n} & - I_{n} \end{matrix}], \tilde{b} = [\begin{matrix} b \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}]

$\tilde{A} = \begin{bmatrix} A & I_n & & & \\ & I_n & -I_n & & \\ & & I_n & -I_n & \\ & & & \ddots &\ddots \\ & & & & I_n & -I_n \\ \end{bmatrix}, \tilde{b} = \begin{bmatrix} b \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}$

I_{n}

$I_n$

n \times n

$n \times n$

ध्यान दें कि यह प्रणाली हमेशा वेक्टर से संतुष्ट है । वास्तव में, पहली की प्रविष्टियों मनमाने ढंग से किया जा सकता है, और वहाँ है कि उपसर्ग के साथ कुछ समाधान वेक्टर है। $\tilde{x} = \begin{pmatrix} 0 & b & b & \cdots & b \end{pmatrix}^T$ $m$ $\tilde{x}$

अब मुझे लगता है कि दावा के समीकरणों के अंश तृप्तियोग्य iff वहाँ की एक विरल समाधान मौजूद है कर रहे हैं जो कम से कम है शून्य। इसका कारण यह है के हर संतुष्ट पंक्ति पैदावार संभावित शून्य जब के लिए बढ़ा दिया गया है $\delta$ $Ax=b$ $\tilde{A}\tilde{x}=\tilde{b}$ $\delta nk$ $Ax=b$ $k$ $x$ $\tilde{x}$

$\tilde{A}\tilde{x}=\tilde{b}$ $\delta$ $k$

इसलिए, मेरा मानना है कि आपकी समस्या एनपी-हार्ड है।

— जो बीबेल
स्रोत

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ठंडा! साझा करने के लिए धन्यवाद। तो आपको क्या लगता है कि निर्भरता c पर है? क्या आपको लगता है कि हम इसे से कम में हल कर सकते हैं, जहां इनपुट आकार है?

p o l y (n) \cdot (\binom{n}{c})

$poly(n) \cdot {n \choose c}$

n

$n$

— माइकल वीहर

1

सुनिश्चित करें: यदि हम मान लेते हैं कि आपको कौन से तत्व शून्य हैं, तो आप बस उन तत्वों को से हटाकर एक कम आयामी प्राप्त कर सकते हैं और से प्राप्त करने के लिए से संबंधित कॉलम को भी हटा सकते हैं । फिर गौसियन एलिमिनेशन का उपयोग यह तय करने के लिए करें कि क्या कम हुई प्रणाली संभव है; अगर यह है, तो आप एक विरल समाधान पाया है। फिर, आप सभी संभव ।

c

$c$

x

$x$

x

$x$

x^{'}

$x'$

A

$A$

A^{'}

$A'$

A^{'} x^{'} = b

$A' x' = b$

(\binom{n}{c})

$\binom{n}{c}$

A^{'} x^{'}

$A'x'$

— जो बीबेल

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@MichaelWehar मुझे नहीं पता कि यह समस्या एफपीटी है या नहीं

— जो कि बीबेल

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समस्या एनपी-पूर्ण है, निम्न समस्या से कम करके: पूर्णांक प्रविष्टियों के साथ एक मैट्रिक्स और प्रविष्टियों के साथ एक पूर्णांक वेक्टर को देखते हुए , क्या साथ 0-1 वेक्टर मौजूद है ? $m\times n$ $A$ $b$ $n$ $x$ $Ax=b$

वेक्टर के प्रत्येक निर्देशांक के लिए , $x_i$ $x$

परिचय नया समीकरण के साथ , और $100(n+m)$ $x_i+y_{i,k}=0$ $k=1,\ldots,100(n+m)$
परिचय नया समीकरण के साथ । $100(n+m)$ $x_i+z_{i,k}=1$ $k=1,\ldots,100(n+m)$

इसके अलावा पुराने समीकरण सिस्टम । $Ax=b$

मूल प्रणाली लिए 0-1 समाधान मौजूद है , यदि और केवल यदि नई प्रणाली में कोई समाधान है जिसमें कम से कम चर शून्य हैं। $Ax=b$ $100(n+m)n$

— Gamow
स्रोत

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इसे Sparsest Solution वेक्टर समस्या कहा जाता है, और यह वास्तव में NP-hard है ।

— आरबी
स्रोत

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यह समस्या कठिन है , विभिन्न सेटिंग्स में। जैसा कि इस प्रश्न के अन्य उत्तरों में कहा गया है, समस्या पूर्णांक पर एनपी-पूर्ण है।

सिग्नल प्रोसेसिंग में, मैट्रिक्स और वैक्टर में तर्कसंगत प्रविष्टियां होती हैं, और इस समस्या को कभी-कभी विरल पुनर्निर्माण समस्या कहा जाता है । इस सेटिंग में, समस्या NP- पूर्ण (देखें प्रमेय 1) है।

कोडिंग सिद्धांत में, प्रविष्टियां एक परिमित क्षेत्र से होती हैं, और इस समस्या को कभी - कभी अधिकतम-संभावना डिकोडिंग समस्या कहा जाता है। इस सेटिंग में, समस्या एनपी-पूर्ण है और घातीय समय की परिकल्पना को मानते हुए, उपनिवेशी समय में नहीं । इसके अलावा, arXiv पर एक पेपर के पिछले संस्करण के अनुसार ( पेपर के संस्करण 1 में लेम्मा C.2 देखें), समस्या W [1] है।

— argentpepper
स्रोत

W [1] के लिए आपका संदर्भ -कंपनी के पास "लेम्मा C.2" नहीं है।

@RickyDemer पेपर के संस्करण 1 में एक लेम्मा C.2 है जिसे उसने जोड़ा था। हालाँकि, संस्करण 2 में एक अलग शीर्षक है और बहुत हाल ही में बदला गया था।

— माइकल वीहर

वह लेपमा ओपी से एक अलग पैरामीटर का उपयोग करता है।

ओह, मुझे एहसास नहीं था कि एक अद्यतन संस्करण था, मैं इस पर एक नज़र डालूंगा और तदनुसार अपने उत्तर को अपडेट करूंगा।

— argentpepper

जैसा कि मैंने अपनी पिछली टिप्पणी में उल्लेख किया था, कि "लेम्मा ओपी से एक अलग पैरामीटराइजेशन का उपयोग करता है", इसलिए भले ही हम यह मान लें कि परिणाम सही है (संस्करण 2 से हटाए जाने के बावजूद), ओपीडी का पैरामीटर पैरामीटर के बारे में प्रश्न अभी भी खुला रहेगा।