निर्देशित मल्टीग्राफ न्यूनतम ऑटोमेटा के रूप में

Question

एक नियमित भाषा दी $L$ वर्णमाला पर $A$इसकी न्यूनतम निर्धारक आटोमैटोन को निरंतर आउट-डिग्री के साथ निर्देशित कनेक्टेड मल्टीग्राफ के रूप में देखा जा सकता है $|A|$और एक प्रारंभिक प्रारंभिक अवस्था (संक्रमण के लेबल को भूलकर, अंतिम स्थिति)। हम प्रारंभिक स्थिति को बनाए रखते हैं क्योंकि प्रत्येक शीर्ष से इसे सुलभ होना चाहिए।

क्या काफिला सच है? Ie ने एक निर्देशित जुड़ा हुआ मल्टीग्राफ दिया$G$ लगातार आउट-डिग्री और प्रारंभिक अवस्था जैसे कि प्रत्येक शीर्ष उससे सुलभ है, क्या हमेशा एक भाषा होती है $L$ ऐसा है कि $G$ के न्यूनतम ऑटोमेटन का अंतर्निहित ग्राफ है $L$ ?

उदाहरण के लिए यदि $|A|=1$ यह सच है, क्योंकि आकार के एक उपसर्ग के साथ ग्राफ को "लासो" होना चाहिए $i$ और आकार का एक लूप $j$, और के न्यूनतम ऑटोमेटन से मेल खाती है $L=\{a^{i+nj}~|~n\in\mathbb N\}$।

प्रेरणा एक संबंधित समस्या से आती है जो एक निर्णायक कमी में होती है, जहां समाधान आसान होता है: एक गैर-उन्मुख सरल ग्राफ से शुरू होता है, और अधिक संचालन के साथ जैसे सिंक जोड़ने की अनुमति होती है। लेकिन मैं सोच रहा था कि क्या किसी ने पहले से ही इस अधिक प्राकृतिक प्रश्न को देखा था?

केवल वही चीजें जो मैं दूर से साहित्य में पा सकता था, वो हैं प्रिसिस्ड रिसेट वर्ड्स के साथ कॉम्प्लेक्सिटी ऑफ रोड कलरिंग जैसे पेपर , जहां लक्ष्य ऐसे मल्टीग्राफ को कलर करना है, ताकि परिणामस्वरूप ऑटोमेटन में सिंक्रोनाइज़िंग शब्द हो। हालाँकि न्यूनतमता पर विचार नहीं किया जाता है।

अद्यतन : क्लॉज़ ड्रेगर के उत्तर के बाद अनुवर्ती प्रश्न: यह तय करने की जटिलता क्या है कि क्या एक ग्राफ इस आकृति का है? हम अनुमान लगा सकते हैं कि लेबलिंग और बहुपद ऑटोमोटिव की न्यूनतमता को सत्यापित करता है, इसलिए यह एनपी में है, लेकिन क्या हम और कह सकते हैं?

Answer 1

किसी भी अवशोषित नोड $n$ या तो स्वीकार करना होगा या नहीं (ताकि या तो सब कुछ या कुछ भी स्वीकार नहीं किया जाता है $n$प्रवेश किया है)। यदि ग्राफ़ में दो से अधिक अवशोषित नोड हैं, तो उनमें से कुछ लेबलिंग और स्वीकार सेट के किसी भी विकल्प के बराबर समाप्त हो जाएंगे।

अधिक आम तौर पर, किसी भी दृढ़ता से जुड़े ग्राफ के लिए $H$ केवल एक परिमित संख्या है $n(H)$अलग-अलग संभव लेबलिंग और सबसेट को स्वीकार करने के लिए; यदि आपके ग्राफ से अधिक है$n(H)$ टर्मिनल दृढ़ता से जुड़े घटकों के बराबर है $H$ (एक पेड़ की पत्तियों पर संलग्न है, कहते हैं), यह किसी भी न्यूनतम ऑटोमेटन के अनुरूप नहीं हो सकता है।

EDIT, अनुवर्ती प्रश्न के बारे में: यह मुश्किल लगता है। मेरे तर्क द्वारा सुझाया गया एक तरीका इस तरह दिख सकता है:

• विभाजन $G$SCCs में। यह सस्ता है;$O(|V|+|E|)$ टारजन के एल्गोरिथ्म का उपयोग करना।
• SCCs को आइसोमॉर्फिज़्म वर्गों में क्रमबद्ध करें। दुर्भाग्य से ग्राफ समरूपतावाद में होने के लिए ज्ञात नहीं है$P$।
• प्रत्येक टर्मिनल समरूपता वर्ग के लिए, अनुमेय संगत उप-ऑटोमेटा की संख्या निर्धारित करें, और यदि उनमें से पर्याप्त नहीं हैं तो असफल हो जाएं। ध्यान दें कि सबसेट और एज लेबलिंग को स्वीकार करने का हर संयोजन स्वीकार्य नहीं है: उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हमारी वर्णमाला है$\{a,b\}$, और एक घटक में दो नोड होते हैं, जिनमें से प्रत्येक में एक स्वयं-लूप और दूसरे नोड के लिए एक किनारे होता है। दोनों छोरों को स्वीकार करने और लेबल करने के साथ दोनों नोड्स बनाना$a$ (और अन्य किनारों के साथ $b$) एक ऑटोमोटन देता है जो एक ही अवशोषित राज्य के लिए बाइसेमिलर है, न्यूनतमता का उल्लंघन करता है।
• DAG में शेष SCCs के साथ इसी तरह व्यवहार करें, निचले लोगों को ध्यान में रखते हुए; मैं इस हिस्से के विवरण पर थोड़ा सा फ़र्ज़ी हूं।

यह एक ऐसा कदम है जिसकी जटिलता प्रसिद्ध रूप से खुली है, और एक अन्य जो ऐसा दिखता है, उसे घातीय समय की आवश्यकता हो सकती है (चूंकि अनुमेय ऑटोमेटा का निर्धारण करते समय बिसिमिलरिटी कक्षाओं में कई विभाजन को बाहर रखा जा सकता है)। क्या हम बेहतर कर सकते हैं?

Comments

सही धन्यवाद। एक प्राकृतिक अनुवर्ती सवाल यह तय करने की जटिलता है कि क्या एक ग्राफ एक न्यूनतम ऑटोमेटन द्वारा प्रेरित है। यह एनपी में है लेकिन क्या हम और कह सकते हैं?

— डेनिस