PP में PH पर अधिक?

हाल बेनेट का एक हालिया प्रश्न पूछ रहा है कि क्या क्लास पीएच को पीपी में समाहित किया गया था, कुछ विरोधाभासी उत्तर प्राप्त हुए (सभी सच है, ऐसा लगता है)। एक तरफ, कई विपरीत परिणाम दिए गए, और दूसरे स्कॉट ने सुझाव दिया कि उत्तर सकारात्मक होने की संभावना है क्योंकि टोडा के प्रमेय से पता चलता है कि PH BP.PP में है, पीपी का संभाव्य संस्करण, और हम आमतौर पर मानते हैं कि "यादृच्छिककरण करता है" बहुत मदद नहीं, उदाहरण के लिए उचित कठोरता मान्यताओं PRGs जो randomization की जगह ले सकता है।

पीपी के मामले में, यह एप्रियोरी स्पष्ट नहीं है कि यहां तक कि एक "संपूर्ण" पीआरजी भी पूर्ण रूप से व्युत्पन्न होगा, क्योंकि प्राकृतिक व्युत्पन्नकरण पीआरजी के उत्पादन के साथ मूल एल्गोरिथ्म को सभी बहुपदों-कई बीजों के बीज के लिए चलाएगा और बहुसंख्यक वोट ले जाएगा। । यह स्पष्ट नहीं है कि पीपी अभिकलन के बीच उस बहुमत के वोट को लेना कुछ ऐसा है जो पीपी में ही किया जा सकता है। हालांकि, फोर्टवॉर्न एंड रींगोल्ड के एक पेपर से पता चलता है कि पीपी को सत्य-टेबल रिडक्शन (आश्चर्यजनक परिणाम जो पीपी चौराहे के नीचे बंद है) का विस्तार करते हुए बंद कर दिया जाता है, जो इस बहुमत वाले वोट को लेने के लिए पर्याप्त लगता है।

तो यहाँ क्या सवाल है? टोडा, फोर्टो-रींगोल्ड और सभी पीआरजी-आधारित डायरैग्रैबिलाइजेशन, सभी रिलेटिवाइज करने लगते हैं, इसलिए इसका मतलब यह होगा कि पीपी में पीएच हर ओरेकल के लिए जिसमें उपयुक्त पीआरजी मौजूद हैं। तो सभी ऑर्कल्स के लिए जिसके तहत पीपी में PH नहीं होता है (जैसे कि मिंस्की और पैपर्ट से , बेगेल , या वीरेशैचिन द्वारा ), PP के लिए PRG मौजूद नहीं हैं। विशेष रूप से यह तात्पर्य है कि इन oracles के लिए EXP में उचित रूप से कठिन कार्य नहीं हैं (अन्यथा NW-IW- जैसे PRGs मौजूद होंगे)। सकारात्मक पक्ष को देखते हुए, इसका तात्पर्य यह होगा कि इन प्रत्येक परिणाम के अंदर कहीं न कहीं उस अलंकृत के साथ एक (गैर-समरूप) PP-एल्गोरिथ्म (सन्निकटन) EXP के लिए छुपाया जाता है। यह अजीब है क्योंकि ये सभी परिणाम नए पीपी कम सीमा पर भरोसा करते हैं(थ्रेशोल्ड सर्किट के लिए) और उनके ओरेकल-बिल्डिंग मशीनरी में सीधे-आगे हैं, इसलिए मैं यह नहीं देखता कि पीपी के लिए ऊपरी सीमा कहाँ छिपी है। शायद यह ऊपरी सीमा सामान्य रूप से यह दिखाती है कि (गैर-वर्दी) -पीपी सभी EXP की गणना कर सकते हैं (या कम से कम कुछ पूर्वाग्रह दे सकते हैं)? कुछ ऐसा नहीं होगा जो कम से कम EXP के CH सिमुलेशन दे?

तो, मुझे लगता है कि मेरा सवाल दो-गुना है: (1) तर्क की यह श्रृंखला समझ में आती है? (२) यदि ऐसा है, तो क्या कोई पीपी के लिए निहित ऊपरी सीमा को "उजागर" कर सकता है?

हारून स्टर्लिंग द्वारा संपादित करें: इसे सामने वाले पृष्ठ पर टकराना और एक इनाम जोड़ना। यह मेरे पसंदीदा सवालों में से एक था, और इसका अभी भी कोई जवाब नहीं है।

— नोम
स्रोत

वास्तव में बूलियन फंक्शन साथ AC0 से शुरू करें, जिसे पॉलीलॉग (N) -dgree थ्रेशोल्ड गेट द्वारा गणना नहीं की जा सकती। प्रत्येक ओरेकल के लिए हम भाषा को परिभाषित (जहां है के टुकड़े 'वें का टुकड़ा )। बाद से ,

f : {0, 1}^{N} \to {0, 1}

$f:\{0,1\}^N \rightarrow \{ 0,1\}$

A

$A$

L_{A} = {1^{n} | f (A_{n}) = 1}

$L_A= \{1^n | f(A_n)=1\}$

A_{n}

$A_n$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

A

$A$

f \in A C 0

$f \in AC0$

L_{A} \in P H^{A}

$L_A \in PH^A$ , सभी के लिए । 'वें विकर्णन कदम का चयन करेंगे (कुछ के लिए ) ऐसी है कि ' वें पीपी टीएम पर कोई गलती करता है, जो बाद से होता है

A

$A$

t

$t$

A_{n}

$A_n$

n

$n$

t

$t$

1^{n} \in L_{A} ?

