"सबसे छोटी" जटिलता वर्ग किसके लिए है a

मेरा मानना है कि इस प्रश्न के उत्तर सभी बहुपत्नी के लिए ऐसी कक्षाएं देते हैं $p$ ,
कक्षा में एक समस्या है जिसमें आकार के सर्किट नहीं होते हैं $p(n)$ ।
हालाँकि, मैं सर्किट साइज़ के बारे में पूछ रहा हूँ $\omega \hspace{.02 in}(n)$ ।

$\big(\hspace{-0.07 in}\left\langle \hspace{-0.04 in}0^{\hspace{.02 in}0}\hspace{-0.03 in},\hspace{-0.04 in}1^{\hspace{-0.03 in}1}\hspace{-0.03 in},2^{\hspace{.02 in}2}\hspace{-0.04 in},\hspace{-0.03 in}3^1\hspace{-0.04 in},\hspace{-0.03 in}4^4\hspace{-0.03 in},\hspace{-0.03 in}5^1\hspace{-0.04 in},\hspace{-0.03 in}6^{\hspace{.03 in}6}\hspace{-0.03 in},\hspace{-0.03 in}7^1\hspace{-0.03 in},\hspace{-0.03 in}8^8\hspace{-0.03 in},\hspace{-0.03 in}9^1\hspace{-0.03 in},...\hspace{-0.05 in}\right\rangle \:$ सुपर-रैखिक है, लेकिन नहीं $\omega \hspace{.02 in}(n)$ ।
यद्यपि इस तरह के सम-विषम व्यवहार को पैडिंग द्वारा नियंत्रित किया जा सकता है, लेकिन इसके बजाय
कम मूल्यों के बीच सुपर-बहुपद मूल्यों की बहुत लंबी धारियाँ हो सकती हैं।)

circuit-complexity lower-bounds

— समुदाय
स्रोत

मुझे लगता है कि सुपर-लीनियर लोअर-बाउंड्स का मतलब है कि इसमें निचला हिस्सा है

ω (n)

$\omega(n)$ ।

— केवह

मुझे नहीं लगता कि हम एक शानदार समारोह कहते हैं। जहां तक मुझे पता है कि सुपरलाइनर से लोगों को क्या मतलब है

ω (n)

$\omega(n)$ उसी तरह जो सबलाइनर है

o (n)

$o(n)$ । क्या आपके पास अपने अर्थ में सुपरलाइनियर के उपयोग के लिए कोई संदर्भ है? आप अनुक्रम अनंत बार सुपरलाइनर हैं लेकिन यह सुपरलाइनर नहीं है।

— केवह

मेरा मानना है कि मानक उपयोग यह है कि "सुपरलाइनियर सर्किट आकार" का अर्थ है कि इसमें आकार के सर्किट नहीं हैं

O (n)

$O(n)$ , यानी अनंत बार। "लगभग हर जगह" निचली सीमा बहुत दुर्लभ है और इसे प्राप्त करने के लिए बहुत कठिन है।

— जोशुआ ग्रोको

फोर्टवे का ब्लॉग पोस्ट देखें कि बड़े ओमेगा संकेतन की सही परिभाषा क्या है।

— रोबिन कोठारी

@ केव: क्षमा करें, मुझे और अधिक विशिष्ट होना चाहिए था। मेरा मतलब था कि "समस्या एक्स में रैखिक आकार सर्किट नहीं है" आम तौर पर यह कहने के बराबर है कि "समस्या एक्स में सुपर-रैखिक सर्किट आकार कम बाउंड है ", और मेरा मानना है कि इन दोनों का मतलब है (और इसका मतलब होना चाहिए) जो मैंने कहा था मेरी पिछली टिप्पणियों में। वाक्यांश "समस्या एक्स में सुपर-लीनियर आकार के सर्किट हैं" मुझे अजीब लगता है, क्योंकि "इस तरह के और इस तरह के सर्किट होने" एक ऊपरी बाध्य है, लेकिन "सुपर-रैखिक" एक कम बाध्य है ...

— जोशुआ ग्रोचो

जवाबों:

$S^p_2$ तथा $PP$ दोनों के लिए नहीं जाना जाता है $n^k$ -किसी भी निश्चित k के लिए सर्किट और उनके बीच कोई ज्ञात नियंत्रण नहीं है। मेरे ब्लॉग पोस्ट में विवरण ।

अद्यतन: जैसा कि रिकी डेमर बताते हैं, ये परिणाम जरूरी नहीं कि सभी के लिए कम बाध्यता वाली भाषा दें $n$ में $S_2^p$ । मुझे लगता है $\Delta^p_3$ शायद सबसे अच्छा ज्ञात है। जबसे $PP$ पूरा सेट है आप एक सब पाने में सक्षम हो सकता है $n$ बाध्य है, लेकिन मेरे पास पूर्ण प्रमाण नहीं है।

— लांस फोर्टे
स्रोत

आप कैसे जाते हैं "से एन नहीं है

^{k}

$^k$ -साइज़ सर्किट "a

ω (n)

$\omega(n)$ सर्किट आकार कम बाध्य?

$\hspace{.84 in}$ इस पृष्ठ के शीर्ष को एक अनुक्रम के लिए देखें जिसमें कोई बहुपद ऊपरी सीमा नहीं है लेकिन नहीं है

ω (n)

$\omega(n)$ ।)

$\hspace{.58 in}$

@ EmilJe Emábek: आप कैसे प्राप्त करते हैं कि सभी पर्याप्त रूप से बड़े हैं

n

$n$ के बजाय सिर्फ असीम रूप से कई के लिए

n

$n$ ?

