दो पॉलिथोप्स की समतुल्यता की जाँच करना

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चर वेक्टर पर विचार करें , और द्वारा निर्दिष्ट रैखिक बाधाओं का एक सेट । $\vec{x}$ $A\vec{x}\leq b$

इसके अलावा, दो बहुवचन पर विचार करें

\begin{aligned} P_{1} & = {(f_{1} (\vec{x}), \dots, f_{m} (\vec{x})) ∣ A \vec{x} \leq b} \\ P_{2} & = {(g_{1} (\vec{x}), \dots, g_{m} (\vec{x})) ∣ A \vec{x} \leq b} \end{aligned}

$\begin{align*} P_1&=\{(f_1(\vec{x}), \cdots, f_m(\vec{x}))\mid A\vec{x}\leq b\}\\ P_2&=\{(g_1(\vec{x}), \cdots, g_m(\vec{x}))\mid A\vec{x}\leq b\} \end{align*}$

जहां और के स्नेहन मैपिंग हैं। अर्थात्, वे फॉर्म । (हम ध्यान दें कि और पॉलीटॉप्स हैं क्योंकि वे "affine mappings" हैं ।) $f$ $g$ $\vec{c}\cdot \vec{x} +d$ $P_1$ $P_2$ $A\vec{x}\leq b$

सवाल यह है कि यह कैसे तय किया जाए कि और सेट के बराबर हैं? क्या जटिलता है? $P_1$ $P_2$

समस्या की प्रेरणा सेंसर नेटवर्क से है, लेकिन यह एक प्यारी (शायद बुनियादी?) ज्यामिति समस्या प्रतीत होती है। संभवतः और सभी शीर्षों की गणना करके कोई भी इसे हल कर सकता है , लेकिन क्या एक बेहतर तरीका है? $P_1$ $P_2$

— maomao
स्रोत

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दो पॉलीटॉप के समतुल्य होने का क्या मतलब है? तीन व्याख्याएँ तुरंत मेरे दिमाग में आती हैं: सेट के बराबर, समान रूप से बराबर, और दहनशील रूप से बराबर। दो मौजूदा उत्तर अलग व्याख्याओं को मानते हैं।

— त्सुयोशी इतो

मेरा मतलब सेट के बराबर है।

— माओमाओ

कृपया उस स्पष्टीकरण को शामिल करने के लिए प्रश्न को संपादित करें। इसे केवल टिप्पणियों में मत छोड़ो। प्रश्न स्व-सम्‍मिलित होने चाहिए: लोगों को यह समझने के लिए टिप्पणियों को पढ़ना नहीं चाहिए कि आप क्या पूछ रहे हैं। धन्यवाद।

— डीडब्ल्यू

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मैं निश्चित रूप से नहीं कह सकता कि क्या आप निम्नलिखित दृष्टिकोण को बेहतर मानेंगे, लेकिन एक जटिलता-सिद्धांत के दृष्टिकोण से एक अधिक कुशल समाधान है। विचार अपने प्रश्न को जोड़-तोड़ के क्रम के पहले क्रम के सिद्धांत में फिर से लिखना है। आपको लगता है कि है में शामिल है यदि और केवल यदि $P_1$ $P_2$ मान्य है। यह स्पष्ट है किइसी तरहऔरकी तुल्यता कैसे प्राप्त की। अबमें एक निश्चित मात्रा-प्रत्यावर्तन-उपसर्ग है, और फलस्वरूप, बहुपद-काल के पदानुक्रम का दूसरा स्तर (सोंटेग, 1985)

\begin{aligned} Φ := \forall \vec{x} . \exists \vec{y} . (A \cdot \vec{x} \leq b ⟹ (A \cdot \vec{y} \leq b \land \underset{1 \leq i \leq m}{⋀} f_{i} (\vec{x}) = g_{i} (\vec{y}))) \end{aligned}

$\begin{align*} \Phi := \forall \vec{x}.\exists \vec{y}.\left( A \cdot \vec{x} \le b \implies \left( A \cdot \vec{y} \le b \wedge \bigwedge_{1\le i\le m} f_i(\vec{x}) = g_i(\vec{y}) \right)\right) \end{align*}$

P_{1}

$P_1$

P_{2}

$P_2$

Φ

$\Phi$

Π_{2}^{P}

$\Pi_2^\text{P}$ )। मैं बहुत विश्वास है कि यह संभव है भी साबित करने के लिए एक मिलान के लिए बाध्य के निचले हिस्से, मैंने कहीं पढ़ने याद है कि दो polytopes के बीच शामिल है हूँ

-हार्ड।

Π_{2}^{P}

$\Pi_2^\text{P}$

यदि आप व्यवहार में ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए टूल सपोर्ट की तलाश में हैं, तो आधुनिक SMT- सॉल्वर जैसे z3 इस सिद्धांत का पूरी तरह से समर्थन करते हैं।

— क्रिस्टोफ़ हासे
स्रोत

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$Ax \le b$ $P_1$ $P_2$ $A$ $b$ $A$ $b$

— डेनिस पैंक्राटोव
स्रोत

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मुझे नहीं लगता कि यह तर्क काम करता है - यह उद्धृत प्रमेय द्वारा दिए गए सिम्प्लेक्स के आयाम को अनदेखा करता है। (एक्स इनपुट का हिस्सा है, इसलिए किसी भी कमी को यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि यह बहुपद रूप से

— बंधा

अच्छी बात! ऐसा लगता है कि मेरा दावा अभी भी गुजरना चाहिए, लेकिन हमें उस कागज के प्रमाण में अंदर जाना होगा जो मैंने उद्धृत किया था। एक ग्राफ के साथ शुरू करके वे एक पॉलीटोप का निर्माण करते हैं, जैसे कि दो ग्राफ इस्मोर्फिक हैं और यदि केवल इसी पॉलीओटोप्स आइसोमॉर्फिक हैं। उनके पॉलीओपॉप्स में बहुपद का वर्जन होता है, और उनके शीर्ष विवरणों की गणना बहुपद समय में की जा सकती है। इस प्रकार, हम आयाम में एक सिम्प्लेक्स होने के लिए (ए, बी) ले सकते हैं जो वर्टिस की संख्या है और एफ को एफिनेशन प्रोजेक्शन होना है जो पॉलीटॉप देता है जिसे वर्टेक्स विवरण से प्राप्त किया जा सकता है।

— डेनिस पंकरतोव