$1^n \in L_A?$

f

$f$ बहुभुज (एन) -थ्रेशोल्ड (पीपी मशीन की गणना के रूप में) नहीं है। तो । लेकिन शायद ...

L_{A} \notin P P^{A}

$L_A \not\in PP^A$

L_{A} \in P P^{A} | p o l y

$L_A \in PP^A|poly$

— Noam

तो भी पाने के लिए हमें एक ही लंबाई में कई उदाहरणों को पैक करने की आवश्यकता होगी । यह परिभाषित करते हुए आसानी से संभव लगता है , जहां के लिए एक -बिट स्ट्रिंग , को दर्शाता है है कि क्या वर्णन कर -bits सभी के लिए संभव लंबाई के के । लेकिन हमें विभिन्न पर की कॉपियों की आवश्यकता के लिए लिए निचली सीमा में सुधार करने की आवश्यकता होगी

L_{A} \notin P P^{A} / p o l y

$L_A \not\in PP^A/poly$

f

$f$

n

$n$

L_{A} = {x | f (A_{x}) = 1}

$L_A = \{ x | f(A_x)=1\}$

n

$n$

x

$x$

A_{x}

$A_x$

2^{n}

$2^n$

x y \in A

$xy \in A$

2^{n}

$2^n$

y

$y$

n

$n$

f

$f$

N

$N$

f

$f$

N

$N$ पॉलीग्लो (एन) -ग्रीग थ्रेश गेट्स द्वारा -बिट स्ट्रिंग्स की गणना नहीं की जा सकती, यहां तक कि पॉलीग्लॉट (एन) मदद बिट्स के साथ भी। तो यह किसी भी लिए गलत होना चाहिए । एक दिलचस्प ऊपरी बाध्य यह लगता है।

f \in A C 0

$f \in AC0$

— नोआम

यह सोचने के लिए आइए, कि प्रत्येक ओरेकल के तहत जो PH / are PP बनाता है, कोई कुशल PRGs नहीं हैं जो कि BP.PP एल्गोरिदम को मूर्ख बनाते हैं, इस तथ्य से अधिक आश्चर्यचकित नहीं होना चाहिए कि बीपीपी / acle P बनाने वाले प्रत्येक ओरेकल के तहत। कोई कुशल PRGs जो BPP एल्गोरिदम को बेवकूफ बनाते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि PH / every PP बनाने वाला हर ओर्गा टोडा प्रमेय (सापेक्षता) द्वारा BP.PP / T PP भी बनाता है। लेकिन शायद मुझे बात याद आ रही है। -

— स्लिमन

ये एक अच्छा बिंदु है। हालाँकि, जब आप एक ओरेकल बनाते हैं, जिसके लिए सहजता से निर्माण का क्रूस को कुछ असामान्य शक्ति दे रहा है , जिससे भी असामान्य शक्ति का पता चलता है और इस तरह PRGS असंभव हो जाता है । के लिए ओरेकल करने के लिए किसी भी असामान्य शक्ति देने के लिए प्रतीत नहीं होता (या किसी भी वर्ग के लिए) बल्कि की शक्ति को सीमित करने के । मुझे यकीन नहीं है कि क्या इस अंतर को किसी तरह औपचारिक रूप दिया जा सकता है।

P^{A} \neq B P P^{A}

$P^A \ne BPP^A$

B P P^{A}

$BPP^A$

P^{A} / p o l y

$P^A/poly$

P H^{A} ⊈ P P^{A}

$PH^A \not\subseteq PP^A$

P^{A}

$P^A$

P P^{A}

$PP^A$

— नोम

जैसा कि मैंने ऊपर टिप्पणी की: के लिए निर्माणों में निर्माण का क्रूस BPP (और इस तरह P / पाली) को "अन-नैचुरल" पावर दे रहा है। उदाहरण के लिए, स्थानों में हार्ड ऑरेकल के लिए बहुत सारे गवाह रोपण करके केवल यादृच्छिककरण उन्हें मिल सकता है। इसलिए जबकि यह वास्तव में दिलचस्प है कि यह शक्ति कम से कम पी / पॉली की अप्रत्याशित शक्ति के लिए "सामान्य" समस्याओं के लिए पर्याप्त है। दूसरी ओर, मैं कहीं भी यह नहीं देख सकता कि पीएच को पीपी से अलग करने के लिए ओरेकल पी / पॉली या किसी अन्य वर्ग को वास्तव में प्राकृतिक शक्ति देता है। मुझे यकीन नहीं है कि यह अंतर "वास्तविक" है।

P \neq B P P

$P \ne BPP$

— नोम

Klivans और van Melkebeek (जो relativizes) के काम से, यदि E = DTIME ( ) में आकार के पीपी गेट के साथ सर्किट नहीं हैं $2^{O(n)}$ $2^{o(n)}$ तो PH PP में है। गर्भनिरोधक का कहना है कि अगर PH पीपी में नहीं है, तो E में PP गेट के साथ सबप्रपोनेंशियल-साइज सर्किट हैं। यह इस तथ्य के अनुरूप है कि PP में PH नहीं का एक ऑरेकल प्रूफ PP के लिए रिलेटिव लोअर बाउंड देता है। यह सोचने का कोई कारण नहीं है कि यह पीपी के लिए किसी ऊपरी सीमा या पीपी गेट्स के बिना सर्किट के लिए कोई ताकत है।

— लांस फोर्टे
स्रोत

सही बात। फिक्स्ड।

— लांस फोर्टेन