क्या विकर्णों के अनंत ग्राफ में एक अनंत घटक होता है?

Question

मान लीजिए कि हमें के बिन्दुओं को जोड़ अनिर्दिष्ट किनारों के सेट का उपयोग ई ऐसी है कि या तो ( मैं , जे ) से जुड़ा है ( मैं + 1 , जे + 1 ) , या ( मैं + 1 , जे ) से जुड़ा है ( i , j + 1 ) , स्वतंत्र रूप से और समान रूप से सभी i , j के लिए यादृच्छिक रूप से ।$V = \mathbb{Z}^2$$E$$(i, j)$$(i + 1, j + 1)$$(i + 1, j)$$(i, j + 1)$$i, j$

( इस पुस्तक के शीर्षक और आवरण से प्रेरित है ।)

क्या संभावना है कि इस ग्राफ में असीम रूप से बड़े जुड़े घटक हैं? इसी तरह, , जी पर विचार करें, ग्राफ़ के प्लानर एम्बेडिंग के पूरक। क्या संभावना है कि पूरक में एक अनंत जुड़ा घटक है?$\mathbb{R}^2 \setminus G$

स्पष्ट रूप से, यदि सभी विकर्ण समान रूप से इंगित करते हैं, तो ग्राफ़ और इसके पूरक दोनों में एक अनंत घटक होता है। उपरोक्त प्रकार के एक समान यादृच्छिक ग्राफ के बारे में कैसे?

Comments

AFAICS, किसी भी प्लानर ग्राफ का दोहरी ग्राफ जुड़ा हुआ है, तो क्या आपका दूसरा सवाल वास्तव में है कि क्या दोहरा ग्राफ अनंत है? या आप दोहरी रेखांकन की एक अलग धारणा के बारे में बात कर रहे हैं?

— एमिल जेकाबेक 3.0

परिमाण के लिए: जबकि चक्र इस प्रश्न से प्रेरित चित्रण से विशेष रूप से अनुपस्थित हैं, अपेक्षित संख्या अनंत है (प्रत्येक , वर्गों में किनारों ( 2 i , 2 j ) , और ( 2 i , 2 j + 1 ) , ( 2 i + 1 , 2 j ) , ( 2 i + 1 , 2 j + 1 ) प्रायिकता 1 / के साथ एक चक्र बनाते हैं$i,j$$(2i,2j),(2i,2j+1),(2i+1,2j),(2i+1,2j+1)$ , स्वतंत्र रूप से)। $1/16$

— क्लॉस ड्रेगर

@ EmilJe Emábek क्षमा करें, मुझे शास्त्रीय अर्थों में दोहरे का मतलब नहीं है - मैंने स्पष्ट करने के लिए संपादित किया है कि मेरा मतलब प्लैनर एम्बेडिंग का पूरक है।

— मथियास राव

Answer 1

संभावना 0 है।

यह निम्न प्रमेय से आता है (ग्राफ पर ग्रिमेट की संभाव्यता में प्रमेय 5.33 देखें, http://www.statslab.cam.ac.uk/~grg/books/USpgs-rev3.pdf ):

$\mathbb Z^2$$\frac12$

$\mathbb Z^2$$D_1$$D_2$$D_1$$D_2$$\mathbb Z^2$$45^{\circ}$$D_1$$D_2$

निष्कर्ष निकालने के लिए, ध्यान दें कि संभावना 0 के साथ घटनाओं की एक संख्या की संख्या की संभावना 0 है; इस संभावना पर योग कि कोई जाली बिंदु अनंत क्लस्टर में है।

(मनमाने ढंग से बड़े घटकों का अस्तित्व एक लाल हेरिंग है। एक बिंदु को ठीक करना चाहिए, और पूछना चाहिए कि क्या यह एक अनबाउंड घटक में है।)

Comments

$D_2$$\mathbb{Z}^2$$D_1$

Answer 2

हम्म, ठीक है, यहाँ एक पहला प्रयास है। आइए दो महत्वपूर्ण बातों का पालन करें:

1. यदि इस ग्राफ में कोनिग के अनंत लेम्मा द्वारा एक असीम रूप से जुड़ा बड़ा घटक है, तो इसका अनंत सरल मार्ग है।
2. यह घटना कि ग्राफ में अनंत सरल पथ है, प्रत्येक व्यक्ति के किनारे अभिविन्यास के स्वतंत्र विकल्प से स्वतंत्र है (और इस प्रकार, किनारे के विकल्प के प्रत्येक परिमित सेट)। इसलिए यह एक पूंछ घटना है और कोलमोगोरोव के शून्य-एक कानून द्वारा संभावना या तो शून्य या एक है।

तो, क्या यह शून्य या एक है? यह तुरंत स्पष्ट नहीं है, हालांकि हम अनुमान लगा सकते हैं, "टाइपराइटरों के साथ अनंत बंदर" प्रमेय के बाद से, इस ग्राफ में प्रायिकता के साथ मनमाने ढंग से बड़ी लंबाई के सरल मार्ग हैं। बेशक, अधिक दृढ़ता से यह साबित करने की आवश्यकता है कि यह वास्तव में संभावना के साथ एक अनंत मार्ग है।

Comments

0. अवलोकन करना भी एक अच्छा विचार है। यह घटना कि ग्राफ में एक अनंत जुड़ा घटक है बोरेल, इसलिए औसत दर्जे का है, इसलिए यह सवाल पहली बार में समझ में आता है। (अनंत सरल रास्तों से विश्राम करने पर यह स्पष्ट नहीं होता है।)

— एमिल जेकाबेक 3.0

Answer 3

$G_n$$2n+1 \times 2n+1$$n$

$[0,1]^2$

$n = 800$

कोड यहाँ: https://gist.github.com/girving/16a0ffa1f0abb08934c2

Answer 4

अपडेट: जैसा कि टिप्पणियों में बताया गया है, लेम्मा सभी के बाद अनंत मार्ग नहीं दिखाती है, इसलिए कुल मिलाकर यह उत्तर गलत है। निश्चित नहीं है कि इसका उपयोग किसी अन्य संभाव्य तरीके से किया जा सकता है या नहीं।

उत्तर हाँ है: एक अनंत मार्ग मौजूद है। वास्तव में, हर ऐसे ग्राफ के लिए एक अनंत मार्ग मौजूद है ; संभाव्यता की आवश्यकता नहीं है।

$G$$n \times n$$n \ge 2$

$G$

यदि लेम्मा सत्य है, तो अनंत संस्करण कोनिग से आता है जैसा कि जो ने नोट किया है। ( अपडेट: गलत, टिप्पणियाँ देखें)

Comments

$(-n, 0)$$(0, n)$$(0, n)$$(n, 0)$$(n, 0)$$(0, -n)$$(0, -n)$$(-n, 0)$$n > 0$

बहुत सच है, कोएनिग सब के बाद लागू नहीं होता है।

— ज्योफ्री इरविंग

विशेष रूप से, मेरा मानना ​​है कि लेम्मा अभी भी रखती है, लेकिन निश्चित रूप से वांछित परिणाम नहीं है।

— ज्योफ्री इरविंग