डोमेन सिद्धांत में, मीट्रिक रिक्त स्थान में मौजूद अतिरिक्त संरचना का उपयोग किस लिए किया जा सकता है?

Question

कंप्यूटर विज्ञान में तर्क की हैंडबुक में स्माइथ का अध्याय और अन्य संदर्भ बताते हैं कि मैट्रिक स्पेस को डोमेन के रूप में कैसे इस्तेमाल किया जा सकता है। मैं समझता हूं कि पूर्ण मीट्रिक रिक्त स्थान अनन्य निश्चित अंक देते हैं, लेकिन मुझे यह समझ में नहीं आता है कि मीट्रिक रिक्त स्थान महत्वपूर्ण क्यों हैं। मैं वास्तव में निम्नलिखित प्रश्नों पर किसी भी विचार की सराहना करता हूं।

शब्दार्थ में (अल्ट्रा / क्वासी / छद्म) मीट्रिक रिक्त स्थान के उपयोग के अच्छे उदाहरण क्या हैं? विशेष रूप से किसी भी उदाहरण से संबंधित: हमें मीट्रिक संरचना की आवश्यकता क्यों है? _ Omega -CPOs में क्या कमी है कि मीट्रिक की आपूर्ति?$\omega$

भी: क्या अद्वितीय निश्चित बिंदु संपत्ति महत्वपूर्ण है? एक अच्छा उदाहरण क्या है?

धन्यवाद!

Answer 1

डोमेन संरचना के सापेक्ष, मीट्रिक संरचना आपको वाहक सेट पर अतिरिक्त डेटा देती है। मूल रूप से, आप मीट्रिक स्थान के किसी भी दो तत्वों की तुलना कर सकते हैं और इसके अलावा आप जानते हैं कि दो तत्व कितने भिन्न हैं, जबकि डोमेन में ऑर्डर संरचना आंशिक है, और आपके पास मात्रात्मक माप नहीं है कि कितने तत्व भिन्न हैं।

व्यावहारिक रूप से, यह अतिरिक्त संरचना उपयोगी है कि यह डोमेन समीकरणों को बेहद आसान तरीके से हल करती है। 80 के दशक में बैकग्राउंड स्पेस समीकरणों का उपयोग करने वाले डच कंप्यूटर साइंटिस्ट्स बहुत थे, लेकिन यह वर्तमान रुचि का भी था।

$2^{-n}$$n$) अल्ट्रामेट्रिक स्पेस, स्टेप-इंडेक्सेड मॉडल्स का सीक्रेट डीनोटेशनल लाइफ है। इस क्षेत्र में कुछ हालिया काम के लिए बिर्केडल, स्टोविंग और थम्सबर्ग के पेपर "द श्रेणी-थियोरेटिक सॉल्यूशन ऑफ रिकर्सिव मेट्रिक स्पेस इक्वेशन" देखें।

अब, यह सब काम मॉडल प्राप्त करने पर केंद्रित किया गया है, लेकिन यह केवल एक चीज नहीं है जिसमें हम रुचि रखते हैं - हम सिर्फ एक मीट्रिक मॉडल में मीट्रिक संरचना के साथ आंशिक आदेशों को प्रतिस्थापित नहीं कर सकते हैं और इसका मतलब बिल्कुल वैसा ही होने की उम्मीद करते हैं। चीज़। तो आप सोच सकते हैं कि उदाहरण के लिए पूर्ण अमूर्तता जैसे गुणों पर मीट्रिक मॉडल का क्या प्रभाव पड़ता है।

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यह अतिरिक्त निराकरण शक्ति मीट्रिक तकनीकों की शक्ति और कमजोरी दोनों है। उनके नोट में "स्टेप इंडेक्सिंग: द गुड, द बैड एंड द अग्ली", बेंटन और हूर दिखाते हैं कि स्टेप-इंडेक्स किए गए मॉडल की अतिरिक्त संरचना उनके लिए लागू होने वाली प्रोग्रामिंग भाषाओं की वास्तविकता-शैली शुद्धता प्रमाण देने के लिए बहुत उपयोगी है। निम्न स्तर की भाषाओं का। हालाँकि, अतिरिक्त संरचना भी उन्हें कुछ ऐसे अर्थों में "अधिक प्रभावी" होने वाले अनुकूलन का प्रदर्शन करने से रोकती है, क्योंकि इससे दूरी की जानकारी गड़बड़ हो सकती है। तो यह दोनों उनकी मदद करता है और उन्हें चोट पहुँचाता है।

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हालाँकि, आप ऐसा नहीं करना चाह सकते हैं। उदाहरण के लिए, अपने स्वयं के हालिया शोध (निक बेंटन के साथ) में, मैं उच्च-क्रम सिंक्रोनस डेटाफ़्लो प्रोग्रामिंग पर काम कर रहा हूं। यहाँ, विचार यह है कि हम समय-समय पर स्ट्रीम फ़ंक्शंस के माध्यम से इंटरएक्टिव प्रोग्राम को मॉडल कर सकते हैं। स्वाभाविक रूप से, हम पुनरावर्ती परिभाषाओं पर विचार करना चाहते हैं (उदाहरण के लिए, एक फ़ंक्शन लिखने की कल्पना करें जो इनपुट के रूप में संख्याओं की एक धारा प्राप्त करता है, और अब तक देखे गए स्ट्रीम तत्वों के योग के अनुरूप संख्याओं की एक धारा को आउटपुट करता है)।

लेकिन इस काम का एक स्पष्ट लक्ष्य यह सुनिश्चित करना है कि केवल अच्छी तरह से स्थापित परिभाषाओं की अनुमति है, जबकि अभी भी पुनरावर्ती परिभाषाओं की अनुमति है। इसलिए, मैं मॉडल को अल्ट्रामेट्रिक स्पेस के रूप में स्ट्रीम करता हूं और उन पर कार्य करता है जैसे कि कोई नक्सपैंसिव मैप्स (एक तरफ के रूप में, यह प्रतिक्रियाशील प्रोग्रामिंग की कारण स्थिति को सामान्य करता है)। मेट्रिक I के तहत, स्ट्रीम फ़ंक्शंस पर एक संरक्षित परिभाषा धाराओं पर एक संकुचन फ़ंक्शन से मेल खाती है, और इसलिए बानाच के निश्चित बिंदु प्रमेय द्वारा, एक अद्वितीय निश्चित बिंदु मौजूद है। सहज रूप से, विशिष्टता की संपत्ति का मतलब है कि निश्चित बिंदुओं की गणना करना कोई फर्क नहीं पड़ता है कि हम अंतरिक्ष के किस तत्व के साथ शुरू करते हैं, इसलिए परिणामस्वरूप हम किसी स्थान पर संकुचन कार्यों के निश्चित बिंदुओं की गणना कर सकते हैं, भले ही अंतरिक्ष में न्यूनतम न हो। डोमेन सिद्धांत के अर्थ में तत्व।