$\hspace{.08 in}$ (कि सर्किट आकार प्राप्त करने के लिए आवश्यक होगा)

ω (n)

$\omega(n)$ "बजाय" सर्किट आकार नहीं है

O (n)

$O(n)$ ।)

$\hspace{1.12 in}$

@ EmilJeřábek: पर मेरी प्रतिक्रिया देखें meta.stackexchange.com/a/293100/232555 ।

आप सही हैं, मैं उस प्रमाण के पहले भाग पर ध्यान केंद्रित कर रहा था जो ब्लॉग पर गायब है, और यह महसूस नहीं किया कि मामले के अंतर के साथ एक बड़ी समस्या है। तो, वैसे भी, वहाँ एक भाषा है

Δ_{3}^{P}

$\Delta^P_3$ कि आकार के सर्किट की जरूरत है

\geq n^{k}

$\ge n^k$ पर्याप्त रूप से बड़े सभी के लिए

n

$n$ ।

— एमिल जेकाब

के लिए लगभग हर जगह कम बाध्य हो सकते हैं

P^{P P [n^{2}]}

$P^{PP[n^2]}$ । प्रत्येक के लिए

n

$n$ , चलो

S

$S$ आकार के सभी सर्किटों का समूह हो

n \log n

$n\log n$ । के लिये

i = 1, \dots, n^{2}

$i=1,\ldots,n^2$ , यह निर्धारित करने के लिए कि सर्किट का बहुमत क्या है, एक बार ओरेकल को कॉल करें

S

$S$ उत्तर पर

i

$i$ वें लंबाई का इनपुट

n

$n$ , और बाहर फेंक दो

S

$S$ सभी सर्किट जो इस उत्तर को देते हैं (इसे अगले ओरेकल कॉल पर एक पॉलीटाइम बाधा के रूप में एन्कोड किया जा सकता है)। हमारी हार्ड फ़ंक्शन विपरीत मान को आउटपुट करेगी

i

$i$ वें लंबाई का इनपुट

n

$n$ .. अंत के लिए। अब, के लिए एक-एलबी दिया

P^{P P [n^{2}]}

$P^{PP[n^2]}$ , क्या हम इसे उठा सकते हैं

P P

$PP$ ?

— रयान विलियम्स

बता दें कि dMCSP न्यूनतम सर्किट आकार की समस्या का निर्णायक संस्करण है,
और "[1]" केवल " एक क्वेरी " इंगित करें ।
मेरे सवाल का जवाब लगता है $\mathbf{P}^{\left(\mathbf{NP}^{\hspace{.032 in}\operatorname{dMCSP}[1]}\hspace{-0.03 in}\right)}$ , जो वास्तव
में ऐसा है कि प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक k के लिए, यह एक है $\omega \hspace{-0.02 in}\big(\hspace{-0.03 in}n^k\hspace{-0.03 in}\big)$ निचली सीमा:

से पेज 7 के अंतिम पैराग्राफ का पालन करें इस पत्र है कि पैरा के साथ, $k$ इस तर्क से एक अधिक होने के नाते $k$ , और इसके अतिरिक्त "निरीक्षण करते हैं कि यह तय करने के लिए" co_dMCSP "कार्य है कि क्या
किसी दिए गए सत्य तालिका की लंबाई है $\ell$ के रूप में है कि पेज-7 पैरा में इस्तेमाल हार्ड ", एक ही अर्थ में है। DNF एक मनमाने ढंग से length- के लिए सर्किट

$\ell$ सत्य तालिका का आकार अधिकतम है $\ell^{\hspace{.03 in}2} \cdot \operatorname{polylog}(\ell)$ ,
इसलिए dMCSP में है $\mathbf{NP}$ । इसलिए $\mathbf{P}^{\left(\mathbf{NP}^{\hspace{.032 in}\operatorname{dMCSP}[1]}\hspace{-0.03 in}\right)} \subseteq \mathbf{P}^{\left(\mathbf{NP}^{\hspace{.032 in}\operatorname{dMCSP}}\hspace{-0.03 in}\right)} \subseteq \mathbf{P}^{\left(\mathbf{NP}^{\hspace{.03 in}\mathbf{NP}}\hspace{-0.03 in}\right)} = \Delta^p_3$ ।

मुझे उन दोनों में से किसी भी प्रमाण के बारे में पता नहीं है $\subseteq$ s समानताएं हैं, और यह पेपर dMCSP की संभावना के लिए महत्वपूर्ण अवरोध देता है $\mathbf{NP}$ यादृच्छिक ट्यूरिंग कटौती के तहत-भार।
समानताएं dMCSP के होने के बाद होंगी $\mathbf{NP}$ मजबूत गैर-निर्धारक के तहत ( पृष्ठ 6 ) एक-क्वेरी में कटौती जो एक बहुपद-आकार की सलाह स्ट्रिंग लेती है, जो कि संगणनीय होती
है $\mathbf{P}^{\left(\mathbf{NP}^{\hspace{.032 in}\operatorname{dMCSP}[1]}\hspace{-0.03 in}\right)}$ , लेकिन विशेष रूप से मैं इस तरह की कठोरता के किसी भी सबूत के बारे में पता नहीं हूँ।