कौन से ग्राफ़ पैरामीटर यादृच्छिक ग्राफ़ पर केंद्रित नहीं हैं?

यह सर्वविदित है कि कई महत्वपूर्ण ग्राफ पैरामीटर यादृच्छिक ग्राफ़ पर कम से कम किनारे की संभावना की कुछ सीमाओं में (मजबूत) एकाग्रता दिखाते हैं। कुछ विशिष्ट उदाहरण वर्णनात्मक संख्या, अधिकतम क्लिक, अधिकतम स्वतंत्र सेट, अधिकतम मिलान, वर्चस्व संख्या, एक निश्चित सबग्राफ की प्रतियों की संख्या, व्यास, अधिकतम डिग्री, पसंद संख्या (सूची रंग संख्या), लोवेज़ -नंबर, पेड़ की चौड़ाई, आदि। $\theta$

प्रश्न: ऐसे कौन से अपवाद हैं, जो अर्थपूर्ण ग्राफ़ पैरामीटर हैं जो यादृच्छिक ग्राफ़ पर केंद्रित नहीं हैं?

संपादित करें। एकाग्रता की एक संभावित परिभाषा यह है:

चलो पर एक ग्राफ पैरामीटर -vertex यादृच्छिक रेखांकन। हम इसे कहते केंद्रित है, अगर हर के लिए , यह उस रखती एकाग्रता मजबूत होती है $X_n$ $n$ $\epsilon>0$

lim_{n \to \infty} Pr ((1 - ϵ) E (X_{n}) \leq X_{n} \leq (1 + ϵ) E (X_{n})) = 1.

$\lim_{n\rightarrow\infty}\Pr\big((1-\epsilon)E(X_n)\leq X_n \leq (1+\epsilon)E(X_n)\big)=1.$ , अगर संभावना एक घातीय दर से 1 पर पहुंचती है। लेकिन कभी-कभी मजबूत का उपयोग एक अलग अर्थ में किया जाता है, इस तथ्य का जिक्र करते हुए कि अभिसरण एक सिकुड़ते अंतराल के साथ सही रहता है, संभवतः एक बहुत ही संकीर्ण सीमा की उपज है। उदाहरण के लिए, यदि

है कम से कम डिग्री है, तो, किनारे संभावना के कुछ श्रृंखला के लिए

, एक साबित कर सकते हैं

X_{n}

$X_n$

p

$p$

lim_{n \to \infty} Pr (⌊ E (X_{n}) ⌋ \leq X_{n} \leq ⌈ E (X_{n}) ⌉) = 1

$\lim_{n\rightarrow\infty}\Pr\big(\lfloor E(X_n)\rfloor\leq X_n \leq \lceil E(X_n)\rceil\big)=1$ जो सबसे कम संभव अंतराल है (जैसा कि डिग्री पूर्णांक है, लेकिन अपेक्षित मूल्य नहीं हो सकता है)।

$X_n=n$

graph-theory pr.probability random-graphs

— एंड्रास फरगो
स्रोत

कृपया यादृच्छिक रेखांकन पर मजबूत एकाग्रता की परिभाषा दें ।

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

संभवतः परिभाषा "बहुत उच्च संभावना (1-एक्सप) है जो कि पैरामीटर विशिष्ट (छोटी) श्रेणी में है"।

— सुरेश वेंकट

@ मोहम्मदअल-तुर्कस्टनी I ने एक परिभाषा को शामिल करने के लिए प्रश्न को संपादित किया।

— एंड्रास फरगाओ

संभवतः कनेक्टिविटी की तरह सरल बाइनरी प्रॉपर्टी? या शायद यह विचार द्विआधारी गुणों को बाहर करने के लिए है? लगता है कि यह शायद यादृच्छिक ग्राफ मॉडल के एक बेहतर विश्लेषण की जरूरत है। के लिए Erdos-Renyi रेखांकन (नहीं है क्या आपके मन में है? कि), कनेक्टिविटी अपने आप में एक सीमा घटना के माध्यम से चला जाता है।

— vzn 19

H

$H$

H

$H$

जवाबों:

$G(n,p)$ $p=1/n$ $p$ महत्वपूर्ण विंडो में है। उदाहरण व्यास और सबसे बड़े घटक के आकार, दूसरे सबसे बड़े घटक के आकार, घटक की पत्तियों की संख्या आदि हैं।

उदाहरण देखें

एल्डस, डेविड। "ब्राउनियन भ्रमण, महत्वपूर्ण यादृच्छिक रेखांकन और गुणात्मक कोलेसेंट।" एनल्स ऑफ प्रोबेबिलिटी (1997): 812-854।

नाचमियास, आसफ, और युवल पेर्स। "गंभीर यादृच्छिक रेखांकन: व्यास और मिश्रण समय।" एनल्स ऑफ प्रोबेबिलिटी 36, नहीं। 4 (2008): 1267-1286।

अडारियो-बेरी, लुईगी, निकोलस ब्रूटिन, और क्रिस्टीना गोल्ड्समिड्ट। "महत्वपूर्ण यादृच्छिक ग्राफ़ की निरंतरता सीमा।" संभावना सिद्धांत और संबंधित क्षेत्र 152, नहीं। 3-4 (2012): 367-406।

— युवल पेर
स्रोत

$\#\mathsf{P}$

$2^m$ $\pm \Theta(n)$ $2^{\Theta(n)}$ $(1+\epsilon)$

$(n-1)!/2^{n+1}$ $(n-1)!/2$ $1/2^n$ $(n-2)!/2^{n-1}$ $\Theta(n)$ किनारों की संख्या में उतार-चढ़ाव Hamiltonian चक्र की संख्या है कि इसकी उम्मीद मूल्य के लिए आनुपातिक है, मजबूत एकाग्रता की धारणा का खंडन में उतार-चढ़ाव की कारण होगा।

ध्यान केंद्रित करने में विफलता के लिए अन्य प्रशंसनीय उम्मीदवारों में रंगों की संख्या (स्वतंत्र सेटों में कोने का विभाजन), मिलान की संख्या या सही मिलान, या फैले पेड़ों की संख्या शामिल है।

— डेविड एप्पस्टीन
स्रोत

n

$n$

यह प्राकृतिक गुणों को खोजने के लिए भी रुचि होगी जो यादृच्छिक ग्राफ के जी (एन, एम) मॉडल में भी गैर-केंद्रित हैं; इस उत्तर के लोग केवल G (n, p) के लिए काम करते हैं।

— डेविड एप्पस्टीन

डेविड के "मतगणना तर्क" के उत्तर हमेशा मेरे लिए इतने व्यावहारिक होते हैं। : डी

— डैनियल अपॉन